2022-2023学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{y|y＝lg2x，x＞2}，B＝{y|y＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{y|0＜y＜4}B．{y|0＜y＜1}C．{y|1＜y＜4}D．∅
2．命题“∀x＞0，x2﹣2x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，x2﹣2x+1＜0B．∀x＞0，x2﹣2x+1＜0
C．∃x≤0，x2﹣2x+1＜0D．∀x≤0，x2﹣2x+1＜0
3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．yB．y＝3x﹣3﹣xC．y＝tanxD．y
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c
5．函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数f（x）是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[）B．[]C．（0，]D．[）
（多选）7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的一个零点为
B．是偶函数
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的一条对称轴为
（多选）8．定义域和值域均为[﹣a，a]的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，其中a＞c＞b＞0，下列四个结论中正确有（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f（x）]＝0有且仅有八个解
D．方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
二、填空题
9．函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是 ．
10．把函数y＝csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为 ．
11．若α的终边过点（﹣1，2），则tanα＝ ． ．
12．设函数，若，则实数a＝ ，f（f（2））＝ ．
13．已知函数，方程f（x）＝k有两个实数解，则k的范围是 ．
三、解答题（共3小题，满分0分）
14．已知集合，集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
（Ⅰ）当a＝3时，求A和（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
15．已知，．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
16．函数是R上的奇函数，a，b是常数．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（k⋅3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意实数x恒成立，求实数k范围．
2022-2023学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝lg2x，x＞2}，B＝{y|y＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{y|0＜y＜4}B．{y|0＜y＜1}C．{y|1＜y＜4}D．∅
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{y|y＞1}，B＝{y|y＜4}，
∴A∩B＝{y|1＜y＜4}．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．命题“∀x＞0，x2﹣2x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，x2﹣2x+1＜0B．∀x＞0，x2﹣2x+1＜0
C．∃x≤0，x2﹣2x+1＜0D．∀x≤0，x2﹣2x+1＜0
【分析】全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题．
【解答】解：由已知得，命题“∀x＞0，x2﹣2x+1≥0”的否定是：
∃x＞0，x2﹣2x+1＜0．
故选：A．
【点评】本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．
3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．yB．y＝3x﹣3﹣xC．y＝tanxD．y
【分析】结合基本初等函数的单调性和奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：根据反比例函数的性质可知，y在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）内不单调，不符合题意；
由于y为奇函数且在R上单调递增，符合题意；
根据正切函数的性质可知，y＝tanx在定义域内不单调，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，y定义域[0，+∞）关于原点不对称，为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a，b，c的取值范围，从而可得结果．
【解答】解：∵，，，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的关系，属于基础题．
5．函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的单调性排除A D；根据f（﹣1）≠f（1）排除C．
【解答】解：函数在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，故排除AD；
因为f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝1，所以f（﹣1）≠f（1），所以函数f（x）不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除C．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
6．已知函数f（x）是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[）B．[]C．（0，]D．[）
【分析】根据题意可讨论a：a＞1时，可看出f（x）在（1，+∞）上单调递增，而f（x）在（﹣∞，1]上不是增函数，显然不合题意；0＜a＜1时，可看出f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而得出，解出a的范围即可．
【解答】解：①a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴f（x）在R上是增函数；
显然f（x）在（﹣∞，1]上不是增函数；
∴a＞1的情况不存在；
②0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴f（x）在R上是减函数；
∴；
解得；
综上得，实数a的取值范围为．
故选：B．
【点评】考查对数函数、二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及减函数的定义．
（多选）7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的一个零点为
B．是偶函数
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的一条对称轴为
【分析】由函数的周期求出ω的值，再由为可得f（）为函数的最大值，由此求出φ的值，进而可以求出函数f（x）的解析式，然后对应各个选项逐个判断即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的周期为π，则ω＝2，
又f（x），则f（x），所以2φ，解得φ，
所以f（x）＝sin（2x），
选项A：因为f（）＝sin[2]＝sin0＝0，故A正确；
选项B：因为f（x）＝sin[2sin（2x）＝cs2x，而cs（﹣2x）＝cs2x，故B正确；
选项C：当x时，2x，此时函数f（x）不单调，故C错误；
