2022-2023学年北京大学附中元培学院高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京大学附中元培学院高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，若A∩B＝（ ）
A．{x|x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}
2．（4分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．f（x）＝x2C．D．f（x）＝x3
3．（4分）“sinα＝1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c
D．若，则a＜b
5．（4分）已知||＝||＝2，•2，则||＝（ ）
A．1B．C．2D．或2
6．（4分）已知a＝40.1，b＝20.6，c＝lg40.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
7．（4分）已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（2），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
8．（4分）已知，则不等式的解集为（ ）
A．∪[1，+∞）B．
C．D．∪[1，+∞）
9．（4分）函数f（x）在区间[1，2]上的图像是连续不断的，则“f（1）f（2）≥0”是“函数f（x）在区间（1，2）上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（4分）已知f（x）＝x2﹣2x．若对于∀x1，x2∈[m，m+1]，均有f（x1+1）≥f（x2）成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．C．D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
11．（4分）函数f（x）＝ln（1﹣x）的定义域是 ．
12．（4分） ， ．
13．（4分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣6＝0的两个实根，且，则m＝ ．
14．（4分）已知，当a＝2时，f（x）的单调减区间为 ；若f（x）存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
15．（4分）请阅读以下材料，并回答后面的问题：
30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为24.8，依照标准属于超重，因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑．
请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：
三、解答题：本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（10分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|m＜x＜2m+3}．
（Ⅰ）求集合A中的所有整数；
（Ⅱ）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围．
17．（10分）（1）已知α，β都是锐角，，，求a+β；
（2）求；
（3）若（m≠1），求．
18．（10分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x）．当时，求F（x）的值域．
19．（10分）已知a＞0且a≠1，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个．
①函数f（x）为奇函数；②；③．
（1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得b＝_____，a＝_____；
（2）利用单调性定义证明函数在（0，+∞）上单调递减；
（3）在（1）的情况下，若方程f（x）＝m+4x在[0，1]上有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
20．（10分）在△ABC中，D、E为边BC、AC上的点，且满足n．
（1）若△ABC为边长为2的等边三角形，m，n＝1，求；
（2）若m，求x+y；
（3）若∠A，AB＝2，AC＝1，m＝n，求的最大值；
（4）若将“D、E为边BC、AC上的点”改为“D、E在△ABC的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围．（不需要说明理由）
21．（10分）设函数y＝f（x）的定义域为M，且区间I⊆M，对任意x1，x2∈I且x1＜x2，记Δx＝x2﹣x1，Δy＝f（x2）﹣f（x1）．若Δy+Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质A；若Δy﹣Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质B；若Δy•Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质C；若0，则称f（x）在I上具有性质D．
（Ⅰ）记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件
则f（x）在I上具有性质A是f（x）在I上单调递增的 （填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质B是f（x）在I上单调递增的 （填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质C是f（x）在I上单调递增的 （填正确选项的序号）；
（Ⅱ）若f（x）＝ax2+1在[1，+∞）满足性质B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）在区间[m，n]上恰满足性质A、性质B、性质C、性质D中的一个，直接写出实数m的最小值．
2022-2023学年北京大学附中元培学院高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，若A∩B＝（ ）
A．{x|x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】根据交集的定义直接写出A∩B即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜2}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（4分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．f（x）＝x2C．D．f（x）＝x3
