2022-2023学年北京市清华附中非马班高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市清华附中非马班高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|2x≥1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x≤0}B．{x|x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|0≤x≤1}
2．（4分）若点P（1，﹣2）在角α的终边上，则sinα＝（ ）
A．﹣2B．C．D．
3．（4分）计算：2lg36﹣lg34＝（ ）
A．1B．2C．3D．6
4．（4分）要得到函数，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．（4分）已知a＝lg12，b＝lg0.25，c＝4﹣0.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c
6．（4分）下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．y＝sin2xB．
C．D．y＝tan2x
7．（4分）下列区间包含函数f（x）＝2x+x﹣4零点的为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
8．（4分）若函数f（x）＝cs（3x+φ）是奇函数，使得|f（x）|取到最大值时的一个x值为（ ）
A．B．0C．D．
9．（4分）已知实数α，β，则“α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z”是“csα＝﹣csβ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（4分）已知函数f（x）＝sinnx+csnx（n∈N*），则下列说法正确的是（ ）
①n＝1时，f（x）的最大值为；
②n＝2时，方程f（x）＝2sinx+|sinx|在[0，2π]上有且只有三个不等实根；
③n＝3时，f（x）为奇函数；
④n＝4时，f（x）的最小正周期为．
A．①②B．①③C．②④D．①④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣1）的定义域是 ．
12．（5分）已知，则sin（π+θ）＝ ．
13．（5分）已知函数f（x）＝xa经过点（9，3），则不等式f（x2﹣x+1）＜1的解集为 ．
14．（5分）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
15．（5分）已知f（x）＝|lgax|（a＞0，a≠1），给出下列四个结论：
①若f（2）＝1，则或2；
②若0＜m＜n，且f（m）＝f（n），则mn＝1；
③不存在正数k，使得g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有1个零点；
④存在实数a＞1，使得g（x）＝f（x）﹣ax恰有3个零点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+1，其中m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最小值为0，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：．
17．（14分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象过点（0，1），相邻的两个对称中心之间的距离为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）单调递增区间和对称中心．
18．（14分）已知函数f（x）＝a2x﹣2ax﹣1，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）已知f（x）的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
（Ⅱ）若a＝2，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值．
19．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x值．
20．（14分）如图，在函数f（x）＝lg2x图象任取三点A（a，f（a）），B（b，f（b）），C（c，f（c）），满足a≥1，b＝a+2，c＝b+2，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F．
（Ⅰ）当a＝2时，求梯形ADEB的周长；
（Ⅱ）用a表示△ABC的面积S，并求S的最大值．
21．（15分）已知整数m，n≥3，集合Xn＝{（x1，x2，⋯，xn）|xi∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Xn中的任意两个元素A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn），定义A与B之间的距离为d（A，B）．
若A1，A2，⋯，An∈Xn且d（A1，A2）＝d（A2，A3）＝⋯＝d（Am﹣1，An），则称A1，A2，⋯，Am是Xn中的一个等距序列．
（Ⅰ）若A1＝（1，0，0，0），A2＝（1，1，0，0），A3＝（0，1，1，0），A4＝（0，1，1，1），判断A1，A2，A3，A4是否是X4中的一个等距序列？
