2022-2023学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{0，2，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}
2．（5分）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
3．（5分）下列条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．2a＞2bD．
4．（5分）下列是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x﹣1B．C．y＝exD．y＝x3
5．（5分）神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图．已知中国空间站离地球表面的高度约为390千米，每90分钟绕地球一圈．若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为12420千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（ ）（π≈3.14）
A．7.68千米/秒B．7.82千米/秒
C．7.88千米/秒D．7.96千米/秒
6．（5分）已知，则的化简结果是（ ）
A．sinα﹣csαB．sinα+csαC．sinαD．﹣csα
7．（5分）已知f（x）＝|lgx|，若，，c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b
8．（5分）已知函数f（x）＝lgx+x﹣3，则f（x）的零点所在的区间为（ ）
A．（1，1.5）B．（1.5，2）C．（2，2.5）D．（2.5，3）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（5分）下列函数中，周期为π，且在区间（，π）单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝tan2xC．y＝cs2xD．y＝sin2x
（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的定义域是R
B．f（x）的图象关于原点对称
C．
D．当x＞0时，f（x）的最小值为2
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对∀x∈D，均有，则称函数f（x）具有“倒负”变换性质．下列具有“倒负”变换性质的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是 ．
14．（5分）求值： ．
15．（5分）已知S市某所新建高中2022年的绿化面积为am2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到 年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是5am2．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
16．（5分）已知，，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）当x＝2时，求f（x）的值；
（2）若f（a）＝2a，求实数a的值．
18．（12分）如图所示，在直角坐标系内，锐角α的终边与单位圆交于点P，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q．
（1）用含α的式子表示点Q的坐标；
（2）若，求tanα的值．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）＝3x﹣3﹣x，x∈R．
（1）证明f（x）是增函数；
（2）若不等式3xf2（x）+m•f（x）≥0对于∀x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝lg2x．
（1）若a＞b＞0，证明：；
（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，g（x）＝f（x+2）﹣1．
（ⅰ）求g（x）的解析式；
（ⅱ）求方程2g（x）﹣x＝0的所有根．（只要言之有理即可）
22．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）．经测算，若以MN为x轴，OO'为y轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线AO上的任一点在抛物线上，而右侧曲线OB上的任一点在以B为顶点的抛物线上．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）．若桥墩CD每米的造价为m（万元），桥墩EF每米的造价为（万元），则当O'E为多少米时，两个桥墩的总造价S最低？
2022-2023学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{0，2，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}
【分析】利用补集定义先求出∁UA，∁UB，再由并集定义能求出（∁UA）∪（∁UB）．
【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，
∴∁UA＝{3，4}，∁UB＝{0，1}，
则（∁UA）∪（∁UB）＝{0，1，3，4}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集定等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【分析】根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
【解答】解：在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为，即90°．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
3．（5分）下列条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．2a＞2bD．
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：a＝2，b＝﹣2时，AB显然不成立，D无意义；
当a＞b时，2a＞2b，则2a＞2b，
当2a＞2b时，a＞b显然成立，B正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，充分必要性的判断，属于基础题．
4．（5分）下列是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x﹣1B．C．y＝exD．y＝x3
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于B，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于C，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于D，是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