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得．
【解答】解：对于A，函数 f（x）＝x，定义域为[0，+∞）不关于原点对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数f（x）＝x2，定义域为R，又f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，不符合题意；
对于C，函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数，不符合题意；
对于D，函数f（x）＝x3，由f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，
根据幂函数的性质，可得函数f（x）＝x3在区间（0，+∞）上为单调递增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
3．（4分）“sinα＝1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．
【解答】解：当时，sinα＝1成立，
故“”是“sinα＝1”的充分条件
当sinα＝1时，2kπ，k∈Z
即“sinα＝1”⇒“”不成立；
故“”是“sinα＝1”的不必要条件；
故“sinα＝1”是“”的必要不充分条件；
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．
4．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c
D．若，则a＜b
【分析】对于A，B举反例即可，对于C，D根据不等式的性质可判断
【解答】解：对于A：当c＝0时，不成立，
对于B：当a＝﹣2，b＝1时，则不成立，
对于C：根据不等式的基本性质可得若a＞b，c＜0，则a+c＞b+c，故C不成立，
对于D：若，则a＜b，成立，
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．
5．（4分）已知||＝||＝2，•2，则||＝（ ）
A．1B．C．2D．或2
【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵||＝||＝2，•2，
则||2．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的数量积运算性质，属于基础题．
6．（4分）已知a＝40.1，b＝20.6，c＝lg40.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝40.1＝20.2，b＝20.6，
∴1＜a＜b，
又∵c＝lg40.6＜0，
∴c＜a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．（4分）已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（2），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】先根据向量垂直，得到2，再根据投影的定义即可求出．
【解答】解：∵平面向量是非零向量，，，
∴•（）＝0，
即20，
即2，
∴向量在向量方向上的投影为1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
8．（4分）已知，则不等式的解集为（ ）
A．∪[1，+∞）B．
C．D．∪[1，+∞）
【分析】作函数与函数y（x﹣1）的图象，结合图象求得交点，从而写出不等式的解集．
【解答】解：作函数与函数y（x﹣1）的图象如下，
结合图象可知，
函数与函数y（x﹣1）的图象交点为（，1），（1，0）；
故不等式的解集为∪[1，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的图象及性质的应用，应用了数形结合的思想方法，属于中档题．
9．（4分）函数f（x）在区间[1，2]上的图像是连续不断的，则“f（1）f（2）≥0”是“函数f（x）在区间（1，2）上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．
【解答】解：因为函数f（x）在区间[1，2]上的图像是连续不断的，当f（1）f（2）≥0时，不能推出函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，故充分性不成立；
当函数f（x）在区间（1，2）上没有零点时，能推出f（1）f（2）≥0，故必要性成立，
则“f（1）f（2）≥0”是“函数f（x）在区间（1，2）上没有零点”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
10．（4分）已知f（x）＝x2﹣2x．若对于∀x1，x2∈[m，m+1]，均有f（x1+1）≥f（x2）成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．C．D．[1，+∞）
【分析】将有f（x1+1）≥f（x2）成立转化成f（x+1）min≥f（x）max恒成立的问题，构造函数h（x）＝f（x+1），然后分类讨论，即可求出m的取值范围．
【解答】解：由题意在f（x）＝x2﹣2x中，对称轴x＝1，函数在（﹣∞，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增，
f（x+1）＝（x+1）2﹣2（x+1）＝x2﹣1，
∵对于∀x1，x2∈[m，m+1]，均有f（x1+1）≥f（x2）成立，
即对于∀x1，x2∈[m，m+1]，均有f（x+1）min＝（x2﹣1）min≥f（x）max＝（x2﹣2x）max恒成立，
在h（x）＝f（x+1）＝x2﹣1中，对称轴x＝0，函数在（﹣∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
当m+1≤0即m≤﹣1时，函数h（x）在[m，m+1]上单调减，函数f（x）在[m，m+1上单调减，
h（x）min＝（m+1）2﹣1＝m2+2m，
f（x）max＝m2﹣2m，
∴，解得m∈∅，
当，即﹣1＜m≤0时，
函数h（x）在[m，0）上单调减，在（0，m+1]上单调增，
函数f（x）在[m，m+1]上单调减，
∴h（x）min＝﹣l，f（x）max＝m2﹣2m，∴，解得m∈∅，
当，即m＝0时，[m，m+1]＝[0，1]，
函数h（x）在[0，1]上单调增，函数f（x）在[0，1]上单调减，
∴h（x）min＝﹣1，f（x）max＝0，∴h（x）min＝﹣l＜f（x）max＝0，故不符题意，舍去．
当，即0＜m时，
函数h（x）在[m，m+1]上单调增，h（x）min＝m2﹣1，