（Ⅱ）设A，B，C是X3中的等距序列，求证：d（A，C）为偶数；
（Ⅲ）设A1，A2，⋯，Am是X6中的等距序列，且，，d（A1，A2）＝5．求m的最小值．
2022-2023学年北京市清华附中非马班高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
1．（4分）设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|2x≥1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x≤0}B．{x|x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|0≤x≤1}
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，
则A∩B＝{x|0≤x≤1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（4分）若点P（1，﹣2）在角α的终边上，则sinα＝（ ）
A．﹣2B．C．D．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：若点P（1，﹣2）在角α的终边上，
则sinα．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．
3．（4分）计算：2lg36﹣lg34＝（ ）
A．1B．2C．3D．6
【分析】根据对数的运算性质即可求出．
【解答】解：2lg36﹣lg34＝lg336﹣lg34＝lg3lg39＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
4．（4分）要得到函数，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】根据函数图象“左加右减”的平移法则，得解．
【解答】解：sin[2（x）]，
所以要得到函数，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移变换是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5．（4分）已知a＝lg12，b＝lg0.25，c＝4﹣0.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c
【分析】由对数函数与指数函数的性质即可得解．
【解答】解：因为a＝lg12＞lg10＝1，
b＝lg0.25＜lg0.21＝0，
0＜4﹣0.5＜40＝1，即0＜c＜1，
所以b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
6．（4分）下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．y＝sin2xB．
C．D．y＝tan2x
【分析】由题意利用三角函数周期公式，三角函数的周期性，对各个选项做出判断，从而得出结论．
【解答】解：y＝sin2x，它的最小正周期为Tπ，故A不满足条件；
，它的最小正周期为T2π，若x∈，可得x∈（，0），
则在区间上单调递增，故B满足条件；
的最小正周期为T2π，若x∈，可得x∈（，），
则在区间上单调递减，故C不满足条件；
y＝tan2x的最小正周期为T，故D不满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数周期公式，三角函数的周期性，属于基础题．
7．（4分）下列区间包含函数f（x）＝2x+x﹣4零点的为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决．
【解答】解：函数f（x）＝2x+x﹣4是增函数，
经计算f（1）＝2+1﹣4＝﹣1＜0，f（2）＝4+2﹣4＝2＞0，f（1）f（2）＜0，
故函数的零点所在区间为（1，2），
故选：C．
【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．
8．（4分）若函数f（x）＝cs（3x+φ）是奇函数，使得|f（x）|取到最大值时的一个x值为（ ）
A．B．0C．D．
【分析】根据余弦函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】解：若f（x）＝cs（3x+φ）为奇函数，
则φkπ，k∈Z，
不妨取φ，
此时f（x）＝cs（3x）＝﹣sin3x，
|f（x）|＝sin3x，
使得|f（x）|取到最大值时3xkπ，k∈Z，
即x，k∈Z，
取k＝﹣1，可得x，
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数奇偶性的应用、最值得求法，比较基础．
9．（4分）已知实数α，β，则“α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z”是“csα＝﹣csβ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z，得csα＝﹣csβ，反之，由csα＝﹣csβ得α＝（2k+1）π±β，k∈Z，再结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：由α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z，得
csα＝cs[（2k+1）π﹣β]＝cs（π﹣β）＝﹣csβ，
