2022-2023学年河南省郑州市实验高中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省郑州市实验高中高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[0，1）D．[0，1]
2．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是（ ）
A．（2，+∞）B．（2，3）
C．（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）
3．（5分）已知a＝ln3，b＝3﹣0.4，c＝3﹣0.5，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
4．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
5．（5分）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．1600cm2B．3200cm2C．3350cm2D．4800cm2
6．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P（1，﹣3）在角α的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
8．（5分）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．f（x）＝lg（﹣x2+2x+3）的增区间为（﹣1，1）
B．“x＝1”是“x2﹣4x+3＝0”的充分不必要条件
C．若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有两个子集，则k＝1
D．对于命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，均有x2+x+1≥0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（5分）下列四个命题正确的有（ ）
A．已知，则值为
B．若a2x≥a2y，则x≥y
C．若sinα•tanα＞0且csα•tanα＜0，则角为第二或第四象限角
D．函数y＝|csx||是周期函数，最小正周期是2π
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是﹣1
B．若x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，则的最小值是3
C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是2
D．f（x）是定义在实数集上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
（多选）12．（5分）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，若0＜ω＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．对任意的x∈R，都有
C．f（x）在（0，π）上是增函数
D．由y＝2sinωx的图像向右平移个单位长度可以得到f（x）图像
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为 ．
14．（5分）已知sinα+csα，α∈（﹣π，0），则tanα＝ ．
15．（5分）已知函数在区间[﹣2022，2022]上的最大值是M，最小值是m，则f（M+m）＝ ．
16．（5分）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx+φ）+B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是 ．
①该函数的周期是16．
②该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
③该函数的解析式是
④这一天的函数关系式也适用于第二天
三、解答题（本大题共6小题，共70分）．
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．条件①A∩∁UB＝∅；②x∈A是x∈B的充分条件；③∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2．
（1）若m＝﹣1，求A∩B；
（2）若集合A，B满足条件______（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
19．（12分）已知角α在第二象限，且tanα．
（1）求2tan（π﹣α）的值；
（2）若cs（α﹣β），且a﹣β为第一象限角，求sinβ的值．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
21．（12分）已知f（x）＝2sinxcsx+2cs（x）cs（x）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
22．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）；
（3）设，若函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
2022-2023学年河南省郑州市实验高中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[0，1）D．[0，1]
【分析】直接进行交集的运算即可．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{x|0≤x＜1}＝[0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是（ ）
A．（2，+∞）B．（2，3）
C．（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意可得，，
解得x＞2且x≠3，
即函数f（x）的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
3．（5分）已知a＝ln3，b＝3﹣0.4，c＝3﹣0.5，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性求解即可．
【解答】解：a＝ln3＞lne＝1，