5．（5分）神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图．已知中国空间站离地球表面的高度约为390千米，每90分钟绕地球一圈．若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为12420千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（ ）（π≈3.14）
A．7.68千米/秒B．7.82千米/秒
C．7.88千米/秒D．7.96千米/秒
【分析】由题意可得运行轨道的半径，进而求出圆的周长，再求速度．
【解答】解：由题意可得运行轨道的长度为2（390）π＝2×6600π（千米），
所以运行的速度为7.68（千米/秒）．
故选：A．
【点评】本题考查圆的周长的求法及速度的求法，注意单位的一致性，属于基础题．
6．（5分）已知，则的化简结果是（ ）
A．sinα﹣csαB．sinα+csαC．sinαD．﹣csα
【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
【解答】解：，
则sinα＞0，csα＜0，
∴|sinα﹣csα|＝sinα﹣csα．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
7．（5分）已知f（x）＝|lgx|，若，，c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【分析】根据对数的运算及lg2＞0，lg3＞0，lg4＞0，即可得出a＝lg2，b＝lg3，c＝lg4，然后根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：，
∵lg4＞lg3＞lg2，
∴c＞b＞a．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝lgx+x﹣3，则f（x）的零点所在的区间为（ ）
A．（1，1.5）B．（1.5，2）C．（2，2.5）D．（2.5，3）
【分析】由题意得f（x）在（0，+∞）上单调递增，利用函数零点的判定定理，即可得出答案．
【解答】解：由题意得f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1）＝1﹣3＝﹣2＜0，f（1.5）＝lg1.5﹣1.5＜0，f（2）＝lg2﹣1＜0，f（2.5）＝lg2.5﹣0.5＜0，f（3）＝lg3＞0，
∴f（2.5）f（3）＜0，
∴f（x）的零点所在的区间为（2.5，3）．
故选：D．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义分析判断即可得解．
【解答】解：根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的图象，函数的定义，属于基础题．
10．（5分）下列函数中，周期为π，且在区间（，π）单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx|B．y＝tan2xC．y＝cs2xD．y＝sin2x
【分析】利用函数的周期排除选项，利用单调性判断求解即可．
【解答】解：由周期是π，排除B，
又由于y＝|sinx|在区间单调递减函数，排除A；
y＝sin2x在区间不是单调函数，排除D．
只有y＝cs2x满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期以及函数的单调性的判断，是基础题．
（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的定义域是R
B．f（x）的图象关于原点对称
C．
D．当x＞0时，f（x）的最小值为2
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，基本不等式，得出结论．
【解答】解：对于函数，由sinx≠0，可得它的定义域为{|x≠kπ，k∈Z}，故A错误；
由于函数f（x）为奇函数，可得它的图象关于原点对称，故B正确；
由f（），可知C正确；
当x＞0时，不妨设x，则sinx＝﹣1，∴函数2，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，基本不等式的应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对∀x∈D，均有，则称函数f（x）具有“倒负”变换性质．下列具有“倒负”变换性质的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可．
【解答】解：A：f（）x＝f（x）≠﹣f（x），因此函数不具有“倒负”变换性质；
B：f（）＝lnlnxf（x），因此函数具有“倒负”变换性质；
C：当0＜x＜1时，f（）x＝﹣f（x），
当x＞1时，f（）f（x），因此函数具有“倒负”变换性质；
D：当0＜x＜1时，f（）f（x），
当x＞1时，f（）x2＝﹣f（x），因此函数具有“倒负”变换性质，
故选：BCD．
【点评】本题考查函数解析式，考查新定义，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是 （1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＞1且x≠2，
故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
14．（5分）求值： ．
【分析】根据指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本主要考查有理数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）已知S市某所新建高中2022年的绿化面积为am2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到 2026 年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是5am2．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是5am2，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．
【解答】解：设经过n年后，该校的绿化面积约是5am2，
则由已知得a（1+50%）n≈5a，n∈N*，即，
两边取对数得，
2022+4＝2026，
故答案为：2026．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
16．（5分）已知，，则 ．
【分析】利用诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，，
所以cs[（α）]＝﹣sin（α）．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）当x＝2时，求f（x）的值；
（2）若f（a）＝2a，求实数a的值．
【分析】（1）将x＝2代入f（x）求解；（2）根据f（a）＝2a，求解即得．
