2022-2023学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
2．（5分）已知角A同时满足sinA＜0，tanA＜0，则角A的终边一定落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）设a＝lg20.3，b＝0.8e，c＝e0.8，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a
4．（5分）某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示：
已知小明某月国内主叫通话总时长为200分钟，使用国内数据流量为40兆，则在两种套餐下分别需要支付的费用为（ ）
A．75和93B．75.5和93C．76和93D．75.5和98
5．（5分）函数f（x）＝sin|x|•lnx2的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）若函数f（x）＝2x+a•2﹣3x是奇函数，则a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
7．（5分）函数y＝tan的单调递增区间是（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
8．（5分）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数f（x）＝ln，若实数m满足不等式f（3m2+2m）＜﹣ln（），则m的取值范围为（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣1，）∪（0，）
C．（，1）D．（，）∪（0，1）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若函数f（x）＝xα，则（ ）
A．f（x）的图象经过点（0，0）和（1，1）
B．当f（x）的图象经过点（﹣1，﹣1）时，f（x）为奇函数
C．当f（x）的图象经过点（﹣1，1）时，f（x）为偶函数
D．当α＞0时，存在f（x）使得
（多选）10．（5分）函数f（x），下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的值域是，1]
B．当且仅当x＝2kπ，k∈z或x＝2kπ，k∈Z时，f（x）有最大值1
C．当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，f（x）有最小值﹣1
D．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ，k∈Z时，f（x）＞0
（多选）11．（5分）函数f（x），下列结论正确是（ ）
A．f（x）图象关于y轴对称
B．f（x）在[0，+∞）上单调递减
C．f（x）的值域为（0，]
D．f（x）有最大值
（多选）12．（5分）若函数f（x）＝xsinx，则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．存在实数b，使得函数g（x）＝f（x）﹣b的零点恰有4个
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．方程f（x）＝1在[﹣2π，2π]内有4个不同的解
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝2lga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ．
14．（5分）已知扇形面积为4，圆心角为2rad，则扇形的周长为 ．
15．（5分）已知4x＝5y＝10， ．
16．（5分）函数f（x），直线y＝b与f（x）的图象四个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2＝ ，x1•x2•x3•x4的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|y}．
（1）求（∁RA）∩B；
（2）设集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩C＝∅，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的周期为π，最大值为2，且过点（0，﹣1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为．
（1）求sinα+csα和tanα的值；
（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角β，求．
20．（12分）①f（ln2）；②f（x）为偶函数；③f（x）的图象经过g（x）＝ax+1的图象所在的定点．从这三个条件中选一个补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数f（x）＝ex，a∈R，且_____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）1999年以来，漳州市连续每年11月18日承办海峡两岸花卉博览会，开创了两岸花卉直接交流的先河．近年来，漳州市委、市政府高度重视花卉苗木产业的培育和发展，将花卉苗木产业纳入全市“千百亿产业培育行动计划”，出台了多项扶持政策．某花卉苗木企业积极响应市里号召，决定对企业的某花卉进行一次评估．已知该花卉单价为15元，年销售10万棵．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少4000棵，要使销售的总收入不低于原收入，该花卉每棵售价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业决定立即对该花卉进行种值技术革新和营销策略改革，拟投入x（1≤x≤30）万元作为技改费和宣传费用，每棵售价定为（x+15）元，预估每棵成本为（）元，销售量与投入费用的函数关系近似为S（x）万棵．试问：投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额﹣成本﹣技改费和宣传费）
