2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）函数g（x）＝lg3（x+1）的定义域为A，不等式0的解集为B，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）C．[﹣1，1）D．[﹣2，1）
2．（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：5，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．20B．30C．40D．50
3．（5分）三个实数a＝lg34，b＝lg25，c＝3的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
4．（5分）总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成，用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08B．14C．16D．19
5．（5分）Lgistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例I（t）（t的单位：天）的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t0）＝0.05K时，标志着已初步遏制疫情，则t0约为（ ）（ln19≈3）
A．35B．36C．60D．40
6．（5分）已知f（x+1）是定义在R上的偶函数，且对任意的1≤x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则关于x的不等式f（2x）＞f（x﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5分）甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2，，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为．已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则p1，p2的值分别为（ ）
A．p1，p2B．p1，p2
C．p1，p2D．p1，p2
8．（5分）若函数f（x）＝|lga（x﹣2）|﹣t+1（a＞0，a≠1，t∈R）有两个零点m，n（m＞n），则下列说法中正确的是（ ）
A．t∈[1，+∞）B．n＞3
C．（m﹣2）（n﹣2）＝2D．mn﹣2（m+n）＝﹣3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若集合A有n（n∈N*）个元素，则A的真子集的个数为2n﹣1
B．“∃x∈R，使|x|＜2”的否定是“∀x∈R，恒有|x|＞2”
C．函数y的最小值为2
D．函数y＝x2﹣2x的零点为（0，0），（2，0）
（多选）10．（5分）已知函数m（x）＝2x，h（x）＝3x，且m（a）＝h（b），则下列式子可能成立的是（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＜b＜0C．a＝bD．0＜b＜a
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．在统计学中，数字特征——平均数、众数，中位数一定是原始数据
B．在统计学中，数字特征——平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致
C．若A，B为相互独立事件，则P（A）+P（B）≤l
D．若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）对任意x，y∈R恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（1）＝﹣2
B．f（x）是定义在R上的奇函数
C．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
D．若f（x）＜m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]恒成立，则实数m∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm，方差为41；女生的平均身高为162cm，方差为38．则该班所有学生身高的方差为 ．
14．（5分）lg25﹣lg2﹣lg49×lg38ln ．
15．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.1429、密率3.1416这6个数据的极差为 ，60%分位数为 ．
16．（5分）已知函数f（x）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣bf（x）+5有7个零点，则实数b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|（x+2﹣a）（x﹣2a）＜0}，B＝{t|0≤lg2t≤lg24}．
（1）在①a＝1，②a＝2这两个条件中选择一个作为已知条件，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+3（a∈R）．
（1）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递增区间是[0，+∞），求a的值．
19．（12分）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数．
（1）求事件“a2＜b2”的概率；
（2）求事件“方程x2+2ax+b2＝0有实数根”的概率．
20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数为“倒戈函数”．
（1）请判断函数f（x）＝ax2+bx﹣2a（a≠0）是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若f（x）＝lg2（x+2）﹣2t+1是定义在上的“倒戈函数”，求实数t的取值范围．
21．（12分）2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人．
（1）求m，n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）
（2）根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；（四舍五入，精确到0.1）