反之，由csα＝﹣csβ，得csα+csβ＝0，即2cscs0，
即cs0或cs0，∴，或，k∈Z．
∴α+β＝2kπ+π或α﹣β＝2kπ+π，k∈Z，即α＝（2k+1）π±β，k∈Z，
即“α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z”是“csα＝﹣csβ”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
10．（4分）已知函数f（x）＝sinnx+csnx（n∈N*），则下列说法正确的是（ ）
①n＝1时，f（x）的最大值为；
②n＝2时，方程f（x）＝2sinx+|sinx|在[0，2π]上有且只有三个不等实根；
③n＝3时，f（x）为奇函数；
④n＝4时，f（x）的最小正周期为．
A．①②B．①③C．②④D．①④
【分析】对于①，由题意可得f（x）sin（x），即可判断；
对于②，由题意可得f（x）＝1，所以方程等价于2sinx+|sinx|＝1，分sinx≥0和sinx＜0分别求解即可确定解的个数；
对于③，验证f（﹣x）＝﹣f（x）是否成立即可；
对于④，化简得f（x）cs4x，根据周期公式计算即可．
【解答】解：对于①，当n＝1时，f（x）＝csx+sinxsin（x），所以f（x）的最大值为，故正确；
对于②，当n＝2时，f（x）＝cs2x+sin2x＝1，所以f（x）＝2sinx+|sinx|⇔2sinx+|sinx|＝1（*），
又因为x∈[0，2π]，
所以方程（*）等价于3sinx＝1（x∈[0，π]）或sinx＝1（x∈（π，2π]），
当3sinx＝1（x∈[0，π]）时，有sinx（x∈[0，π]），由正弦函数的性质可知此时方程有2个解；
当sinx＝1（x∈（π，2π]）时，由正弦函数的性质可知此时方程无解；
所以f（x）＝2sinx+|sinx|在[0，2π]上只有2个解，故错误；
对于③，当n＝3时，f（x）＝sin3x+cs3x，f（﹣x）＝sin3（﹣x）+cs3（﹣x）＝﹣sin3x+cs3x≠﹣f（x），所以f（x）不是奇函数，故错误；
对于④，当n＝4时，f（x）＝sin4x+cs4x＝（sin2x+cs2x）2﹣2sin2x•cs2x＝1sin22x＝1cs4x，所以T，故正确．
所以说法正确的有①④．
故选：D．
【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及对函数奇偶性的判断，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣1）的定义域是 （1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：x＞1或x≠2，
故函数的定义域是（1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
12．（5分）已知，则sin（π+θ）＝ ．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
则sin（π+θ）＝﹣sinθ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）＝xa经过点（9，3），则不等式f（x2﹣x+1）＜1的解集为 （0，1） ．
【分析】先求出函数的解析式，再根据函数的单调性即可求出不等式的解集．
【解答】解：函数f（x）＝xa经过点（9，3），
∴3＝9a，
∴a，
∴f（x），
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，
∵x2﹣x+1＞0恒成立，
又f（x2﹣x+1）＜1＝f（1），
∴x2﹣x+1＜1，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了幂函数的性质和不等式的解法，属于基础题．
14．（5分）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 1 ．
【分析】由题意可得函数f（x）在x处取最大值，从而有ω＝6k+1，k∈Z，再根据ω＞0，k∈Z，即可求得ω的最小值．
【解答】解：因为对任意的实数x都成立，
所以函数f（x）在x处取最大值，
所以ω2kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+1，k∈Z，
又因为ω＞0，
所以k≥0，
所以当k＝0时，ω取最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角函数的性质，得出函数f（x）在x处取最大值是关键，属于基础题．
15．（5分）已知f（x）＝|lgax|（a＞0，a≠1），给出下列四个结论：
①若f（2）＝1，则或2；
②若0＜m＜n，且f（m）＝f（n），则mn＝1；
③不存在正数k，使得g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有1个零点；
④存在实数a＞1，使得g（x）＝f（x）﹣ax恰有3个零点．
其中，所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】对于①，直接计算即可；对于②先去掉绝对值符号，再计算即可；对于③④，结合图象的性质判断即可．
【解答】解：对于①，由已知得|lga2|＝1，故lga2＝±1，故a＝2或，故①对；
对于②，不妨设a＞1，则，因为0＜m＜n，故f（n）﹣f（m）＝lgan+lgam＝lgamn＝0，故mn＝1，
同理0＜a＜1时，也有相同结论，故②对；