【解答】解：（1）∵函数，
∴当x＝2时，f（2）4；
（2）函数的定义域为{x|x≠1}，
因为f（a）＝2a，所以f（a）2a，
即a+2＝2a（a﹣1），解得a或a＝2；
所以a或a＝2．
【点评】本题考查函数的求值，属于基础题．
18．（12分）如图所示，在直角坐标系内，锐角α的终边与单位圆交于点P，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q．
（1）用含α的式子表示点Q的坐标；
（2）若，求tanα的值．
【分析】（1）根据三角函数的定义以及诱导公式进行求解即可．
（2）根据同角关系式进行转化求解即可．
【解答】解：（1）∵由题意β＝α，P（csα，sinα），
设Q（x，y），则x＝csβ＝cs（α）＝﹣sinα，y＝sinβ＝sin（α）＝csα，
即Q（﹣sinα，csα）．
（2）∵，
∴sin（α）﹣cs（α），即csα+sinα，
两边平方得1+2sinαcsα，
∴2sinαcsα，整理可得12tan2α﹣25tanα+12＝0，
∵α为锐角，
∴解得tanα或．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义以及三角函数关系的转化，是中档题．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最小值．
【分析】（1）由余弦函数的递增区间满足的条件，可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由自变量x的范围，可得角的整体x的范围，进而求出函数在给定区间的最小值．
【解答】解：（1）由余弦函数的单调递增区间满足的条件可得﹣π+2kπx2kπ，k∈Z，解得4kπ≤x4kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z；
（2）因为x∈，所以x∈[，]，
所以当xπ时，即xπ时，函数取到最小值，且最小值为4•（）＝﹣2．
【点评】本题考查余弦函数的性质的应用及在给定区间的函数的最小值的求法，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）＝3x﹣3﹣x，x∈R．
（1）证明f（x）是增函数；
（2）若不等式3xf2（x）+m•f（x）≥0对于∀x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接利用函数单调性的定义证明；
（2）问题转化为m≥﹣3xf（x）恒成立，即m≥﹣32x+1对于∀x∈[1，2]恒成立，求出﹣32x+1的最大值，即可求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
，
∵x1＜x2，∴0，
则0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是增函数；
（2）解：∀x∈[1，2]，f（x）＝3x﹣3﹣x≥f（1）＝30，
不等式3xf2（x）+m•f（x）≥0对于∀x∈[1，2]恒成立，
即m•f（x）≥﹣3xf2（x）恒成立，也就是m≥﹣3xf（x）恒成立，
∴m≥﹣3x（3x﹣3﹣x）＝﹣32x+1对于∀x∈[1，2]恒成立，
当x∈[1，2]时，﹣32x+1∈[﹣80，﹣8]，则m≥﹣8．
∴实数m的取值范围是[﹣8，+∞）．
【点评】本题考查函数的性质及应用，考查恒成立问题的求解方法，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lg2x．
（1）若a＞b＞0，证明：；
（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，g（x）＝f（x+2）﹣1．
（ⅰ）求g（x）的解析式；
（ⅱ）求方程2g（x）﹣x＝0的所有根．（只要言之有理即可）
【分析】（1）因为a＞b＞0，由对数的运算性质，可得f（a）+f（b）＝lg2a+lg2b＝lg2ab，f（）＝lg2，由基本不等式可得当a≠b时，，即可得出答案．
（2）（ⅰ）依据题意可得，当x＞0时，g（x）＝lg2（x+2）﹣1，函数g（x）定义在R上的奇函数，g（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，则g（x）＝﹣g（﹣x）＝1﹣lg2（2﹣x），即可得出答案．
（ⅱ）方程2g（x）﹣x＝0转化为曲线y1＝g（x）与直线y2x交点的情况，先分析当x≥0时，y1＝g（x）与y2x交点，再由对称性，可得当x＜0时，y1＝g（x）与y2x交点，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：因为a＞b＞0，
所以f（a）+f（b）＝lg2a+lg2b＝lg2ab，
f（）＝lg2，
又基本不等式可得当a≠b时，，
即lg2lg2．
（2）（ⅰ）依据题意可得，当x＞0时，g（x）＝lg2（x+2）﹣1，
因为函数g（x）定义在R上的奇函数，
所以g（0）＝0，
当x≥0时，g（x）＝lg2（x+2）﹣1，
设x＜0，则﹣x＞0，
所以g（x）＝﹣g（﹣x）＝1﹣lg2（2﹣x），
所以g（x）．
（ⅱ）方程2g（x）﹣x＝0转化为曲线y1＝g（x）与直线y2x交点的情况，
当x≥0时，y1＝g（x）与y2x交于点（0，0）和点（2，1），
由（1）知y1＝g（x）的图象总是向上凸，
所以除（2，1）外不会有其它交点，
同理，当x＜0时，根据对称性，两个图象还有一个交点（﹣2，﹣1），
所以2g（x）﹣x＝0有三个﹣2，0，2．
【点评】本题考查函数性质，基本不等式，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
22．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）．经测算，若以MN为x轴，OO'为y轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线AO上的任一点在抛物线上，而右侧曲线OB上的任一点在以B为顶点的抛物线上．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）．若桥墩CD每米的造价为m（万元），桥墩EF每米的造价为（万元），则当O'E为多少米时，两个桥墩的总造价S最低？
【分析】（1）根据A，B高度一致结合条件即得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得．
【解答】解：（1）由（x﹣40）2+160，得B（40，160），
所以O′B＝40，OC′＝160，
解x2＝160，得x＝±80，即O′A＝80，
所以桥AB的长度为O′A+O′B＝120（米）；
（2）设O′E＝x，则0＜x＜40，O′C＝80﹣x，
依题意得F（x，x2+8x），由（1）得EF（x﹣40）2，
D（x﹣80，（x﹣80）2），
所以CD＝160（x﹣80）2＝4xx2，
所以两个桥墩的总造价Sm×EF+m×CD＝[（x﹣40）2+4xx2]×m，
化简得S＝（x2﹣8x+240）×m＝[（x﹣32）2+112]×m，
所以当O'E＝32米时，两个桥墩的总造价S最低．
【点评】本题考查了二次函数的性质、函数在实际生活的应用，属于中档题．
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