（3）根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）
22．（12分）已知函数f（x）＝kx﹣lg2（2x+1）（k∈R）的图像关于y轴对称．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）＝2m•21+kx﹣1，x∈[0，lg29]，m∈R，求g（x）的最大值g（m）．
2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数g（x）＝lg3（x+1）的定义域为A，不等式0的解集为B，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）C．[﹣1，1）D．[﹣2，1）
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：函数g（x）＝lg3（x+1）的定义域为A，不等式0的解集为B，
∴A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x＜1}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．
2．（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：5，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．20B．30C．40D．50
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，
则应抽取的一年级学生的人数为．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3．（5分）三个实数a＝lg34，b＝lg25，c＝3的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【解答】解：b＝lg25＞lg35＞lg34＝a＞lg33＝1，
c1，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成，用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08B．14C．16D．19
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第9列数字开始由左到右依次选取两个，
则取出的个体编号依次为08，02，63（舍），14，02（重），19，43（舍），
08（重），97（舍），14（重），01，98（舍），32（舍），08（重）、92（舍），
16，•••，
则第6个个体的编号为16，
故选：C．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
5．（5分）Lgistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例I（t）（t的单位：天）的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t0）＝0.05K时，标志着已初步遏制疫情，则t0约为（ ）（ln19≈3）
A．35B．36C．60D．40
【分析】由题中的函数模型，列出方程，利用对数与指数的互化，求解即可．
【解答】解：由题意可知，，
所以当I（t0）＝0.05K时，，
即1，则，
所以12，
解得t≈36．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
6．（5分）已知f（x+1）是定义在R上的偶函数，且对任意的1≤x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则关于x的不等式f（2x）＞f（x﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为f（x+1）是定义在R上的偶函数，
所以f（x）的图象关于x＝1对称，
因为对任意的1≤x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，
根据函数对称性可知，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，
则关于x的不等式f（2x）＞f（x﹣1）可转化为|2x﹣1|＜|x﹣1﹣1|，
解得﹣1＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的解法，函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
7．（5分）甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2，，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为．已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则p1，p2的值分别为（ ）
A．p1，p2B．p1，p2
C．p1，p2D．p1，p2
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，，解得p1，p2．
故选：C．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
8．（5分）若函数f（x）＝|lga（x﹣2）|﹣t+1（a＞0，a≠1，t∈R）有两个零点m，n（m＞n），则下列说法中正确的是（ ）
A．t∈[1，+∞）B．n＞3
C．（m﹣2）（n﹣2）＝2D．mn﹣2（m+n）＝﹣3
【分析】利用函数与方程思想，将已知转化为函数y＝|lga（x﹣2）|与y＝t﹣1有两个交点，结合对数函数的性质，列方程逐一检验．
【解答】解：令f（x）＝|lga（x﹣2）|﹣t+1＝0，
函数f（x）有两个零点即方程|lga（x﹣2）|＝t﹣1有两个根，
即函数y＝|lga（x﹣2）|与y＝t﹣1有两个交点，
由t﹣1＞0，可得t＞1，故A错误；
画出函数y＝|lga（x﹣2）|的图象，
由m＞n，可得n＜3，故B错误；
∵|lga（m﹣2）|＝|lga（n﹣2）|，
化简得lga（m﹣2）＝﹣lga（n﹣2）＝lga，
即（m﹣2）（n﹣2）＝1，解得mn﹣2（m+n）＝﹣3，
故C错误，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程思想，考查对数函数的性质与应用，属于中档题．
