2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{3，5，7，8}，B＝{2，3，4，5，7}，则A∩B＝（ ）
A．{8}B．{2，3，4，5，7，8}
C．{2，4，8}D．{3，5，7}
2．（5分）命题p：∀x∈[0，π]，sinxcsx≥0，则¬p为（ ）
A．∀x∉[0，π]，sinxcsx＜0B．∀x∈[0，π]，sinxcsx≤0
C．∃x∈[0，π]，sinxcsx≥0D．∃x∈[0，π]，sinxcsx＜0
3．（5分）已知，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（5分）荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目．据现有文献记载，它源自先秦．位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为170°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ）
A．米B．米C．13.6米D．198米
5．（5分）设f（x），则f（9）的值为（ ）
A．9B．11C．28D．14
6．（5分）已知函数f（x）＝lg（2csx﹣1），则函数f（x）的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）设a＝lg20.4，b＝lg0.30.4，则（ ）
A．ab＜0＜a+bB．a+b＜ab＜0
C．ab＜a+b＜0D．0＜a+b＜ab＜1
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的有（ ）
A．a2＞b2＞0B．a3＞b3＞0C．D．b2a＞a2b
（多选）10．（5分）下列命题为真命题的有（ ）
A．若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0
B．函数f（x）＝ln（x2﹣6x+5）的单调递增区间为（﹣∞，3）
C．“α＝β+2kπ，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件
D．当x＞0时，sinx＜tanx
（多选）11．（5分）已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的单调递增区间为
C．f（x）在区间上只有一个零点
D．函数f（x）在区间的值域为
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为 R，且f（1+x）+2为奇函数，f（2﹣2x）为偶函数，f（4）＝0，则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（0）＝0
C．f（2022）＝﹣4
D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（100）＝﹣200
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ．
14．（5分）已知x≥2a﹣1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）函数f（x）＝ex+1+2x﹣10的零点所在区间为（n，n+1），n∈Z，则n的值为 .（e≈2.71828）
16．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求函数f（x）的值域．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4|x|﹣5．
（1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象；
（2）方程f（x）＝m有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
20．（12分）已知全集U＝R，集合A．
（1）若A∩B，求a的值；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）如图，有一个小矩形公园ABCD，其中AB＝20m，AD＝10m，现过点C修建一条笔直的围墙（不计宽度）与AB和AD的延长线分别交于点E，F，现将小矩形公园扩建为三角形公园AEF．
（1）当AE多长时，才能使扩建后的公园△AEF的面积最小？并求出△AEF的最小面积．
（2）当扩建后的公园△AEF的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示．若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值．（小数点后保留三位小数）
参考数据：．
参考公式：．
2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{3，5，7，8}，B＝{2，3，4，5，7}，则A∩B＝（ ）
A．{8}B．{2，3，4，5，7，8}
C．{2，4，8}D．{3，5，7}
【分析】根据交集的概念进行计算．
【解答】解：因为A＝{3，5，7，8}，B＝{2，3，4，5，7}，
A∩B＝{3，5，7}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．（5分）命题p：∀x∈[0，π]，sinxcsx≥0，则¬p为（ ）
A．∀x∉[0，π]，sinxcsx＜0B．∀x∈[0，π]，sinxcsx≤0
C．∃x∈[0，π]，sinxcsx≥0D．∃x∈[0，π]，sinxcsx＜0
【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案．