函数 f（x）在[m，1）上单调减，在（1，m+1]上单调增，f（x）max＝f（m）＝m2﹣2m，
∴，解得m∈∅，
当m时，[m，m+1]＝[，]，
函数h（x）在[，]上单调增，h（x）min，
函数f（x）在[，1）上单调减，在（1，]上单调增，f（x）max＝f（），
此时，h（x）minf（x）max，∴m符合题意，
当，即m＜1时，
函数h（x）在[m，m+1]上单调增，h（x）min＝m2﹣1，
函数f（x）在[m，1）上单调减，在（1，m+1]上单调增，f（x）max＝f（m+1）＝m2﹣1，
此时，h（x）min＝m2﹣1＝f（x）max，∴m＜1符合题意，
当m≥1时，函数h（x）在[m，m+1]上单调增，函数f（x）在[m，m+1]上单调增，
∴h（x）min＝m2﹣1，f（x）max＝f（m+1）＝m2﹣1，
此时h（x）min＝m2﹣1＝f（x）max，∴m≥1符合题意．
综上，实数m的取值范围是[，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性，属于难题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
11．（4分）函数f（x）＝ln（1﹣x）的定义域是 {x|x＜1} ．
【分析】根据对数函数的性质求出x的范围即可．
【解答】解：由题意得：
1﹣x＞0，解得：x＜1，
故答案为：{x|x＜1}．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考察对数函数的性质，是一道基础题．
12．（4分） 5 ， 3 ．
【分析】利用幂运算，对数的性质和运算法则求解．
【解答】解：1+22＝5，
lg（6）+2
＝lg10+2＝3，
故答案为：5，3．
【点评】本题考查了幂运算及对数运算的应用，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用，属于基础题．
13．（4分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣6＝0的两个实根，且，则m＝ 2 ．
【分析】由题意，利用韦达定理、二次函数的性质，求得m的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣6＝0的两个实根，
∴x1+x2＝m，x1•x2＝m2﹣6，且Δ＝m2﹣4（m2﹣6）≥0，
∵，可得m2+m﹣6＝0，
则m＝﹣3（不满足△≥0，舍去）或m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查韦达定理的应用，二次函数的性质，属于基础题．
14．（4分）已知，当a＝2时，f（x）的单调减区间为 （0，1） ；若f（x）存在最小值，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．
【分析】根据函数解析式，将a＝2代入，分x＜0和x≥0两种情况，判断单调性，即可求出第一空；
x＜0，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）∈（﹣1，0），无最小值，x≥0，f（x）＝x2﹣ax＝（x）2，要想函数f（x）有最小值则满足1，即可求得第二空．
【解答】解：当a＝2时，，
x＜0，f（x）＝2x﹣1为增函数，
x≥0，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
x∈（0，1），单调递减，x∈（1，+∞）单调递增，
故f（x）的单调减区间为（0，1）；
x＜0，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）∈（﹣1，0），无最小值，
x≥0，f（x）＝x2﹣ax＝（x）2，
要想函数f（x）有最小值则满足1且0，解得a≥2，
则实数a的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：（0，1）；[2，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．
15．（4分）请阅读以下材料，并回答后面的问题：
30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为24.8，依照标准属于超重，因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑．
请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）： 如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大）．
【分析】根据材料结合条件分析即得．
【解答】解：因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），
所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心．
故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大）．
【点评】本题考查利用给定函数模型解决实际问题，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（10分）已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|m＜x＜2m+3}．
（Ⅰ）求集合A中的所有整数；
（Ⅱ）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意化简集合A，从而写出集合A中的所有整数；
（Ⅱ）由题意得B⊆A，再分类讨论求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴集合A中的所有整数为0，1，2；
（Ⅱ）∵（∁RA）∩B＝∅，
∴B⊆A，
①当m≥2m+3，即m≤﹣3时，
B＝∅，B⊆A成立；
②当m＜2m+3，即m＞﹣3时，
，
解得﹣1≤m≤0，
综上所述，
实数m的取值范围为{m|m≤﹣3或﹣1≤m≤0}．
【点评】本题考查了集合间包含关系的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．
17．（10分）（1）已知α，β都是锐角，，，求a+β；
（2）求；
（3）若（m≠1），求．
【分析】（1）利用已知条件以及正余弦的平方关系求出csα，sinβ的值，然后求出cs（α+β）的值，再根据余弦值以及α，β的范围即可求解；（2）利用1＝tan45°以及正切的和角公式化简即可求解；（3）利用以及正余弦的诱导公式，弦化切化简即可求解．
【解答】解：（1）因为α，β都是锐角，，
所以cs，sin，且0＜α+β＜π，
所以cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
