2022-2023学年河北省沧州市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省沧州市高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，3，5，6，7}，则A∩B的子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（5分）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝2x2B．C．y＝﹣x﹣1D．y＝2x
3．（5分）“lga＜lgb”是“a3＜b3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知函数．设f（0）＝a，则f（a）＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．2
5．（5分）若t＞1，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．{x|x或x＞t}
C．{x|x＜t或}D．
6．（5分）已知sinα，csα，则tan等于（ ）
A．2B．2C．2D．±（2）
7．（5分）函数y＝sinx﹣xcsx的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得成立，则称函数f（x）为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ）
A．f（x）＝lnxB．f（x）＝ex
C．f（x）＝esinxD．f（x）＝csx
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，1）B．[﹣1，3]C．[0，2）D．（﹣3，3）
（多选）10．（5分）设0＜a＜b，且a+b＝2，则（ ）
A．1＜b＜2B．2a﹣b＜1C．ab＜1D．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线x＝π对称
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的图象关于点（﹣2π，0）对称
D．f（x）在区间（2，3）上是增函数
（多选）12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（）
B．f（x+7）为奇函数
C．f（x）在（6，8）上为减函数
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知f（2x）＝x2+2，则f（1）＝ ．
14．（5分）函数的定义域是 ．
15．（5分）在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为 ．
16．（5分）若正实数x0是关于x的方程ex+x＝ax+lnax的根，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x＞4}．
（1）求集合A∪B，∁RB；
（2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝2|x|．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性（不必写出过程），并解不等式f（x+2）＞f（2x﹣1）．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
20．（12分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．
（1）若f（x）≤f（0）恒成立，求φ；
（2）若f（x）在上是单调函数，求φ的取值范围．
21．（12分）某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．
（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
22．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．
2022-2023学年河北省沧州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，3，5，6，7}，则A∩B的子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先求A∩B中元素的个数，再求A∩B的子集的个数．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，3，5，6，7}，
所以A∩B＝{2，3，5}，
所以A∩B的子集的个数为23＝8个．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝2x2B．C．y＝﹣x﹣1D．y＝2x
【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案．
【解答】解：B项可化为y＝x﹣2，根据幂函数的概念，可知函数y＝x﹣2是幂函数，即函数是幂函数．ACD均不是幂函数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
3．（5分）“lga＜lgb”是“a3＜b3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，分别判断充分性以及必要性即可得出答案．
【解答】解：由lga＜lgb，根据函数y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，可得0＜a＜b，
由y＝x3在R上单调递增，则有a3＜b3，所以充分性成立；
当a3＜b3时，由y＝x3在R上单调递增，可得a＜b，
在a＜b＜0的情况下，lga＜lgb不成立，所以必要性不成立．
所以“lga＜lgb”是“a3＜b3”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，指、对数不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知函数．设f（0）＝a，则f（a）＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．2
【分析】根据分段函数的解析式，结合已知求出，进而代入解析式即可得出答案．
【解答】解：由已知可得，，即，
又，所以f（a）＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
5．（5分）若t＞1，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．{x|x或x＞t}
C．{x|x＜t或}D．
【分析】首先根据不等式的性质可得，进而将不等式转化为，求解即可得出结果．
【解答】解：因为，t＞1，
所以，所以．
原不等式可化为，
解得．
所以，不等式的解集为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了含参不等式的求解，属于基础题．
6．（5分）已知sinα，csα，则tan等于（ ）
A．2B．2C．2D．±（2）
【分析】根据题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式可得tan24tan1＝0，结合α为第一象限角，可得tan0，再解方程得到tan的值．
【解答】解：因为sinα，csα，
所以tanα，所以tan24tan1＝0，
解得tan2±，
又sinα＞0，csα＞0，所以α为第一象限角，
所以tan0，所以tan2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
7．（5分）函数y＝sinx﹣xcsx的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，利用解析式计算f（）的值，排除AD，在分析区间（0，）上，f（x）的符号，排除B，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝sinx﹣xcsx，