【解答】解：因为命题p：∀x∈[0，π]，sinxcsx≥0，
所以¬p为∃x∈[0，π]，sinxcsx＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）已知，则（ ）
A．1B．C．D．
【分析】利用同角三角函数的关系化简代入即可求值．
【解答】解：由题意可知，，
因为，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
4．（5分）荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目．据现有文献记载，它源自先秦．位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为170°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ）
A．米B．米C．13.6米D．198米
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由题意得：最大摆角为，半径R＝8，
由弧长公式可得：（米）．
故选：A．
【点评】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
5．（5分）设f（x），则f（9）的值为（ ）
A．9B．11C．28D．14
【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值．
【解答】解：f（9）＝f（f（14））＝f（2×14﹣15）＝f（13）＝2×13﹣15＝11．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝lg（2csx﹣1），则函数f（x）的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据对数函数真数大于0得到，得到答案．
【解答】解：由题意得：2csx﹣1＞0，即，则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复合函数的定义域，属于基础题．
7．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同角公式求出sinα，根据诱导公式化简所求式子后，代入sinα和csα可求出结果．
【解答】解：因为，
所以，
所以cs（π﹣α）（﹣2sinα+csα）+sin2α＝﹣csα（﹣2sinα+csα）+sin2α＝2sinαcsα﹣cs2α+sin2α．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
8．（5分）设a＝lg20.4，b＝lg0.30.4，则（ ）
A．ab＜0＜a+bB．a+b＜ab＜0
C．ab＜a+b＜0D．0＜a+b＜ab＜1
【分析】先判断出a＜0，b＞0，得ab＜0，再根据对数知识判断出a+b＜0，a+b＞ab，从而可得答案．
【解答】解：∵a＝lg20.4＜lg21＝0，b＝lg0.30.4＞lg0.31＝0，
∴ab＜0，，
∵lg0.40.6＞lg0.41＝0，
∴，又ab＜0，∴a+b＜0，
∵lg0.40.6＜lg0.40.4＝1，
∴，又ab＜0，
∴a+b＞ab，
综上所述：ab＜a+b＜0．
故选：C．
【点评】本题考查对数的运算性质，不等式的性质，化归转化思想，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的有（ ）
A．a2＞b2＞0B．a3＞b3＞0C．D．b2a＞a2b
【分析】举出反例得到CD错误，根据不等式基本性质得到A正确，再A的基础上，利用不等式的基本性质得到B正确．
【解答】解：不妨令a＝3，b＝2，则，22×3＜32×2，CD错误；
因为a＞b＞0，不等式两边同乘以a得：a2＞ab＞0，
不等式两边同乘以b得：ab＞b2＞0，故a2＞b2＞0，A正确；
因为a2＞b2＞0，a＞b＞0，相乘得：a3＞b3＞0，B正确．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列命题为真命题的有（ ）
A．若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0
B．函数f（x）＝ln（x2﹣6x+5）的单调递增区间为（﹣∞，3）
C．“α＝β+2kπ，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件
D．当x＞0时，sinx＜tanx
【分析】根据奇函数的定义可判断A正确；求出对数型函数的定义域可判断B不正确；根据三角函数知识以及充分不必要条件的概念可判断C正确；利用特值可判断D不正确．
【解答】解：对于A，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，令x＝0，得f（0）＝0，故A正确；
对于B，由f（x）有意义可得x2﹣6x+5＞0，得x＜1或x＞5，
因为t＝x2﹣6x+5在（﹣∞，1）上为减函数，在（5，+∞）上为增函数，且y＝lnt为增函数，
所以函数f（x）＝ln（x2﹣6x+5）的单调递增区间为（5，+∞），故B不正确；
对于C，由α＝β+2kπ，k∈Z可得sinα＝sin（β+2kπ）＝sinβ，k∈Z，
由sinα＝sinβ可得α＝β+2kπ，k∈Z或α＝（2k+1）π﹣β，k∈Z，
所以“α＝β+2kπ，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，当时，，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查命题的真假判断，涉及了奇函数的性质，复合函数的单调性，充要条件以及三角函数等知识，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的单调递增区间为