对于③④，不管a＞1或0＜a＜1，f（x）的图象形状一样，如图：
对于③，可看成y＝kx+1与y＝f（x）交点的个数问题，显然当k足够大时，两函数图象只在（0，1）上有一个交点，故③错误；
对于④，由于a＞1时，当a足够趋近于1时，y＝lgax与y＝ax的图象在（1，+∞）上与y＝x都会产生两个交点，且两函数图象关于y＝x对称，故该题中y＝ax与y＝f（x）在（0，1）上有一个交点，在（1，+∞）产生两个交点，共三个交点，故④对．
故选：①②④．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质和图象来解决函数零点的判断问题，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+1，其中m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最小值为0，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：．
【分析】（Ⅰ）根据二次函数的性质可得Δ＝m2﹣4＝0，从而可求m；
（Ⅱ）由已知结合方程的根与系数关系及基本不等式即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）若f（x）的最小值为0，
则m2﹣4＝0，
因为m＞0，
所以m＝2；
（Ⅱ）证明：由题意得x1+x2＝m，x1x2＝1，Δ＝m2﹣4＞0，
因式m＞0，
所以m＞2，
则m4，
当且仅当m，即m＝2时取等号，但显然等号无法取得，
所以．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，方程的根与系数关系，基本不等式，属于中档题．
17．（14分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象过点（0，1），相邻的两个对称中心之间的距离为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）单调递增区间和对称中心．
【分析】（Ⅰ）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；
（Ⅱ）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象过点（0，1），
可得f（0）＝2sinφ＝1，则sinφ，所以φ，
由相邻的两个对称中心之间的距离为，
则函数f（x）的周期T＝2π，解得ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x）．
（Ⅱ）由（1）可知，f（x）2sin（2x），
令2kπ＜2x2kπ，k∈Z，解得kπ＜xkπ，k∈Z，
则函数f（x）的增区间为（kπ，kπ），k∈Z，
令2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z，
则函数f（x）的对称中心为（，0），k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求法，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（14分）已知函数f（x）＝a2x﹣2ax﹣1，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）已知f（x）的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
（Ⅱ）若a＝2，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值．
【分析】（Ⅰ）令x＝0，求得f（0）的值，即可得到定点坐标；
（Ⅱ）将a＝2代入，利用二次函数的性质即可得解；
（Ⅲ）分0＜a＜1及a＞1两种情况，讨论即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）令x＝0，则f（0）＝a0﹣2a0﹣1＝1﹣2﹣1＝﹣2，
所以定点坐标为（0，﹣2）；
（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝22x﹣2•2x﹣1＝（2x﹣1）2﹣2≥﹣2，当x＝0时，等号成立，
所以f（x）的最小值为﹣2；
（Ⅲ）f（x）＝（ax﹣1）2﹣2，令t＝ax，
当0＜a＜1时，由于y＝ax在[0，1]上单调递减，则t∈[a，1]，
而函数y＝（t﹣1）2﹣2在[a，1]上单调递减，则，解得a＝3或a＝﹣1，不合题意；
当a＞1时，由于y＝ax在[0，1]上单调递增，则t∈[1，a]，
而函数y＝（t﹣1）2﹣2在[1，a]上单调递增，则，解得a＝3或a＝﹣1（舍）；
综上，实数a的值为3．
【点评】本题考查指数函数以及二次函数的性质，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
19．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x值．
【分析】根据条件，可得f（x）＝2sin（2x）﹣1，
（Ⅰ）将x代入f（x）＝2sin（2x）﹣1计算即可；根据周期公式计算周期即可；
（Ⅱ）由x∈，可得2x∈[0，]，根据正弦函数的性质，求出最值及对应的x的值．
【解答】解：因为f（x）＝﹣2sin2（x）+2cs2x
＝﹣2（csxsinx）2（2cs2x﹣1）
＝﹣1+sin2xcs2x＝2sin（2x）﹣1，
（Ⅰ）f（）＝2sin（2）﹣1＝0，周期Tπ；