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2（3+2x﹣x2）（x∈[1，1]），h（x）＝4x﹣a•2x+1．
（1）求f（x）的值域；
（2）对∀x1x2∈[0，1]，使得h（x2）＝f（x1）成立，求a的取值范围．
2022-2023学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．
【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，
故选：A．
2．（5分）已知角A同时满足sinA＜0，tanA＜0，则角A的终边一定落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】分别求出满足sinA＜0、tanA＜0的角A的所在象限，取交集得答案．
【解答】解：由sinA＜0，得A为第三、四象限角或终边在y轴负半轴上的角；
由tanA＜0，得A为第二、第四象限角．
取交集可得，角A的终边一定落在第四象限．
故选：D．
3．（5分）设a＝lg20.3，b＝0.8e，c＝e0.8，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵lg20.3＜lg21＝0，∴a＜0，
∵0＜0.8e＜0.80＝1，∴0＜b＜1，
∵e0.8＞e0＝1，∴c＞1，
∴c＞b＞a，
故选：C．
4．（5分）某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示：
已知小明某月国内主叫通话总时长为200分钟，使用国内数据流量为40兆，则在两种套餐下分别需要支付的费用为（ ）
A．75和93B．75.5和93C．76和93D．75.5和98
【分析】套餐1：需要支付的费用＝套餐使用费+套餐外国内主叫通话费+套餐外国内数据流量费；
套餐2：需要支付的费用＝套餐使用费+套餐外国内数据流量费．
【解答】解：套餐1：需要支付的费用为58+0.25×（200﹣150）+0.50×（40﹣30）＝75.5元；
套餐2：需要支付的费用为88+0.50×（40﹣30）＝93元．
故选：B．
5．（5分）函数f（x）＝sin|x|•lnx2的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数的奇偶性及当x∈（0，1）时函数值的大小，即可得出正确选项．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
f（﹣x）＝sin|﹣x|•ln（﹣x）2＝sin|x|•lnx2＝f（x），故函数f（x）是偶函数，排除选项BD；
当x∈（0，1）时，sin|x|＞0，lnx2＜0，f（x）＜0，故排除C；
故选：A．
6．（5分）若函数f（x）＝2x+a•2﹣3x是奇函数，则a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【分析】可以求出f（x）的定义域为R，并且f（x）是奇函数，从而得出f（0）＝0，即可求出a的值．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（x）的定义域为R，
∴f（0）＝0，即1+a＝0，
∴a＝﹣1．
故选：C．
7．（5分）函数y＝tan的单调递增区间是（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【分析】直接利用正切型函数的性质的应用求出函数的单调区间．
【解答】解：令（k∈Z）解得：（k∈Z），
故函数的单调增区间为．
故选：A．
8．（5分）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数f（x）＝ln，若实数m满足不等式f（3m2+2m）＜﹣ln（），则m的取值范围为（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣1，）∪（0，）
C．（，1）D．（，）∪（0，1）
【分析】由题可求出f（x）的定义域，并判断f（x）为增函数，计算f（1）＝﹣ln（），从而将不等式化为f（3m2+2m）＜f（1），再利用单调性即可求解．
【解答】解：由题意得，f（x）＝ln，
由0，可得x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为y1在（0，+∞）上为增函数，
所以f（x）＝ln在（0，+∞）上为增函数；
因为f（1）＝lnlnln（），
所以f（3m2+2m）＜﹣ln（）等价于f（3m2+2m）＜f（1），
所以0＜3m2+2m＜1，
解得﹣1＜m或0＜m，
即m的取值范围为（﹣1，）∪（0，）．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若函数f（x）＝xα，则（ ）
A．f（x）的图象经过点（0，0）和（1，1）
B．当f（x）的图象经过点（﹣1，﹣1）时，f（x）为奇函数
C．当f（x）的图象经过点（﹣1，1）时，f（x）为偶函数
D．当α＞0时，存在f（x）使得
【分析】利用幂函数的定义、性质直接求解．
【解答】解：函数f（x）＝xα，
对于A，当α≤0时，f（x）的图象经过点（1，1），不经过点（0，0），故A错误；
对于B，当f（x）的图象经过点（﹣1，﹣1）时，f（﹣1）＝（﹣1）α＝﹣1，
当α＞0时，f（x）的定义域为R，当α＜0时，f（x）的定义域是{x|x≠0}，