又0＜α+β＜π，所以；
（2）原式tan（45°+15°）＝tan60；
（3）因为tan，m≠1，
所以
．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到弦化切以及诱导公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
18．（10分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x）．当时，求F（x）的值域．
【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数图象的平移先求出F（x）的解析式，然后结合和差角公式，辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求．
【解答】解：（1）由图象可知，A，T＝2（）＝π，
所以ω＝2，f（x）sin（2x+φ），
因为f（）sin（φ）＝0且|φ|，
所以φ，f（x）sin（2x）；
（2）由题意得g（x）sin（2x）+1，
F（x）＝f（x）+g（x）sin（2x）sin（2x）+1
cs（2x）sin（2x）+1
sin（2x）+1
sin（2x）+1，
时，，
所以sin（2x）≤1，
故1，
所以函数F（x）的值域为[1，1]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
19．（10分）已知a＞0且a≠1，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个．
①函数f（x）为奇函数；②；③．
（1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得b＝_____，a＝_____；
（2）利用单调性定义证明函数在（0，+∞）上单调递减；
（3）在（1）的情况下，若方程f（x）＝m+4x在[0，1]上有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出b＝0．a；
（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号；
（3）参变分离得到m（4x+1），x∈[0，1]，换元后转化为mt在[2，5]上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出g（t）t的值域，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）b在R上是单调减函数，
故②f（1），③f（﹣1），不会同时成立，
故函数一定满足①函数f（x）为奇函数，
由于函数定义域为R，所以有f （0）＝0，则f （1）＜0，f（﹣1）＞0，故一定满足②，
选择①②，f（﹣x）+f（x）bb＝0，
f （1）b，
解得b＝0，a．
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则g（x2）﹣g（x1）＝（x2）﹣（x1）＝（x1﹣x2）（1），
由于0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，1＞0，
所以g（x2）﹣g（x1）＜0，即g（x2）＜g（x1），
所以函数g（t）t在（0，+∞）上单调递减．
（3）由（Ⅰ）可得f（x），
所以方程为m+4x，即m4x（4x+1），x∈[0，1]，
令t＝4x+1，由于x∈[0，1]，所以t∈[2，5]，
则问题转化为mt在[2，5]上有唯一解，
由（Ⅱ）知，函数g（t）t在[2，5]上单调递减，
所以g（t）min＝g（5）5，g（t）max＝g（2）2＝﹣1，
所以实数m的取值范围是[，﹣1]．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质与单调性的证明，考查已知方程根的个数求解参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20．（10分）在△ABC中，D、E为边BC、AC上的点，且满足n．
（1）若△ABC为边长为2的等边三角形，m，n＝1，求；
（2）若m，求x+y；
（3）若∠A，AB＝2，AC＝1，m＝n，求的最大值；
（4）若将“D、E为边BC、AC上的点”改为“D、E在△ABC的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围．（不需要说明理由）
【分析】（1）将，分别表示出来即可；
（2）D是距离B近的BC三等分点，E是距离C近的AC三等分点，用，表示出来即可；
（3）把表示出来，构造函数，由函数的单调性定义可得其单调性，可求函数的最大值；
（4）以BC的中点F为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，取点D、点E特殊位置可得答案．
【解答】解：（1）若△ABC为边长为2的等边三角形，m，n＝1，如图：
则D、E分别是BC、AC的中点，，的夹角为60°，
（），（）（）（﹣2），
所以（）（﹣2）（﹣22•2）（﹣8﹣2×24）；
（2）若m，n，xy，如图：
则D是距离B近的BC三等分点，E是距离C近的AC三等分点，
则（），所以x，y，x+y；
（3）因为n，所以1n+1，
mm（）＝（1﹣m）m，，
因为m＝n，所以，且m∈[0，1]，
所以（（1﹣m）m）（）＝（m﹣1）2+（m）•2
＝3m4＝3（m+1）7，m+1∈[1，2]，
令f（x）＝3x，x∈[1，2]，设1≤ x 1＜ x 2≤2，
所以f（x1）﹣f（x2）＝3x1（3x2）＝（x1﹣x2），
因为1≤ x 1＜ x 2≤2，所以x1﹣x2＜0，3x1x2﹣1＞0，
所以f（x1）＜f（x2），f（x）＝3x，在x∈[1，2]上单调递增，
所以3（m+1）7≤3×27，
当m+1＝2即m＝1时有最大值为；
（4）以BC的中点F为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，
则B（﹣1，0），C（1，0），A（0，），
设D（x，y），E（m，n），因为，1，
所以1，，
化简得（x+1）2+y2＝1，mn+1＝0，
所以点D在以B为圆心，半径为1的三角形ABC内部的圆弧上，
包括与三角形ABC的边上的两个交点F、H，并且F、H都为所在边的中点，
点E在三角形ABC内部线段AC的垂直平分线上，包括点B和AC的中点N，
当点D为AB中点H，E与B点重合时（，），，
所以0，
而当m，n＝1时，由（1），故不是定值．
||＝2，||＝1，||∈[0，]，∠ABE＝30°，
所以向量与的夹角为150°，
设∠DBE＝θ，则θ∈[0°，30°]，csθ∈[，1]，
则（）•••||||+||•||csθ||+||csθ|＝||（csθ），
（csθ）∈[，1]，而||∈[0，]，可得||（csθ）∈[，0]，