选项D：因为f（）＝sin[2sin（）＝﹣1＝f（x）min，故D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角函数的周期性以及最值问题，考查了正弦函数的性质以及学生的运算能力，属于基础题．
（多选）8．定义域和值域均为[﹣a，a]的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，其中a＞c＞b＞0，下列四个结论中正确有（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f（x）]＝0有且仅有八个解
D．方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设t＝g（x），则由f[g（x）]＝0，即f（t）＝0，当t＝0时，则t＝g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所有三个解，A正确；
对于B，设t＝f（x），若g[f（x）]＝0，即g（t）＝0，则t＝b，所以f（x）＝b，因为c＞b＞0，所以对应f（x）＝b的解有3个，B正确；
对于C，设t＝f（x），若f[f（x）]＝0，即f（t）＝0，t＝﹣b或t＝0或t＝b，则f（x）＝﹣b，或f（x）＝0，或f（x）＝b，
因为a＞c＞b＞0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C错误；
对于D，设t＝g（x），若g[g（x）]＝0，即g（t）＝0，所以t＝b，则g（x）＝b，因为y＝g（x）是减函数，所以方程g（x）＝b只有1解，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于中档题．
二、填空题
9．函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是 （2，3）∪（3，+∞） ．
【分析】函数解析式含有对数式和分式，由对数式的真数大于0和分式的分母不等于0取交集．
【解答】解：要使原函数有意义，需要解得：x＞2且x≠3．
所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故答案为（2，3）∪（3，+∞）．
【点评】本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．
10．把函数y＝csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为 y＝﹣sin2x ．
【分析】函数y＝csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）x的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．
【解答】解：函数y＝csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到y＝cs2x，
把图象向左平移 个单位，得到y＝cs[2（x）]＝cs（2x）＝﹣sin2x
故答案为：y＝﹣sin2x
【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．准确理解变换规则是关键．
11．若α的终边过点（﹣1，2），则tanα＝ ﹣2 ． ﹣1 ．
【分析】由已知利用正切函数的定义求得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求．
【解答】解：∵α的终边过点（﹣1，2），∴tanα；
则．
故答案为：﹣2；﹣1．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
12．设函数，若，则实数a＝ ，f（f（2））＝ ．
【分析】利用分段函数的解析式通过，求解a的值，利用分段函数逐步求解f（f（2））即可．
【解答】解：函数，若，
可得，解得a；
f（2）．
f（f（2））＝f（）．
故答案为：；．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．
13．已知函数，方程f（x）＝k有两个实数解，则k的范围是 {k|k＝﹣4或k＞﹣3} ．
【分析】画出函数f（x）的图象，作出直线y＝k，观察图象，得到直线与曲线有两个交点的情况的k的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图，
作出直线y＝k，观察图象，k＝﹣4或k＞﹣3时，直线与曲线有两个交点，故实数k的取值范围是{k|k＝﹣4或k＞﹣3}．
故答案为：{k|k＝﹣4或k＞﹣3}．
【点评】本题考查分段函数的图象及应用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
三、解答题（共3小题，满分0分）
14．已知集合，集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
（Ⅰ）当a＝3时，求A和（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接利用集合间的运算和不等式的解法的应用求出结果；
（Ⅱ）直接利用集合间的关系和不等式的解法的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）集合，
整理得：A＝{x|x＞4或x＜﹣3}，
集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
当a＝3时，B＝{x|﹣1≤x≤7}．
所以（∁RA）∪B＝{x|﹣3≤x≤7}．
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B⊆A，
当B＝∅时，a﹣2＞2a﹣1，解得a＜﹣3．
当B≠∅时，或，
整理得a＞6或﹣3≤a＜﹣2．
综上所述：a＞6或a＜﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：集合间的运算，空集的定义，集合间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
15．已知，．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求t得an2α的值．
（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
（Ⅲ）先求得 sin2α、cs2α 的值，再利用两角差的正弦公式，求出的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，，
∴tan2α．
（Ⅱ）由tanα，可得．
（Ⅲ）∵sin2α，cs2α，
∴sin2αcscs2αsin．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于中档题．
16．函数是R上的奇函数，a，b是常数．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（k⋅3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意实数x恒成立，求实数k范围．
【分析】（1）根据函数f（x）是R上的奇函数，即可求解；
（2）由（1）知，先利用单调性的定义证明f（x）是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式f（k⋅3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意实数x恒成立，转化为不等式对任意实数x恒成立求解．
【解答】解：（1）因为函数是R上的奇函数，
所以，即，解得；
（2）由（1）知，
设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则，
因为x1＜x2，
所以，
又，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是R上的增函数，
因为不等式f（k⋅3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意实数x恒成立，
所以不等式f（k⋅3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）＝f（﹣3x+9x+2）对任意实数x恒成立，
所以不等式k⋅3x＜﹣3x+9x+2对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
令，
令 t＝3x＞0，
则由对勾函数的性质得：，
即g（x）的最小值为，
所以．
所以实数k的范围是．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
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