∴f（x）的定义域关于坐标原点对称，
∵f（﹣x）＝（﹣x）α＝（﹣1）αxα＝﹣xα＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，故B正确；
对于C，当f（x）的图象经过点（﹣1，1）时，f（﹣1）＝（﹣1）α＝1，
∵f（x）经过（﹣1，1），
∴α＞0时，f（x）的定义域为R，α＜0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，
∴f（x）的定义域关于坐标原点对称，
∵f（﹣x）＝（﹣x）α＝xα＝f（x），
∴f（x）为偶函数，故C正确；
对于D，当α＞0时，f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（）＞f（），故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）函数f（x），下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的值域是，1]
B．当且仅当x＝2kπ，k∈z或x＝2kπ，k∈Z时，f（x）有最大值1
C．当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，f（x）有最小值﹣1
D．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ，k∈Z时，f（x）＞0
【分析】作出函数f（x）的图象，然后数形结合，即可分别求解．
【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象如图所示：
由图可知：f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，
当x＝2kπ或2kπ，k∈Z时，f（x）的最大值是1，∴B选项正确；
当且仅当时，f（x）取得最小值，∴C选项错误；
∴f（x）的值域为，1]，∴A选项正确；
x∈（2kπ+π，2kπ）（k∈Z）时，f（x）＜0，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．（5分）函数f（x），下列结论正确是（ ）
A．f（x）图象关于y轴对称
B．f（x）在[0，+∞）上单调递减
C．f（x）的值域为（0，]
D．f（x）有最大值
【分析】求出函数的定义域，利用绝对值的意义，求出当x≥0或x＜0时，函数的解析式，结合分式函数的性质进行判断即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣9≠0，得x≠3且x≠﹣3，在函数f（x）在[0，+∞）上单调递减错误，故B错误，
f（﹣x）f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故A正确，
当x≥0且x≠3时，f（x），
当x＜0且x≠﹣3时，f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
当x＝3时，y，当x＝﹣3时，y，
即0＜f（x）且f（x），即函数的值域是（﹣∞，）∪（，]，故C错误，
由函数值域值函数有最大值，故D正确，
故选：AD．
（多选）12．（5分）若函数f（x）＝xsinx，则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．存在实数b，使得函数g（x）＝f（x）﹣b的零点恰有4个
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．方程f（x）＝1在[﹣2π，2π]内有4个不同的解
【分析】A．x∈R，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得出奇偶性；
B．∀b，∃n∈N*，使得（2n）π＞|b|，可得f（（2n）π）＞b；f（（2n）π）＜b，可得存在无数个n，使得f（x）＝b有解，即可判断出正误；
C．x∈（0，），计算f′（x），进而判断出函数f（x）在（0，）上单调性；
D．由函数f（x）是R上的偶函数，先考虑x∈[0，2π]，由C可得，f（x）在[0，]上单调递增，可得f（x）＝1在[0，]上有唯一解．x∈（，π]时，f″（x）＜0，函数f′（x）在（，π]上单调递减，f′（π）＝﹣π，1，根据单调性可得f（x）＝1在（，π]有唯一解．x∈（π，2π]时，f（x）≤0，因此f（x）＝1在x∈（π，2π]上无解．进而判断出正误．
【解答】解：A．x∈R，∵f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），∴f（x）是R的偶函数，因此A正确；
B．∀b，∃n∈N*，使得（2n）π＞|b|，则f（（2n）π）＝（2n）π）＞b；f（（2n）π）＝﹣（2n）π）＜b，因此存在无数个n，使得f（x）＝b有解，因此B不正确；
C．∵x∈（0，），∴f′（x）＝sinx+xcsx＞0，∴f（x）在（0，）上单调递增，因此C正确；
D．由函数f（x）是R上的偶函数，先考虑x∈[0，2π]，由C可得，f（x）在[0，]上单调递增，f（0）＝0，f（）1，因此f（x）＝1在[0，]上有唯一解．x∈（，π]时，f″（x）＝2csx﹣xsinx＜0，函数f′（x）在（，π]上单调递减，f′（π）＝﹣π，1，因此存在x0，使得函数f（x）在（，x0）上单调递增，f（x）在（x0，π）上单调递减，f（x0）＞f（）1，f（π）＝0，因此f（x）＝1在（，π]有唯一解．x∈（π，2π]时，f（x）≤0，因此f（x）＝1在x∈（π，2π]上无解．综上可得函数f（x）＝1在[﹣2π，2π]内有4个不同的解，因此D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝2lga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 （1，1） ．