则f（）＝10＝1，排除AD，
在区间（0，）上，f（x）＞sinx﹣csx＞0，排除B；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象分析，注意用间接法分析，属于基础题．
8．（5分）定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得成立，则称函数f（x）为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ）
A．f（x）＝lnxB．f（x）＝ex
C．f（x）＝esinxD．f（x）＝csx
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可．
【解答】解：对于A，由，
当x1＝1时，则不存在x2满足方程，故A不符合题意；
对于B，由，
则任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2满足x1+x2＝0，故B符合题意；
对于C，由，
得sinx1+sinx2＝0，
当x1＝0时，则sinx2＝0，x2＝kπ，k∈Z，则x2不唯一，故C不符合题意；
对于D，由，
当csx1∈[0，1）时，则不存在x2满足方程，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数中的“新定义”问题，紧扣“正积函数”的定义是本题解题关键．属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，1）B．[﹣1，3]C．[0，2）D．（﹣3，3）
【分析】由已知结合含由量词的命题的真假关系可求．
【解答】解：由题意∃x∈M，x＜0且∀x∈M，x＜3都为真命题，
结合选项可知，AD符合题意．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）设0＜a＜b，且a+b＝2，则（ ）
A．1＜b＜2B．2a﹣b＜1C．ab＜1D．
【分析】结合选项及条件逐个判定，把a＝2﹣b代入0＜a＜b可得A正确，利用指数函数单调性可得B正确，利用基本不等式可得C正确，利用1的代换及基本不等式可得D不正确．
【解答】解：对于A，∵0＜a＜b，且a+b＝2，
∴0＜2﹣b＜b，解得1＜b＜2，故A正确；
对于B，∵a＜b，即a﹣b＜0，
∴2a﹣b＜20＝1，故B正确；
对于C，∵0＜a＜b，且a+b＝2，
∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
∴ab＜1，故C正确；
对于D，∵0＜a＜b，a+b＝2，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
又∵，∴，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线x＝π对称
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的图象关于点（﹣2π，0）对称
D．f（x）在区间（2，3）上是增函数
【分析】先利用偶函数求出φ，再利用周期公式求解周期，利用图象的性质求解对称性和单调性．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以，
又0＜φ＜π，所以，即．
对于A，由2x＝kπ，k∈Z，得．
当k＝2时，x＝π，故f（x）的图象关于直线x＝π对称，A正确；
对于B，f（x）的最小正周期是，B正确；
对于C，f（x）＝cs2x，f（x）图象的对称中心为，C错误；
对于D，令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z，则，
即是f（x）的一个单调增区间；由于在上单调递增，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正弦函数对称性及周期性，单调性的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（）
B．f（x+7）为奇函数
C．f（x）在（6，8）上为减函数
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
【分析】根据函数的奇偶性，判断函数的对称性和周期性，作出函数的同学，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x﹣1）为奇函数，∴f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），则函数关于（﹣1，0）对称，
∵f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即为f（﹣x）＝f（x+2），则函数关于x＝1对称，
则f（x+2）＝﹣f（x﹣2），
当x＝0时，由f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），得f（﹣1）＝﹣f（﹣1），得f（﹣1）＝0，
得f（x+4）＝﹣f（x），即f（x+8）＝f（x），同时f（x）＝﹣f（x﹣4），
即f（x）是周期为8的周期函数，
则f（）＝f（8）＝f（）＝﹣f（4）＝﹣f（）＝﹣[1﹣（）2]，故A正确，
f（x+7）＝f（x+7﹣8）＝f（x﹣1）＝﹣f（﹣x﹣1）＝﹣f（﹣x﹣1+8）＝﹣f（﹣x+7），则f（x+7）是奇函数，故B正确，
∵函数的周期是8，∴f（x）在（6，8）的单调性和（﹣2，0）的单调性相同，
由图象知，f（x）在（﹣2，0）上为增函数，则f（x）在（6，8）上增函数，故C错误，
由f（x）+lgx＝0得f（x）＝﹣lgx，
作出函数f（x）和y＝﹣lgx的图象如图：由图象知两个函数有6个交点，即f（x）+lgx＝0有6个不同的根，故D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知f（2x）＝x2+2，则f（1）＝ 2 ．
【分析】由已知函数解析式对x赋值即可求得f（1）．
【解答】解：f（1）＝f（20）＝02+2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14．（5分）函数的定义域是 （﹣2，0]∪（1，2） ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
解得﹣2＜x≤0或1＜x＜2，
所以函数的定义域为（﹣2，0]∪（1，2）．
故答案为：（﹣2，0]∪（1，2）．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
15．（5分）在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为 （﹣1，） ．
【分析】依题意知OA＝OB＝2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．
【解答】解：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
所以x＝2cs120°＝﹣1，y＝2sin120°，
即B（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）
【点评】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．
16．（5分）若正实数x0是关于x的方程ex+x＝ax+lnax的根，则 0 ．
【分析】设f（x）＝ex+x，同构变形得到ex+x＝elnax+lnax，即f（x）＝f（lnax），从而得到x0＝lnax0，即，从而结果．
【解答】解：令f（x）＝ex+x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
ex+x＝ax+lnax，即ex+x＝elnax+lnax，故f（x）＝f（lnax），
∵正实数x0是方程ex+x＝ax+lnax的根，