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若集合A有n（n∈N*）个元素，则A的真子集的个数为2n﹣1
B．“∃x∈R，使|x|＜2”的否定是“∀x∈R，恒有|x|＞2”
C．函数y的最小值为2
D．函数y＝x2﹣2x的零点为（0，0），（2，0）
【分析】由已知结合集合子集与集合元素个数的关系检验选项A；
结合特称命题的否定检验选项B；
结合基本不等式检验选项C；
结合函数零点的概念检验选项D．
【解答】解：集合A有n（n∈N*）个元素，则A的真子集的个数为2n﹣1，A正确；
∃x∈R，使|x|＜2的否定是∀x∈R，恒有|x|≥2，B错误；
令t，则t≥1，y＝t，当且仅当t，即x＝±1时取等号，C正确；
函数y＝x2﹣2x的零点为0和2，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了集合子集个数的规律，特称命题的否定，基本不等式求解最值及函数零点的求解，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数m（x）＝2x，h（x）＝3x，且m（a）＝h（b），则下列式子可能成立的是（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＜b＜0C．a＝bD．0＜b＜a
【分析】可在同一坐标系下画出m（x）和h（x）的图象，然后根据图象即可判断a，b的关系．
【解答】解：在同一坐标系下画出m（x）和h（x）出图象如下：
∴m（a）＝h（b）时，a，b的关系可能为：a＜b＜0，a＝b＝0，0＜b＜a．
故选：BCD．
【点评】本题考查了通过函数图象解决问题的方法，指数函数图象的画法，考查了数形结合解题的能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．在统计学中，数字特征——平均数、众数，中位数一定是原始数据
B．在统计学中，数字特征——平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致
C．若A，B为相互独立事件，则P（A）+P（B）≤l
D．若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1
【分析】根据已知条件，结合平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义，以及独立事件和互斥事件的概念，即可求解．
【解答】解：众数一定出现在原始数据中，但平均数、中位数不一定出现在原数据中，故A错误；
平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致，故B正确；
A，B为相互独立事件，无法比较P（A）+P（B）和1的大小关系，故C错误；
由互斥事件的定义可知，P（A）+P（B）≤1，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义，以及独立事件和互斥事件的概念，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）对任意x，y∈R恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（1）＝﹣2
B．f（x）是定义在R上的奇函数
C．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
D．若f（x）＜m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]恒成立，则实数m∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【分析】利用赋值法判断出A，B选项；根据函数单调性的定义判断出C选项；利用函数的最值解决恒成立问题，判断出D选项．
【解答】解：令x＝y＝1，得f（2）＝2f（1）＝﹣4，
解得f（1）＝﹣2，故A正确；
令x＝y＝0，得f（0）＝2f（0），
解得f（0）＝0；
令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，
即f（x）是定义在R上的奇函数，故B正确；
不妨设x1，x2∈R，且x1＞x2，
f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2），
∵x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，故C错误；
f（x）＜m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣2，2]，a∈[﹣1，1]恒成立，
则f（x）max＜m2﹣2am+1，
因为f（x）在[﹣2，2]上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝4，
则有4＜m2﹣2am+1，
化简得：m2﹣2am﹣3＞0，
构造g（a）＝﹣2ma+m2+3，a∈[﹣1，1]，
则g（a）＞0在[﹣1，1]恒成立，
所以g（﹣1）＞0且g（1）＞0，
即m2﹣2m﹣3＞0且m2+2m﹣3＞0，
化简得：（m﹣3）（m+1）＞0且（m+3）（m﹣1）＞0，
解得：m＞3或m＜﹣3，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数的性质，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm，方差为41；女生的平均身高为162cm，方差为38．则该班所有学生身高的方差为 58 ．
【分析】根据已知条件，结合平均数公式，以及方差公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，所有学生的平均身高为168，
故该班所有学生身高的方差为 58．
故答案为：58．
【点评】本题主要考查平均数、方差公式，属于基础题．
14．（5分）lg25﹣lg2﹣lg49×lg38ln 8 ．
【分析】利用对数，有理数指数幂的运算性质化简即可求解．
【解答】解：lg25﹣lg2﹣lg49×lg38ln
＝10﹣（1）lg5﹣lg2﹣lg23×3×lg32
＝10+11﹣3
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数，有理数指数幂的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.1429、密率3.1416这6个数据的极差为 0.0615 ，60%分位数为 3.1547 ．
