2022-2023学年河北省保定三中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省保定三中高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}
2．（5分）设命题p：∀x∈（0，1），，则￢p为（ ）
A．∀x∈（0，1），B．∃x∈（0，1），
C．∀x∈（0，1），D．∃x∈（0，1），
3．（5分）函数的定义域为（ ）
A．（0，4）B．（1，2）C．（0，2]D．（1，2]
4．（5分）“x＞0”是“ex﹣1＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设a＝lg54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
6．（5分）已知，则tanα等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
7．（5分）已知函数y＝lga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像过定点P，且角α的终边过点P，则sin（2α+3π）＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）函数的零点所在的区间是（ ）
A．（e﹣1，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）
9．（5分）函数y（a＞0）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是（ ）
A．[﹣4，﹣2）B．[﹣4，﹣2]C．（﹣4，﹣2）D．（﹣4，﹣2]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）11．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝xB．y＝|x|+1C．D．
（多选）12．（5分）给出下列函数：
①y＝cs2x；
②y＝csx；
③；
④．
其中最小正周期为π的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
（多选）13．（5分）
函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，k∈Z
C．该函数的单调递增区间是，k∈Z
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
（多选）14．（5分）已知函数f（x），则下列结论中正确的是（ ）
A．（﹣∞，0]是函数f（x）的一个单调减区间
B．f（x）＞1的解集为（1，+∞）
C．若f（x），则x，或x＝1
D．方程f（x）+x＝0必有两个实数根
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
15．（5分）若sin（），则cs（）＝ ．
16．（5分）已知，则 ．
17．（5分）设2x＝3y＝72，则 ．
18．（5分）已知且a≠1），对任意且x1≠x2，不等式恒成立，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（15分）计算
（1）已知，，．求tanα和tan（α+2β）的值；
（2）．
20．（15分）已知函数f（x）＝lga（x+2）﹣lga（2﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）若一元二次不等式x2﹣ax+c≤0的解集为，求不等式f（x）＞c的解集．
21．（15分）已知函数f（x）＝（2csωx+sinωx）sinωx﹣sin2（ωx）（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 求函数f（x）在区间上的值域．
22．（15分）为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．
（1）求C（x）和f（x）的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．
2022-2023学年河北省保定三中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}
【分析】先求出集合M，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，
则M∩N＝{0，1，2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）设命题p：∀x∈（0，1），，则￢p为（ ）
A．∀x∈（0，1），B．∃x∈（0，1），
C．∀x∈（0，1），D．∃x∈（0，1），
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈（0，1），，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）函数的定义域为（ ）
A．（0，4）B．（1，2）C．（0，2]D．（1，2]
【分析】由已知可得，然后解不等式即可求解．
【解答】解：由已知可得，解得0＜x≤2，
故函数的定义域为（0，2]，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义域的求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．（5分）“x＞0”是“ex﹣1＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用不等式的解法和充分条件与必要条件的应用求出结果．
【解答】解：由于ex﹣1＞e0，整理得x＞1，
当“x＞0”时，“x＞1”不一定成立，当“x＞1”时，“x＞0”一定成立，
故“x＞0”是“ex﹣1＞1”的必要不充分条件；
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（5分）设a＝lg54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【分析】利用对数函数的单调性得到b＜a＜1，再利用指数函数的单调性得到c＞1，可得到答案．
【解答】解：∵lg53，a＝lg54＜lg55＝1，
∴b＜a＜1，
∵c＝0.5﹣0.2＞0.50＝1，
∴b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知，则tanα等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式即可求解．
【解答】解：因为，
所以3，
解答tanα＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7．（5分）已知函数y＝lga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像过定点P，且角α的终边过点P，则sin（2α+3π）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据对数型函数过定点求得P，利用三角函数的定义求出sinα，csα，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为当x＝1时，y＝lga1+3＝3，所以y＝lga（2x﹣1）+3过定点P（1，3），
由三角函数的定义可得，，，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
8．（5分）函数的零点所在的区间是（ ）
A．（e﹣1，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）
【分析】利用零点存在性定理即可判断．
【解答】解：f（e﹣1）＝﹣1﹣e＜0；f（1）＝﹣1＜0；
；
，
∴f（1）f（2）＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题．
9．（5分）函数y（a＞0）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．
【解答】解：f（﹣x）f（x），
∴y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
令0，解得x＝0，函数只有一个零点，
只有选项A符合，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键，属于基础题．
10．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是（ ）
A．[﹣4，﹣2）B．[﹣4，﹣2]C．（﹣4，﹣2）D．（﹣4，﹣2]
【分析】由题意作函数与y＝a的图象，从而可得x1+x2＝﹣2，1＜x4≤2，从而得到结果．
【解答】解：由题意作函数与y＝a的图象如下，
∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，
当|lg2x|＝1得x＝2或，则1＜x4≤2，故﹣4≤（x1+x2）x4＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）11．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝xB．y＝|x|+1C．D．
【分析】运用常见函数的奇偶性和单调性，可得结论．
【解答】解：对于A，y＝x为奇函数，不满足题意；
对于B，y＝|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