∵y＝3x在R上为增函数，
∴30＞3﹣0.4＞3﹣0.5，即1＞b＞c，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，属于基础题．
4．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
【分析】利用二分法的方法判断出方程的根分布的区间，据精确度求出根的近似值．
【解答】解：由二分法知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．
故选：C．
【点评】本题考查二分法求方程根的近似值的步骤：依次求出区间的端点的中点的值，判断出根分布的区间．
5．（5分）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．1600cm2B．3200cm2C．3350cm2D．4800cm2
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解．
【解答】解：易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则，得r1＝2r2，
又因为r1﹣r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，
该扇形玉雕壁画面积（cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
6．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P（1，﹣3）在角α的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P（1，﹣3）在角α的终边上，
所以tanα＝﹣3，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．（5分）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
【分析】化函数y＝﹣tan（2x），根据正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解：函数tan（2x），
令kπ＜2xkπ，k∈Z；
解得x，k∈Z；
所以k＝﹣1时，x；
所以函数y＝﹣tan（2x）在区间上单调递减，A错误；
又函数y＝﹣tan（2x）的最小正周期为T，所以B错误；
当x时，2x；
所以函数y＝﹣tan（2x）的图象关于点（，0）对称，C正确；
正切型函数y＝﹣tan（2x）不成轴对称，所以D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了正切型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8．（5分）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．f（x）＝lg（﹣x2+2x+3）的增区间为（﹣1，1）
B．“x＝1”是“x2﹣4x+3＝0”的充分不必要条件
C．若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有两个子集，则k＝1
D．对于命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，均有x2+x+1≥0
【分析】由复合函数的单调性判断A，解出x2﹣4x+3＝0的两个根再判断B，C选项中只要满足A中只有一个元素即可，由特称命题的否定判断D．
【解答】解：A．由﹣x2+2x+3＞0可得﹣1＜x＜3，
又∵y＝﹣x2+2x+3在（﹣1，1）上单调递增，
由复合函数的单调性可知f（x）＝lg（﹣x2+2x+3）的单调递增区间为（﹣1，1），故正确；
B．由x2﹣4x+3＝0可得x＝1或x＝3，
所以“x＝1”是“x2﹣4x+3＝0”的充分不必要条件，故正确；
C．由A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有两个子集，可得A中只有一个元素，
当k＝0时A＝{﹣1}也满足题意，故错误；
D．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，均有x2+x+1≥0，故正确；
故选：C．
【点评】本题考查了复合函数的单调性、特称命题的否定、及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两角和差的三角公式以及倍角公式进行转化求解即可．
【解答】解：A．cs22°sin52°﹣sin22°cs52°＝sin（52°﹣22°）＝sin30°，故A正确，
B．sin15°sin30°sin75°sin15°cs15°sin30°，故B错误，
C．（cs15°﹣sin15°）2＝1﹣2sin15°cs15°＝1﹣sin30°＝1，则，故C正确，
Dtan（24°+36°）＝tan60°，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
（多选）10．（5分）下列四个命题正确的有（ ）
A．已知，则值为
B．若a2x≥a2y，则x≥y
C．若sinα•tanα＞0且csα•tanα＜0，则角为第二或第四象限角
D．函数y＝|csx||是周期函数，最小正周期是2π
【分析】利用诱导公式可以判断A；利用特值法可以判断B；对C先判断α的象限，再判断的象限；对D，作出函数的图象，再由图象进行判断．
【解答】解：A．因为，所以，故选项A正确；
B．当a＝0，x＝1，y＝2时，满足a2x≥a2y，但不能得到x≥y，故选项B错误；
C．∵且csα•tanα＝sinα＜0，
∴csα＞0，sinα＜0，∴α为第四象限角，
所以，所以，∴为第二或第四象限角，故选项C正确；
D．作出的图象如图所示，
由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D正确；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了诱导公式，象限角的判断及余弦函数图象的变换，属于中档题．
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是﹣1
B．若x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，则的最小值是3
C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是2