【分析】由f（1）＝1即可得解．
【解答】解：已知函数f（x）＝2lga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1），
令2x﹣1＝1，
即x＝1，
则f（1）＝1，
即函数f（x）＝2lga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，1），
故答案为：（1，1）．
14．（5分）已知扇形面积为4，圆心角为2rad，则扇形的周长为 8 ．
【分析】由扇形的面积公式列方程，解出扇形的半径长，再由弧长公式计算，可得扇形的周长．
【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
则42×r2，解得r＝2，
又l＝2×2＝4，
扇形的周长为l+2r＝4+2×2＝8，
故答案为：8．
15．（5分）已知4x＝5y＝10， 1 ．
【分析】根据条件可得出2x＝lg210，y＝lg510，然后即可得出的值．
【解答】解：∵4x＝5y＝10，
∴2x＝lg210，y＝lg510，
∴．
故答案为：1．
16．（5分）函数f（x），直线y＝b与f（x）的图象四个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2＝ ﹣2 ，x1•x2•x3•x4的取值范围是 （0，1） ．
【分析】作出函数f（x）的图象如图所示，根据图象可求得x1+x2的值，以及x1•x2•x3•x4的取值范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，
由f（x）＝﹣2x﹣x2＝﹣（x+1）2+1，当x＝﹣1时，y＝1，
由直线y＝b与f（x）的图象四个交点，可得0＜b＜1，
∵四个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，
∴x1＜﹣1＜x2＜0＜x3＜1＜x4，
x1，x2关于x＝﹣1对称，∴x1+x2＝﹣2，
又|x3|＝|x4|，∴x3x4＝0，∴x3•x4＝1，
∴x1•x2•x3•x4＝x1•x2＝（﹣2﹣x2）x22x2＝﹣（x2+1）2+1∈（0，1）．
故答案为：﹣2；（0，1）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|y}．
（1）求（∁RA）∩B；
（2）设集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩C＝∅，求a的取值范围．
【分析】（1）化简A、B，求出∁RA与（∁RA）∩B即可；
（2）由A∩C＝∅列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|y}＝{x|x＞1}，
∴∁RA＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴（∁RA）∩B＝{x|1＜x≤3}．
（2）∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，C＝{x|a＜x＜a+1}，且A∩C＝∅，
∴，解得：﹣1≤a≤2，
即a的取值范围[﹣1，2]．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的周期为π，最大值为2，且过点（0，﹣1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【分析】（1）由已知得A＝2，ω2，将点（0，﹣1）代入，结合|φ|，可得φ，能求出f（x）．
（2）由正弦函数的性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由已知得A＝2，ω2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
把（0，﹣1）代入，得2sinφ＝﹣1，
由|φ|，可得φ，
∴f（x）＝2sin（2x）．
（2）∵函数f（x）＝2sin（2x），
0，，∴sin（）∈[，1]，2sin（）∈[﹣1，2]，
∴f（x）在区间[0，]上的最大值是2，最小值是﹣1．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为．
（1）求sinα+csα和tanα的值；
（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角β，求．
【分析】（1）根据三角函数的定义，可得sinα，csα和tanα的值，再代入运算，得解；
（2）由题意知，β＝α，先利用诱导公式化简所求式子，再代入运算，得解．
【解答】解：（1）由题意知，点P的坐标为（，），
所以sinα，csα，tanα，
所以sinα+csα．
（2）由题意知，β＝α，
所以4．
20．（12分）①f（ln2）；②f（x）为偶函数；③f（x）的图象经过g（x）＝ax+1的图象所在的定点．从这三个条件中选一个补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数f（x）＝ex，a∈R，且_____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）选①，只需根据已知列式，即可得出a＝﹣1；选②，根据偶函数的定义得出f（﹣x）＝f（x），即可列式解出a＝﹣1；先③，通过指数函数的性质结合函数平移得出其过的定点，即可代入f（x），解得a＝﹣1，即可求出结果；
（2）根据函数单调性的定义证明，任取x1，x2∈[0，+∞），当x1＜x2时，得出f（x1）＜f（x2），由此能求出结果．
【解答】解：（1）选①，由f（ln2），得，解得a＝﹣1，
∴f（x）；
选②，∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），即e﹣x﹣aex＝ex﹣ae﹣x，