所以取值范围[，0]．
【点评】本题考查向量的表示，向量的运算，考查向量与圆的综合，考查向量与函数最值的综合，属于难题．
21．（10分）设函数y＝f（x）的定义域为M，且区间I⊆M，对任意x1，x2∈I且x1＜x2，记Δx＝x2﹣x1，Δy＝f（x2）﹣f（x1）．若Δy+Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质A；若Δy﹣Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质B；若Δy•Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质C；若0，则称f（x）在I上具有性质D．
（Ⅰ）记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件
则f（x）在I上具有性质A是f（x）在I上单调递增的 ② （填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质B是f（x）在I上单调递增的 ① （填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质C是f（x）在I上单调递增的 ③ （填正确选项的序号）；
（Ⅱ）若f（x）＝ax2+1在[1，+∞）满足性质B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）在区间[m，n]上恰满足性质A、性质B、性质C、性质D中的一个，直接写出实数m的最小值．
【分析】（Ⅰ）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案；
（Ⅱ）根据性质B，利用分离常数法，结合不等式的性质求得a的取值范围；
（Ⅲ）将问题转化为恒成立，对m，n的范围进行分类讨论，由此求得m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x1＜x2，所以Δx＝x2﹣x1＞0，
对于性质A，当Δy+Δx＞0时，无法判断Δy的符号，故无法判断单调性；
当f（x）在I上单调递增时，Δy＞0⇒Δy+Δx＞0，
所以f（x）在I上具有性质A是f（x）在I上单调递增的必要而不充分条件；
对于性质B，当Δy﹣Δx＞0时，Δy＞Δx＞0，所以f（x）在I上单调递增；
当f（x）在I上单调递增时，Δy＞0，Δy﹣Δx的符号无法判断，
所以f（x）在I上具有性质B是f（x）在I上单调递增的充分而不必要条件；
对于性质C，若Δy⋅Δx＞0，则Δy＞0，所以f（x）在I上单调递增；
当f（x）在I上单调递增时，Δy＞0，Δy⋅Δx＞0，
所以f（x）在I上具有性质C是f（x）在I上单调递增的充要条件；
（Ⅱ）对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
有，
由于f（x）在[1，+∞）满足性质B，即Δy﹣Δx＞0，
所以，所以（ax1+ax2﹣1）（x2﹣x1）＞0，
因为x2﹣x1＞0，所以a（x1+x2）＞1，所以，
由于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，所以x1+x2＞2，
所以，
所以实数a的取值范围是；
（Ⅲ）实数m的最小值为1．
理由如下：
因为在[m，n]上恰满足性质A、性质B、性质C、性质D中的一个，
若满足性质A，则Δy＞﹣Δx，若满足性质B，则Δy＞Δx＞0，
若满足性质CD，则Δy＞0，
性质BCD同时满足，所以仅满足性质A，
此时0≥Δy＞﹣Δx，有恒成立，
所以对任意x1，x2∈[m，n]且x1＜x2，有恒成立，
因为的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以0∉[m，n]，
当m＜n＜0时，，
所以，从而，不合题意；
当0＜m＜n时，，
所以，从而，
要使恒成立，只需使，即x1x2＞1恒成立，
若m＜1，则∃x1＝m，x2＜1，使x1x2＜1，这与x1x2＞1矛盾，
当m＝1时，1≤x1＜x2，x1x2＞1恒成立，
所以m的最小值为1．
【点评】本题考查了对于新定义问题的求解，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/5 10:46:53；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231材料1：人体成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多．肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为F%）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量．
材料2：体重指数BMI（BdyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI（G为体重，单位：千克；h为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标．1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在18.5～24.9为正常；BMI≥25为超重；BMI≥30为肥胖．由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在18.5～22.9为正常．中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在18.5～23.9为正常；BMI≥24为超重；BMI≥28为肥胖．
材料1：人体成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多．肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为F%）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量．
材料2：体重指数BMI（BdyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI（G为体重，单位：千克；h为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标．1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在18.5～24.9为正常；BMI≥25为超重；BMI≥30为肥胖．由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在18.5～22.9为正常．中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在18.5～23.9为正常；BMI≥24为超重；BMI≥28为肥胖．