D．f（x）是定义在实数集上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，根据题意可得函数在（﹣∞，0）上单调递减，从而可得不等式等价于于或，从而可得出答案．
【解答】解：对于A，因为，所以2x﹣1＜0，所以1﹣2x＞0，
所以，
当且仅当，即x＝0时等号成立，故的最大值为﹣1，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且x+y+z＝2，
所以x+1+y+z＝3，x+1＞0，y+z＞0，
所以，
所以，
当且仅当，即x+1＝2（y+z），即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为x＞0，y＞0，所以，即（当且仅当x＝2y时等号成立），
因为x+2y+2xy＝8，所以2xy＝8﹣（x+2y），所以，
所以（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0，解得x+2y≤﹣8（舍去）或x+2y≥4，
当且仅当x＝2y＝2时等号成立，所以x+2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以函数在（﹣∞，0）上单调递减，
又因f（1）＝0，所以f（﹣1）＝0，
不等式等价于或
即或，
所以﹣1＜x＜0或x＞1，
即不等式xf（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故D错误
故选：AB．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，若0＜ω＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．对任意的x∈R，都有
C．f（x）在（0，π）上是增函数
D．由y＝2sinωx的图像向右平移个单位长度可以得到f（x）图像
【分析】推导出f（x）＝2sin（ωx），根据奇函数可得，可判断A；判断x是否为对称轴可判断B；当x∈（0，π）时，有，可判断C；根据平移性质可判断D．
【解答】解：∵，
∴函数sinωx2sin（ωx），
f（x）图象向左平移个单位得y＝2sin[ω（x）]为奇函数，
∴kπ，k∈Z，又0＜ω＜1，解得，
∴f（x）＝2sin（），其最小值为4π，故A正确；
∵f（）＝2sin（）＝sin（）＝﹣1，∴x不是对称轴，故B错误；
当x∈（0，π）时，有，
∵y＝sinx在（）上单调递增，
∴f（x）在（0，π）上是增函数，故C正确；
由y＝2sinωx的图象向右平移个单位长度可以得到y＝2sin（x）≠f（x），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查行列式展开法则、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为 ﹣3 ．
【分析】利用幂函数的定义与性质列出不等式组，求解即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递减，
∴，∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质，是基础题．
14．（5分）已知sinα+csα，α∈（﹣π，0），则tanα＝ ．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcsα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣csα＝0，联立求出sinα与csα的值，即可求出tanα的值．
【解答】解：把sinα+csα①，两边平方得：（sinα+csα）2，即1+2sinαcsα，
∴2sinαcsα，
∵α∈（﹣π，0），
∴（sinα﹣csα）2＝1﹣2sinαcsα，即sinα﹣csα②，
①+②得：csα，sinα，
则tanα．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
15．（5分）已知函数在区间[﹣2022，2022]上的最大值是M，最小值是m，则f（M+m）＝ ．
【分析】令，则，f（x）和g（x）在[﹣2022，2022]上单调性相同，g（x）时奇函数，可得g（x）在g（x）max+g（x）min＝0，据此可求M+m，从而求出f（M+m）．
【解答】解：令，则，
∴f（x）和g（x）在[﹣2022，2022]上单调性相同，
∴设g（x）在[﹣2022，2022]上有最大值g（x）max，有最小值g（x）min．
∵，
∴，
∴g（x）在[﹣2022，2022]上为奇函数，∴g（x）max+g（x）min＝0，
∴，∴，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx+φ）+B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是 ①②③ ．
①该函数的周期是16．
②该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
③该函数的解析式是
④这一天的函数关系式也适用于第二天
【分析】根据图象确定函数的最小正周期及x＝14时，函数取得最大值，判断①②正确；
结合①的结论，以及三角函数的图象，即可判断③，
这一天的函数关系式只适用于当天，④错误．
【解答】解：由图象可得：函数最小正周期T＝（14﹣6）×2＝16，①正确；
故，
不妨令A＞0，且，解得，
由图象可得：当x＝14时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线x＝14，②正确；
不妨取，则，
将（6，10）代入得：，
因为0＜φ＜π，
解得，
故y，
同理可得，时，函数的解析式是，
故③正确；
这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查三角函数的图象，考查转化能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）．
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．
（2）利用对数的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式122﹣1＝2+4﹣1＝5．
（2）原式＝3+0+lg1003+23+1＝4．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}．条件①A∩∁UB＝∅；②x∈A是x∈B的充分条件；③∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2．