∴（1+a）e﹣x＝（1+a）ex，对任意x∈R恒成立，∴a＝﹣1，
∴f（x）；
选③，∵g（x）＝ax+1的图象所在的定点为（0，2），
∴f（0）1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
∴f（x）．
（2）f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．
证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞），令x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）（）（）（1），
∵0≤x1＜x2，∴0，10，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．
21．（12分）1999年以来，漳州市连续每年11月18日承办海峡两岸花卉博览会，开创了两岸花卉直接交流的先河．近年来，漳州市委、市政府高度重视花卉苗木产业的培育和发展，将花卉苗木产业纳入全市“千百亿产业培育行动计划”，出台了多项扶持政策．某花卉苗木企业积极响应市里号召，决定对企业的某花卉进行一次评估．已知该花卉单价为15元，年销售10万棵．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少4000棵，要使销售的总收入不低于原收入，该花卉每棵售价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业决定立即对该花卉进行种值技术革新和营销策略改革，拟投入x（1≤x≤30）万元作为技改费和宣传费用，每棵售价定为（x+15）元，预估每棵成本为（）元，销售量与投入费用的函数关系近似为S（x）万棵．试问：投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额﹣成本﹣技改费和宣传费）
【分析】（1）设花卉每棵售价提高t元，则售价变为（15+t）元，销售量变为（10﹣0.4t）棵，根据销售的总收入不低于原收入，可得关于t的不等式，解之即可；
（2）利润f（x）＝S（x）[（x+15）﹣（）]﹣x，化简后，结合基本不等式，即可得解．
【解答】解：（1）设花卉每棵售价提高t元，则售价变为（15+t）元，销售量变为（10﹣0.4t）棵，
要使销售的总收入不低于原收入，则（15+t）（10﹣0.4t）≥15×10，
化简得t（0.4t﹣4）≤0，解得0≤t≤10，
所以15≤15+t≤25，
故该花卉每棵售价最多为25元．
（2）利润f（x）＝S（x）[（x+15）﹣（）]﹣x•（x+10）﹣xx（x+1）121≤﹣2121＝113，
当且仅当﹣（x+1），即x＝3时，等号成立，
所以投入3万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是113万元．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2（3+2x﹣x2）（x∈[1，1]），h（x）＝4x﹣a•2x+1．
（1）求f（x）的值域；
（2）对∀x1x2∈[0，1]，使得h（x2）＝f（x1）成立，求a的取值范围．
【分析】（1）令t＝3+2x﹣x2，通过二次函数的单调性可得到t∈[2，4]，而得到y＝lg2t∈[1，2]，即可求出答案；
（2）设h（x）的值域为B，根据题意可得[1，2]⊆B，设m＝2x，则h（x）＝g（m）＝m2﹣2am＝（m﹣a）2﹣a2，分a≥2，a≤1，a＜2和1＜a四种情况进行列不等式求解即可．
【解答】解：（1）令t＝3+2x﹣x2，则y＝lg2t，由3+2x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，
所以函数的定义域为（﹣1，3），
因为t＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4开口向下，对称轴为x＝1，
所以t＝3+2x﹣x2在[1，1]内单调递减，所以t∈[2，4]，
又y＝lg2t在[2，4]上单调递增，从而有y＝lg2t∈[1，2]，
所以f（x）的值域为[1，2]；
（2）当x∈[0，1]时，设h（x）的值域为B，依题意，知[1，2]⊆B，
设m＝2x，
则h（x）＝g（m）＝m2﹣2am＝（m﹣a）2﹣a2，
当x∈[0，1]时，m∈[1，2]，
当a≥2时，g（m）在[1，2]上单调递减，可知4﹣4a≤g（m）≤1﹣2a，
从而有，解得，故无解；
当a≤1时，g（m）在[1，2]上单调递增，可知1﹣2a≤g（m）≤4﹣4a，从而有，解得0≤a；
当a＜2时，可知﹣a2≤g（m）≤1﹣2a，
从而有，解得a（舍去）；
当1＜a时，可知﹣a2≤g（m）≤4﹣4a，
从而有，解得a（舍去）；
综上所述，a的取值范围为[0，]．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/6 10:19:07；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231套餐
套餐使用
费（元/
月）
套餐内包含
国内主叫通
话时长（分
钟）
套餐外国内
主叫通话单
价（元/分
钟）
国内
被叫
套餐内包含
国内数据流
量（兆）
套餐外国
内数据流
量单价（元
/兆）
套餐1：
58
150
0.25
免费
30
0.50
套餐2：
88
350
0.19
免费
30
0.50
套餐
套餐使用
费（元/
月）
套餐内包含
国内主叫通
话时长（分
钟）
套餐外国内
主叫通话单
价（元/分
钟）
国内
被叫
套餐内包含
国内数据流
量（兆）
套餐外国
内数据流
量单价（元
/兆）
套餐1：
58
150
0.25
免费
30
0.50
套餐2：
88
350
0.19
免费
30
0.50