（Ⅱ）因为x∈，所以2x∈[0，]，
所以当2x，即x时，f（x）取最小值，
所以f（x）min＝f（）＝2×（）﹣1＝﹣2；
当2x，即x时，f（x）取最大值，
所以f（x）max＝f（）＝2×1﹣1＝1．
【点评】本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题．
20．（14分）如图，在函数f（x）＝lg2x图象任取三点A（a，f（a）），B（b，f（b）），C（c，f（c）），满足a≥1，b＝a+2，c＝b+2，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F．
（Ⅰ）当a＝2时，求梯形ADEB的周长；
（Ⅱ）用a表示△ABC的面积S，并求S的最大值．
【分析】（Ⅰ）分别计算出点A，B的坐标，即可解出；
（Ⅱ）三角形△ABC的面积等于梯形ADEB和梯形BEFC的面积之和减去梯形ADFC的面积，即可解出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知A（2，1），B（4，2），
∴AD＝1，DE＝2，EB＝2，AB，
故梯形ADEB的周长为：1+2+25；
（Ⅱ）由题意可知A（a，lg2a），B（a+2，lg2（a+2）），C（a+4，lg2（a+4）），
∴S梯形ADEB[lg2a+lg2（a+2）]×2＝lg2a（a+2），
S梯形BEFC[lg2（a+2）+lg2（a+4）]×2＝lg2（a+2）（a+4），
S梯形ADFC[lg2a+lg2（a+4）]×4＝2lg2a（a+4），
∴S＝lg2a（a+2）+lg2（a+2）（a+4）﹣2lg2a（a+4）lg2（1），
∵a≥1，∴（a+2）2﹣4≥5，
∴11，
∴S，即三角形△ABC的面积的最大值为：．
【点评】本题考查了函数的性质，转化思想，学生的数学运算能力，属于基础题．
21．（15分）已知整数m，n≥3，集合Xn＝{（x1，x2，⋯，xn）|xi∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Xn中的任意两个元素A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn），定义A与B之间的距离为d（A，B）．
若A1，A2，⋯，An∈Xn且d（A1，A2）＝d（A2，A3）＝⋯＝d（Am﹣1，An），则称A1，A2，⋯，Am是Xn中的一个等距序列．
（Ⅰ）若A1＝（1，0，0，0），A2＝（1，1，0，0），A3＝（0，1，1，0），A4＝（0，1，1，1），判断A1，A2，A3，A4是否是X4中的一个等距序列？
（Ⅱ）设A，B，C是X3中的等距序列，求证：d（A，C）为偶数；
（Ⅲ）设A1，A2，⋯，Am是X6中的等距序列，且，，d（A1，A2）＝5．求m的最小值．
【分析】（Ⅰ）直接求出d（A1，A2）与d（A2，A3），由d（A1，A2）是否相当d（A2，A3）即可判断；
（Ⅱ）分d（A，B）＝d（B，C）结果为0，1，2，3来讨论；
（Ⅲ）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据d（A1，A2）＝5，可知每次需要变换几个对应坐标．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，
所以d（A1，A2）≠d（A2，A3），
所以A1，A2，A3，A4不是X4中的一个等距序列．
（Ⅱ）证明：设A＝（a1，a2，a3），B＝（b1，b2，b3），C＝（c1，c2，c3），
把a1a2a3，b1b2b3，c1c2c3分别称作A＝（a1，a2，a3），B＝（b1，b2，b3），C＝（c1，c2，c3）的第一个，第二个，第三个坐标，
若d（A，B）＝x，x∈{0，1，2，3}则A，B中有x个对应坐标不相同，
例如当d（A，B）＝1时，说明A，B中有1个对应坐标不相同，
其中A＝（1，1，0），B＝（1，1，1），就是符合d（A，B）＝1的一种情况．
当d（A，B）＝d（B，C）＝0时，A＝B＝C，所以d（A，C）＝0是偶数；
当d（A，B）＝d（B，C）＝1时，则A，B中有1个对应坐标不相同，并且B，C中有1个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A＝C则d（A，C）＝0，
当有2个对应坐标不相同时，d（A，C）＝2，都满足d（A，C）为偶数；
当d（A，B）＝d（B，C）＝2时，A，B中有2个对应坐标不相同，并且B，C中有2个对应坐标不相同，
所以A，C中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A＝C则d（A，C）＝0，
当有2个对应坐标不相同时，d（A，C）＝2，都满足d（A，C）为偶数；
当d（A，B）＝d（B，C）＝3时，A，B中有3个对应坐标不相同，并且B，C中有3个对应坐标不相同，
所以A，C中有0个对应坐标不相同，即A＝C则d（A，C）＝0，满足d（A，C）为偶数，
综上，A，B，C是X3中的等距序列，则d（A，C）为偶数．
（Ⅲ）根据第二问，可得d（A1，A2）＝5，则说明A1，A2中有5个对应坐标不相同，
由Ai变换到Ai+1需改变5个坐标，保留1个不变，又从1变成0经过奇数次变化，
所以从变到，d（A1，A2）＝5至少经过6次变换，每个坐标变换5次，
故m的最小值为7．
【点评】本题考查了等距序列的定义及其应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
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