C．f（x）在区间上只有一个零点
D．函数f（x）在区间的值域为
【分析】根据余弦函数的周期公式求出周期可判断A正确；
根据可判断B不正确；
求出函数f（x）在区间上的零点可判断C正确；
求出函数f（x）在区间的值域可判断D不正确．
【解答】解：由可得f（x）的最小正周期为，故A正确；
因为，，故B不正确；
由，得，k∈Z，得，k∈Z，
由，k∈Z，得，k∈Z，所以k＝0，此时，
即f（x）在区间上只有一个零点，故C正确；
由，得，得，即函数f（x）在区间的值域为，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为 R，且f（1+x）+2为奇函数，f（2﹣2x）为偶函数，f（4）＝0，则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（0）＝0
C．f（2022）＝﹣4
D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（100）＝﹣200
【分析】根据题意，求出函数的周期、对称轴，对称中心和奇偶性，进而根据选项逐项求解即可．
【解答】解：对于A，由于f（1+x）+2为奇函数，则f（1+x）+2+[f（1﹣x）+2]＝0，
则f（1+x）+f（1﹣x）＝﹣4，则函数f（x）关于点（1，﹣2）成中心对称；
又函数f（2﹣2x）为偶函数，
所以f（2﹣2x）＝f（2+2x），
所以函数f（x）关于直线x＝2对称，则f（2﹣x）＝f（2+x），
因为函数f（x）关于点（1，﹣2）成中心对称，
所以f（2﹣x）+f（x）＝﹣4，f（2+x）+f（﹣x）＝﹣4，则f（x）＝f（﹣x），
所以函数f（x）为偶函数，故选项A错误；
对于B，由f（2﹣2x）＝f（2+2x），令x＝1，得f（0）＝f（4）＝0，故选项B正确；
对于C，因为函数f（x）关于直线x＝2对称，且函数f（x）为偶函数，
所以f（x+4）＝f（﹣x）＝f（x），
则函数f（x）的周期为4，
由f（1+x）+f（1﹣x）＝﹣4，令x＝1可得：f（2）+f（0）＝﹣4，
所以f（2）＝﹣4，则f（2022）＝f（505×4+2）＝f（2）＝﹣4，故选项C正确；
对于D，由f（1+x）+f（1﹣x）＝﹣4，令x＝0可得：f（1）＝﹣2，f（3）＝f（3﹣4）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣2，
又f（4）＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣2+（﹣4）+（﹣2）+0＝﹣8，
因为函数f（x）的周期为4，
所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（100）＝25×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝﹣200，故选项D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查函数性质以及抽象函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ．
【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值计算可得结果．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
14．（5分）已知x≥2a﹣1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 {a|a≥2} ．
【分析】根据充分条件的定义得到x≥2a﹣1⇒x≥3，从而得到不等式，求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意得：x≥2a﹣1⇒x≥3，故2a﹣1≥3，解得：a≥2，
故实数a的取值范围是{a|a≥2}．
故答案为：{a|a≥2}．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
15．（5分）函数f（x）＝ex+1+2x﹣10的零点所在区间为（n，n+1），n∈Z，则n的值为 1 .（e≈2.71828）
【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案．
【解答】解：f（x）在R上递增，f（1）＝e2﹣8＜0，f（2）＝e3﹣6＞0，
所以f（x）的零点在区间（1，2），
所以n的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 6 ．
【分析】由题干条件得到0＜x＜1，将y用1﹣x代替，得到，换元后得到，利用基本不等式求出，进而求出的最小值．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+y＝1，
所以0＜x＜1，，
令3x+1＝t∈（1，4），
则，
其中，当且仅当，即t＝2∈（1，4）时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）根据奇函数的定义可证结论正确；
（2）分离常数后，利用指数函数y＝2x的值域可推出f（x）的值域．
【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），关于原点对称，
因为，
所以函数f（x）为奇函数．
（2），
因为2x＞0，所以2x+1＞1，
所以，
所以，
所以﹣1＜f（x）＜1，