∴f（x0）＝f（lnax0），则x0＝lnax0，得，
即．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x＞4}．
（1）求集合A∪B，∁RB；
（2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．
【分析】（1）解出集合B，根据并集以及补集的运算，即可求出答案；
（2）先求出交集，进而根据一元二次不等式的解集，得出一元二次方程的根，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）2x＞4可得，x＞2，所以B＝{x|x＞2}．
因为A＝{x|1＜x＜3}，
所以A∪B＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≤2}．
（2）由（1）知，A∩B＝{x|2＜x＜3}，
所以x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
所以x2+ax+b＝0的解为2，3．
所以，解得，
所以a＝﹣5，b＝6．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝2|x|．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性（不必写出过程），并解不等式f（x+2）＞f（2x﹣1）．
【分析】（1）f（x）是R上的偶函数，利用定义法即可证明；
（2）判断f（x）[0，+∞）上单调递增，利用函数的单调性与单调性将不等式进行转化，即可求解不等式的解集．
【解答】解：（1）f（x）是R上的偶函数，
证明：依题意，函数f（x）的定义域为R，
对任意x∈R，都有f（﹣x）＝2|﹣x|2|x|f（x），
所以f（x）是R上的偶函数．
（2）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+2）＞f（2x﹣1）等价于f（|x+2|）＞f（|2x﹣1|）．
因为函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|x+2|＞|2x﹣1|，
即3x2﹣8x﹣3＜0，解得x＜3，
所以不等式f（x+2）＞f（2x﹣1）的解集为（，3）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
【分析】（1）根据正弦函数的性质，利用整体法求出增区间即可；
（2）求的范围，再由正弦函数性质求值域．
【解答】解：（1）由，
所以函数f（x）的单调增区间是；
（2）由，可得，
所以，所以．
所以f（x）的值域为[0，3]．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
20．（12分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．
（1）若f（x）≤f（0）恒成立，求φ；
（2）若f（x）在上是单调函数，求φ的取值范围．
【分析】（1）先化简g（x），根据平移规律可得到f（x），利用f（0）是函数的最大值即可求解；
（2）由可得，结合函数的周期可考虑区间，利用正弦函数的性质列出不等式即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
又f（x）≤f（0）恒成立，∴f（0）是函数的最大值，
故，得，k∈Z，
∵，∴．
（2）∵，∴，
令，所以f（x）在上是单调函数可转化成f（x）＝h（t）＝2sint﹣1在是单调函数，
因为h（t）＝2sint﹣1的周期为T＝2π，所以h（t）＝2sint﹣1在是单调函数，
∵，∴，，
∵h（t）＝2sint﹣1在是单调函数，
∴，解得，
∴φ的取值范围为[，]．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数的单调性，属于中档题．
21．（12分）某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．
（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）首先据销售量求得x的范围，然后计算出供货价格，可得利润函数，令x＝80代入计算出每套书的利润，再乘以销量可得总利润；
（2）利用基本不等式可得最值．
【解答】解：（1）∵，解得0＜x＜100，
∴，
当x＝80时，（元），
此时销量为10﹣0.1×80＝2（万件），
总利润为2×55＝110（万元）；
（2），
∵0＜x＜100，
∴100﹣x＞0，
∴，
当且仅当，即x＝90元时，每套利润最大为60元．
【点评】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是确定利润函数，并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”，然后再考虑“三相等”．
22．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]，试讨论函数g（x）的零点个数．
【分析】（1）求出f（1），根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；
（2）原题可转化为求方程g（x）＝0根的个数，结合g（x）的定义域，求方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数．对a的取值范围分类讨论，得出（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0根的个数，结合函数g（x）的定义域即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（1）＝lg2（1+a）＜3＝lg28，
所以0＜1+a＜8，即﹣1＜a＜7，
所以a的取值范围为（﹣1，7）．
（2）由已知可得，g（x）＝f（x）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]．
求函数g（x）零点的个数，即求方程g（x）＝0根的个数，
由g（x）＝0，可得，
即，
整理可得，（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0．
①当a＝4时，可化为x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；
②当a＝3时，方程可化为x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，方程只有一个根，故此时函数g（x）有一个零点；
③当a≠4且a≠3时，解方程（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0得，x＝﹣1或．
令，v（x）＝（a﹣4）x+2a﹣5．
则u（﹣1）＝v（﹣1）＝a﹣1，．
（ⅰ）a＞2且a≠4且a≠3，
则a﹣1＞0且2a﹣4＞0，此时有u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，故此时函数g（x）有两个零点；
（ⅱ）1＜a≤2，则a﹣1＞0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）＞0，，即不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）有一个零点；
（ⅲ）当a≤1，则a﹣1≤0，2a﹣4＜0，则u（﹣1）＝v（﹣1）≤0，，即此时﹣1和均不在函数g（x）的定义域内，故此时函数g（x）无零点．
综上，当a∈（﹣∞，1]时，g（x）无零点；当a∈（1，2]∪{3，4}时，g（x）有一个零点；当a∈（2，3）∪（3，4）∪（4，+∞）时，g（x）恰有2个零点．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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