（1）若m＝﹣1，求A∩B；
（2）若集合A，B满足条件______（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【分析】（1）当m＝﹣1时，求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
（2）推导出A⫋B，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若m＝﹣1，则B＝{x|2m＜x＜1﹣m}＝{x|﹣2＜x＜2}，
∵A＝{x|1＜x≤3}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
（2）若选①A∩∁UB＝∅，∴A⊆B，
则，∴m＜﹣2，
∴实数m的取值范围（﹣∞，﹣2）．
若选②x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，
则，∴m＜﹣2，
∴实数m的取值范围（﹣∞，﹣2）．
若选③∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2，则A⊆B，
则，∴m＜﹣2，
∴实数m的取值范围（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查集合的运算，充分必要条件的应用，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知角α在第二象限，且tanα．
（1）求2tan（π﹣α）的值；
（2）若cs（α﹣β），且a﹣β为第一象限角，求sinβ的值．
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求得sinα和csα的值，
（1）结合诱导公式，即可得解；
（2）根据β＝α﹣（α﹣β），再结合两角差的正弦公式，即可得解．
【解答】解：因为角α在第二象限，且tanα，
且sin2α+cs2α＝1，
所以sinα，csα，
（1）原式＝2（﹣tanα）•cs2α•（）＝﹣2sinαcsα•（）＝﹣2（sinα﹣csα）＝﹣2•（）．
（2）因为cs（α﹣β），且a﹣β为第一象限角，
所以sin（α﹣β），
所以sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcs（α﹣β）﹣csαsin（α﹣β）（）．
【点评】本题考查三角函数的化简与求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
【分析】（1）设点P（x，y），利用点P到水面的距离h＝2+y求出函数的解析式，计算t＝13时h的值即可．
（2）利用解析式列出不等式，求解0≤t≤12时的解集，即可得出结论．
【解答】解：（1）设P（x，y），则点P到水面的距离h＝2+y；
由题可知，OP0与Ox的夹角为；
OP在时间t转过的角度为tt；
由图可知，点P的纵坐标y＝4sin（t）；
因此，则点P到水面的距离h＝2+y＝4sin（t）+2；
当t＝13时，h＝4sin（13）+2＝2，所以点P到水面的距离为2m．
（2）根据题意，点P到水面的距离不低于4m，应满足：
4sin（t）+2≥4，得sin（t）；
因为筒车转动一圈需要12秒，从P0开始转动一圈，则0≤t≤12，
得t，
所以t，
解得2≤t≤6；
因此在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有4s．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知f（x）＝2sinxcsx+2cs（x）cs（x）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
【分析】（1）先化简函数f（x）的解析式，然后根据正弦函数的单调递减区间利用整体代换思想即可求解；
（2）由函数的零点等价转化为方程的根，再转化为两个函数的图象的交点问题，从而可以求解．
【解答】解：因为f（x）＝2sinxcsx+2cs（x）cs（x）
＝sin2x+2sin（x）cs（x）＝sin2xsin（2x）
＝sin2xcs2x＝2sin（2x），
（1）令2x，
解得x∈[k]k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[k]k∈Z；
（2）函数g（x）在区间[]上有唯一零点，
等价于方程g（x）＝0即f（x）＝2（2k+sin2x）在[]上有唯一实数根，
所以2k＝sin（2x）﹣sin2xsin2xcs2x＝cs（2x），
设h（x）＝cs（2x），x，则2x，
根据函数h（x）在x上的图象，要满足y＝2k与y＝h（x）有唯一交点，
只需或2k＝﹣1，解得或k，
故实数k的取值范围为（]∪{}．
【点评】本题考查了三角函数的单调性以及函数零点与方程根的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）；
（3）设，若函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断x≥0时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为R，
因为函数为偶函数．
所以f（﹣x）＝f（x），即 ，
所以，
所以k＝﹣1；
（2）因为，
当x≥0时，2x≥1，单调递增，
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，又函数f（x）为偶函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减；
因为f（2m+1）＞f（m﹣1），所以|2m+1|＞|m﹣1|，解得m＜﹣2或m＞0，
所以所求不等式的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；
（3）因为函数f（x）与g（x）图象有2个公共点，
所以，
即，a⋅2x+a＞0，
设t＝2x＞0，则，即（a﹣1）t2+at﹣1＝0，
又t＝2x在R上单调递增，
所以方程（a﹣1）t2+at﹣1＝0有两个不等的正根；
所以，解得，
所以a的取值范围为．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
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