即函数f（x）的值域为（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数值域的求解，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4|x|﹣5．
（1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数f（x）的图象；
（2）方程f（x）＝m有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先把函数f（x）写成分段函数，再画其图象；
（2）由图象观察可知y＝f（x）与y＝m有四个交点时，得出实数m的取值范围．
【解答】解：（1），
函数f（x）的图像：
（2）当x＝2或﹣2时，函数f（x）取最小值，最小值为﹣9，且f（0）＝﹣5．
由图象可知，方程f（x）＝m有四个不相等的实数根，即y＝f（x）与y＝m有四个交点时，所以﹣9＜m＜﹣5．
故m的取值范围为（﹣9，﹣5）．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
【分析】（1）利用整体代入法求函数的单调递减区间；
（2）由x所在区间，求出的范围，由正弦函数单调性，求函数f（x）的最值．
【解答】解：（1）由，解得，
所以函数f（x）的单调递减区间为；
（2），则，，
当，即时，f（x）有最大值，，
当，即时，f（x）有最小值，；
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
20．（12分）已知全集U＝R，集合A．
（1）若A∩B，求a的值；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先利用对数函数的单调性求出集合A，然后根据交集的定义列出方程，解之即可求解；
（2）结合（1）中结论和集合的包含关系，分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，列出不等式组，解之即可求解．
【解答】解：（1）由对数函数的单调性可知：
集合，
又因为，
所以，解得：a＝7，
所以实数a＝7．
（2）由（1）可知：集合，
因为B⊆A，
①当B＝∅时，，解得a，
②当B≠∅时，，且，解得：9≤a≤36，
所以实数a的取值范围为{a|a或9≤a≤36}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
21．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由，根据函数奇偶性列方程组求函数解析式，用定义法判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）原不等式在（0，+∞）上恒成立，等价于在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式求的最小值，即可得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由，可得，
因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
所以﹣f（x）+g（x）＝2x，
由，
解得，，
函数定义域为R，是R上的减函数，证明如下：
任取x1＜x2，有，，
则，
即f（x1）＞f（x2），
函数f（x）在R上单调递减．
（2）因为，
由不等式可得 ，
得，
当x＞0时，2x＞1，，
不等式在（0，+∞）上恒成立，
等价于在（0，+∞）上恒成立，
又，
当且仅当即x＝1时等号成立，得，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题，通过分离常数，转化为求新函数最值问题，可使用函数单调性或基本不等式等方法求函数最值．
22．（12分）如图，有一个小矩形公园ABCD，其中AB＝20m，AD＝10m，现过点C修建一条笔直的围墙（不计宽度）与AB和AD的延长线分别交于点E，F，现将小矩形公园扩建为三角形公园AEF．
（1）当AE多长时，才能使扩建后的公园△AEF的面积最小？并求出△AEF的最小面积．
（2）当扩建后的公园△AEF的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示．若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值．（小数点后保留三位小数）
参考数据：．
参考公式：．
【分析】（1）设AE＝x（x＞20），由几何关系表示出△AEF的面积函数，结合基本不等式求最小值；
（2）如图所示，三角形绿地为△A1E1F1，过A1作E2F2∥EF交AE、AF于E2、F2，延长E1A1交AF于G，
设健步道宽度为x，由几何关系求得△A1E1F1中E1F1上的高h1＝h﹣x﹣h2（h2为△AE2F2中E2F2上的高），即可由相似比表示出三角形绿地△A1E1F1的面积函数不等式，从而求得结果．
【解答】解：（1）设AE＝x（x＞20），∵CD∥AE，
∴，∴，
∴
，
当且仅当时，等号成立，
∴当AE＝40m时，公园△AEF的面积最小，最小值为400m2；
（2）根据题意可得AE＝40m，AF＝20m，
∴，，
△AEF中，EF边上的高为，
如图所示，三角形绿地为△A1E1F1，
过A1作E2F2∥EF交AE、AF于E2、F2，延长E1A1交AF于G，
易得△AE2F2∽△AEF∽△A1E1F1，
设健步道宽度为x，则，
设△AE2F2中E2F2上的高h2，则，
则△A1E1F1中E1F1上的高，
由，可得，
解得x≤1.024，
故健步道宽度的最大值为1.024m．
【点评】本题考查解三角形问题，函数建模，函数思想，基本不等式的应用，不等式思想，属中档题．
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