【分析】根据已知条件，结合极差和分位数的定义，即可求解．
【解答】解：所给6个数据从小到大排列依次为3.1416，3.1429，3.1498，3.1547，3.1992，3.2031，
故这6个数据的极差为3.2031﹣3.1416＝0.0615，
6*60%＝3.6，
故60%分位数为3.1547．
故答案为：0.0615，3.1547．
【点评】本题主要考查极差和分位数的定义，属于基础题．
16．（5分）已知函数f（x）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣bf（x）+5有7个零点，则实数b的取值范围是 （6，+∞） ．
【分析】令t＝f（x），函数g（x）可化为y＝t2﹣bt+5，作出函数f（x）的图象，数形结合，可求g（x）＝[f（x）]2﹣bf（x）+5有7个零点时实数b的取值范围．
【解答】解：令t＝f（x），函数g（x）＝[f（x）]2﹣bf（x）+5可化为y＝t2﹣bt+5，
作出函数f（x）的图象，如图所示，
函数g（x）＝[f（x）]2﹣bf（x）+5有7个零点，
等价于方程[f（x）]2﹣bf（x）+5＝0有7个不同的根，
由t2﹣bt+5＝0，可知当t＝0时，[f（x）]2﹣bf（x）+5＝0可有3个不同的根，
t∈（0，5]时，[f（x）]2﹣bf（x）+5＝0可有4个不同的根，
t∈（5，+∞）时，[f（x）]2﹣bf（x）+5＝0可有3个不同的根，
设t2﹣bt+5＝0有两根t1，t2，且t1＜t2，
若t1＝0且t2∈（0，5]时，又t2﹣bt+5＝0无零根，故不符合题意，
若t1∈（0，5）且t2∈（5，+∞）时，令g（t）＝t2﹣bt+5，
由题意，可得，解得b＞6，
若t1＝5且t2∈（5，+∞）时，由t1＝5，可得b＝6，此时t2＝1不符合题意，
故实数b的取值范围是（6，+∞）．
故答案为：（6，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，考查数形结合的思想方法，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|（x+2﹣a）（x﹣2a）＜0}，B＝{t|0≤lg2t≤lg24}．
（1）在①a＝1，②a＝2这两个条件中选择一个作为已知条件，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，求出集合A、B，由集合交集的定义分析可得答案；
（2）根据题意，分析可得B⫋A，按a的值分情况讨论集合A，分别求出a的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：（1）选择①，a＝1，则A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝（﹣1，2），B＝{t|0≤lg2t≤lg24}＝[1，4]，
故A∩B＝[1，2）；
选择②，a＝2，则A＝{x|x（x﹣4）＜0}＝（0，4），B＝{t|0≤lg2t≤lg24}＝[1，4]，
故A∩B＝[1，4）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⫋A，
又由B＝{t|0≤lg2t≤lg24}＝[1，4]，
当a﹣2＝2a，即a＝﹣2时，A＝∅，此时A⫋B，不符合题意，
当a﹣2＜2a，即a＞﹣2时，A＝（a﹣2，2a），此时有，解可得2＜a＜3，
又由a＞﹣2，故有2＜a＜3，
当a﹣2＞2a，即a＜﹣2时，A＝（2a，2﹣a），此时有，无解，不符合题意，
综合可得：2＜a＜3，即a的取值范围为（2，3）．
【点评】本题考查集合的运算，涉及充分必要条件的性质，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+3（a∈R）．
（1）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递增区间是[0，+∞），求a的值．
【分析】（1）由题意可知，4x﹣a•2x+1+3≥0对x∈R恒成立，令t＝2x，则t＞0，转化为2a对∀t∈（0，+∞）恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可；
（2）函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+3，令t＝2x，则t＝2x在[0，+∞）上单调递增，且t≥1，再利用复合函数的单调性求解．
【解答】解：（1）由题意可知，4x﹣a•2x+1+3≥0对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t＞0，
∴t2﹣2at+3≥0对∀t∈（0，+∞）恒成立，
转化为2a对∀t∈（0，+∞）恒成立，
∵y＝t2，当且仅当t，即t时，等号成立，
∴2a，
∴a，
即a的取值范围（﹣∞，]；
（2）函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+3，
令t＝2x，则t＝2x在[0，+∞）上单调递增，且t≥1，
g（t）＝t2﹣2at+3在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∵函数f（x）的单调递增区间是[0，+∞），而t∈[1，+∞），
∴a＝1．
【点评】本题主要考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，以及复合函数的单调性，属于中档题．
19．（12分）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数．
（1）求事件“a2＜b2”的概率；
（2）求事件“方程x2+2ax+b2＝0有实数根”的概率．
【分析】（1）根据题意，由列举法分析全部事件的样本点数目以及事件“a2＜b2”的样本点数目，由古典概型公式计算可得答案；
（2）根据题意，若方程x2+2ax+b2＝0有实数根，则需Δ＝4a2﹣4b2≥0，即a2≥b2，结合（1）的结论，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设事件A表示“a2＜b2”，a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数．
所以样本点一共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，符合古典概型模型，
事件A包含其中3个样本点，故事件A发生的概率为；
（2）若方程x2+2ax+b2＝0有实数根，则需Δ＝4a2﹣4b2≥0，即a2≥b2，