对于C，y为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
对于D，y为奇函数，不满足题意．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的单调性和奇偶性，考查推理能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）给出下列函数：
①y＝cs2x；
②y＝csx；
③；
④．
其中最小正周期为π的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据三角函数的性质求解即可
【解答】解：对于①，y＝cs|2x|＝cs2x，最小正周期为，∴①正确；
对于②，y＝csx，最小正周期为2π，∴②错误；
对于③，，最小正周期为，∴③正确；
对于④，，最小正周期为，∴④错误；
故选：AC．
【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数周期的结论，属基础题．
（多选）13．（5分）
函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，k∈Z
C．该函数的单调递增区间是，k∈Z
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由题图可知A＝2，4（π）＝3π，
所以ω，
则y＝2sin（x+φ），
又φ2kπ，k∈Z，
所以φ2kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，
所以φ，
所以y＝2sin（x），故A正确，
令xkπ，k∈Z，得xkπ，k∈Z，故B错误，
令2kπx2kπ，k∈Z，得3kπ≤x3kπ，k∈Z，故C正确，
把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象y＝2sin（x），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查的关键能力是运算求解，考查的学科素养是理性思维，属于中档题．
（多选）14．（5分）已知函数f（x），则下列结论中正确的是（ ）
A．（﹣∞，0]是函数f（x）的一个单调减区间
B．f（x）＞1的解集为（1，+∞）
C．若f（x），则x，或x＝1
D．方程f（x）+x＝0必有两个实数根
【分析】根据复合函数的单调性即可判断选项A，对分段函数进行分类讨论，列出不等式求解即可判断选项B，利用分段函数的解析式分类讨论求解方程可判断选项C，利用函数y＝f（x）与y＝﹣x的交点的个数即可判断选项D．
【解答】解：当x≤0时，，
因为与t＝1﹣x（x≤0）都是单调递减函数，
所以在（﹣∞，0]上单调递增，故选项A错误；
当x≤0时，因为1﹣x≥1，则0，
所以1，则f（x）＞1不成立，
当x＞0时，f（x）＞1，即，解得x＞1，
综上可得，f（x）＞1的解集为（1，+∞），故选项B正确；
当x≤0时，，即，解得，
当x＞0时，，即，解得，故选项C正确；
方程f（x）+x＝0的根的个数是函数y＝f（x）与y＝﹣x的交点的个数，如图所示，
函数y＝f（x）与y＝﹣x只有一个交点，故方程f（x）+x＝0只有一个实数根，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了分段函数的综合应用，涉及了分段函数单调性的求解，对数不等式的求解，方程根的个数的判断．对于分段函数问题，一般运用分类讨论或者数形结合的方法进行研究．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
15．（5分）若sin（），则cs（）＝ ．
【分析】根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：∵xx，
∴x（x），
则cs（x）＝cs[（x）]＝sin（x），
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．是基础题．
16．（5分）已知，则 ﹣1 ．
【分析】利用正余弦的倍角公式化简即可求解．
【解答】解：因为
＝tanα，
又因为tan，
所以tan1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正余弦的倍角公式的应用以及正余弦切的同角关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
17．（5分）设2x＝3y＝72，则 1 ．
【分析】由2x＝3y＝72，可得x＝lg272，y＝lg372，再由对数运算法则求解即可求出结果．
【解答】解：∵2x＝3y＝72，则x＝lg272，y＝lg372，
∴3lg722+2lg723＝lg72（23×32）＝lg7272＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查对数运算法则，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．
18．（5分）已知且a≠1），对任意且x1≠x2，不等式恒成立，则a的取值范围是 ．
【分析】根据题意得到f（x）在上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到a＞1，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．
【解答】解：因为对任意且x1≠x2，不等式恒成立，
所以f（x）在上单调递减，
因为y＝x2﹣ax+3在上单调递减，由复合函数的单调性知a＞1，
又由对数函数的定义域知，当时，x2﹣ax+3＞0恒成立，
可得，解得，
综上可得；，所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（15分）计算
（1）已知，，．求tanα和tan（α+2β）的值；
（2）．
【分析】（1）利用同角三角函数关系和正切的两角和公式求解即可；
（2）利用对数和指数的运算求解即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以，，又，
所以，2；
（2）原式．
【点评】本题考查三角函数的求值问题，三角函数同角关系的应用，对数的基本运算，属中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝lga（x+2）﹣lga（2﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）若一元二次不等式x2﹣ax+c≤0的解集为，求不等式f（x）＞c的解集．
【分析】（1）由对数的真数大于0，可得f（x）的定义域，再由函数的奇偶性的定义，可得结论；
（2）由二次不等式与二次方程的关系，解方程可得c，再由对数不等式的解法，可得所求解集．
【解答】解：（1）要使f（x）有意义，必须2+x＞0且2﹣x＞0，
解得﹣2＜x＜2，所以f（x）的定义域为（﹣2，2），f（x）是奇函数．
证明如下：f（x）的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，
f（﹣x）＝lga（﹣x+2）﹣lga（2+x）＝﹣[lga（x+2）﹣lga（2﹣x）]＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）由不等式x2﹣ax+c≤0的解集为，
所以得，c＝0，
所以，得，
因为为减函数，
所以
解得﹣2＜x＜0，
所以解集为{x|﹣2＜x＜0}．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和对数不等式的解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21．（15分）已知函数f（x）＝（2csωx+sinωx）sinωx﹣sin2（ωx）（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 求函数f（x）在区间上的值域．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间上的值域．
【解答】解：（Ⅰ）
．
由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知，
即ω＝1，所以．
令，解得：kπx≤kπ，
所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（Ⅱ）因为，所以
所以，所以﹣1≤f（x）≤2，
所以函数f（x）的值域为[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22．（15分）为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．
（1）求C（x）和f（x）的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．
【分析】（1）由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求k，进而得到C（x）．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值．
【解答】解：（1）因为，
若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以k＝40，故，
因为f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，
所以．
（2），
当且仅当，即x＝4时，等号成立，
即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
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