记事件“方程x2+2ax+b2＝0有实数根”为事件B，
由（1）知，，
故．
【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．
20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数为“倒戈函数”．
（1）请判断函数f（x）＝ax2+bx﹣2a（a≠0）是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若f（x）＝lg2（x+2）﹣2t+1是定义在上的“倒戈函数”，求实数t的取值范围．
【分析】根据题意，由“倒戈函数”的定义可得方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解．（1）方程可以直接求解；（2）需要参变量分离转化为函数求值域问题．
【解答】解：（1）存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则方程f（﹣x）+f（x）＝0有解，
则有ax2﹣bx﹣2a+ax2+bx﹣2a＝0，∴2ax2﹣4a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2＝0，∴x＝±，
即方程f（﹣x）+f（x）＝0有解，为x＝±，则函数f（x）＝ax2+bx﹣2a（a≠0）是“倒戈函数”．
（2）由已知方程f（﹣x）+f（x）＝0有解，
则lg2（﹣x+2）﹣2t+1+lg2（x+2）﹣2t+1＝0有解，
lg2（4﹣x2）＝4t﹣2有解，下面求函数y＝lg2（4﹣x2），x∈的值域，
设u＝4﹣x2，x∈，y＝lg2u，u∈[2，4]，则y∈[1，2]，则1≤4t﹣2≤2，∴t≤1，
则实数t的取值范围为[，1]．
【点评】本题考查函数性质，为新定义问题，新定义方程有解问题，属于中档题．
21．（12分）2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人．
（1）求m，n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）
（2）根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；（四舍五入，精确到0.1）
（3）根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）
【分析】（1）每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人，求出6以上（含6）的频率，从而可得n值，由6个以下的频率求出m，根据频率表作出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图能求出结果；
（3）由每组数据的中点值乘以频率相加得平均值，由每组数据中点值减去平均值后平行再乘以频率相加得方差．
【解答】解：（1）由已知得n0.3﹣0.1＝0.3，
m．
频率分布直方图如下：
（2）[2，6）的频率为（0.1+0.05）×2＝0.3，
[2，8）的频率为（0.1+0.05+0.15）×2＝0.6，
[2，10）的频率为（0.1+0.05+0.15+0.15）×2＝0.9，
∴估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数为：
89，
估计A地区居民一周口罩使用个数的中位数为：
47.3．
（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：
3×0.6+5×0.1+7×0.3+9×0.3+11×0.1＝7，
方差为S2＝0.2×（3﹣7）2+0.1×（5﹣7）2+0.3×（7﹣7）2+0.3×（9﹣7）2+0.1×（11﹣7）2＝6.4．
【点评】本题考查频率、分位数、中位数、平均数、方差、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝kx﹣lg2（2x+1）（k∈R）的图像关于y轴对称．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）＝2m•21+kx﹣1，x∈[0，lg29]，m∈R，求g（x）的最大值g（m）．
【分析】（1）由题意可得f（x）的定义域为R，且为偶函数，根据f（﹣1）＝f（1）即可得k的值；
（2）化简得g（x）＝2x﹣m•，x∈[0，lg29]，m∈R，分m≤0和m＞0，结合指数函数、对数函数、二次函数的性质分别求解，即可得答案．
【解答】解：（1）因为f（x）＝kx﹣lg2（2x+1），x∈R，
又因为y＝f（x）的图象关于y轴对称，
所以f（x）为偶函数，
所以f（﹣1）＝﹣k﹣lg2k﹣lg23+1，
f（1）＝k﹣lg23，
由f（﹣1）＝f（1）可得：﹣k﹣lg23+1＝k﹣lg23，
解得k；
（2）由（1）可得f（x）x﹣lg2（2x+1），
所以g（x）＝2m•21+kx﹣1m•21+kx﹣1＝2x+1﹣m•21+kx﹣1＝2x﹣m•21+kx＝2x﹣m•，x∈[0，lg29]，m∈R，
当m≤0时，g（x）在x∈[0，lg29]上单调递增，
所以g（x）max＝g（lg29）＝9﹣m•9﹣6m；
当m＞0时，g（x）＝2x﹣m•2x﹣2m•，
令t，
因为x∈[0，lg29]，所以x∈[0，lg23]，t∈[1，3]，
则有h（t）＝t2﹣2mt，t∈[1，3]，
所以h（t）的开口向上，对称轴为t＝m，
当0＜m＜1时，h（t）在[1，3]上单调递增，所以h（t）max＝h（3）＝9﹣6m；
当m＞3时，h（t）在[1，3]上单调递减，所以h（t）max＝h（1）＝1﹣2m；
当1≤m≤3时，
因为h（3）＝9﹣6m，h（1）＝1﹣2m，
所以1≤m≤2时，1﹣2m≤9﹣6m，所以h（t）max＝h（3）＝9﹣6m；
当2＜m≤3时，1﹣2m＞9﹣6m，所以h（t）max＝h（1）＝1﹣2m；
综上所述：g（x）max，
即g（m）．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数、二次函数的性质，也考查了分类讨论思想，属于中档题．
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[2，4）
[4，6）
[6，8）
[8，10）
[10，12]
频率
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口罩使用数量
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