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2022-2023学年广西钦州市高一（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广西钦州市高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
2．（5分）已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，A＝{3，4，5，6，7}，B＝{2，4，6，8}，则M等于（ ）
A．{4，5，6}B．{4，6}C．{2，8}D．{3，5，7}
3．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．y＝lgx
4．（5分）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若函数f（x）＝3ax﹣2a+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．或a＜﹣1B．
C．D．a＜﹣1
6．（5分）已知a＞b＞c，则下列说法一定正确的是（ ）
A．ab＞bcB．|a|＞|b|＞|c|C．ac2＞bc2D．2a＞b+c
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．数学探究活动是数学建模
B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模
C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括
D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题
8．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
（多选）9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件
D．“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件
（多选）10．（5分）奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，则f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是（ ）
A．增函数且最小值为﹣5B．减函数且最小值为﹣5
C．增函数且最大值为﹣2D．减函数且最大值为﹣2
（多选）11．（5分）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量
（多选）12．（5分）张红同学对甲、乙两名同学一周内的体温进行了测量并统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的60%分位数为36.5℃
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点．作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础．生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步．你提出的实际问题是 .（答案不唯一）
14．（5分）请将，，c＝lg31，三个数，由大到小排列，得 ．
15．（5分）具有跨学科意识是创新素养高的标志之一，学习数学时，我们注意到数学与生物学之间跨学科应用相当广泛．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在生物链H1→H2→H3→H4中，若H4获得10KJ的能量，则需H1提供的能量为 ．
16．（5分）如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示）．
四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，1}，C＝{1，2}．
（1）求B∪C；
（2）求∁A（B∩C）．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性．
19．（12分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式．
20．（12分）已知对数函数f（x）＝lgax（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．
21．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：．
（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由．
22．（12分）甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩（单位：分）如图所示：
（1）分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
（2）请你对两人的成绩作多角度的评价．
2022-2023学年广西钦州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
1．（5分）下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，逐一判断即可．
【解答】解：调查某批次汽车的抗撞击能力，有破坏性，故用抽查方式，故A错误；
了解全国中学生每周体育锻炼的时间，工作量大，得用抽查方式，故B错误；
为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，工作量大，用抽查方式，故C正确；
对载人航天器“神舟十四号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故D错误．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，A＝{3，4，5，6，7}，B＝{2，4，6，8}，则M等于（ ）
A．{4，5，6}B．{4，6}C．{2，8}D．{3，5，7}
【分析】由已知结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|x∈A且x∈B}＝A∩B＝{4，6}，
故选：B．
3．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．y＝lgx
【分析】由初等函数的性质逐项判定即可．
【解答】解：对于A，y＝2x在（0，+∞）上单调递增且值域为（1，+∞），故A不符合题意；
对于B，y在（0，+∞）上单调递增且值域为（﹣∞，0），故B不符合题意；
对于C，y在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞），故C符合题意；
对于D，y＝lgx在（0，+∞）上单调递增且值域为R，故D不符合题意．
故选：C．
4．（5分）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用指数运算对四个选项依次化简即可．
【解答】解：22＝4，
（）﹣3＝23＝8，
∵π＜4，
∴4﹣π，
（）﹣3，
故选：D．
5．（5分）若函数f（x）＝3ax﹣2a+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．或a＜﹣1B．
C．D．a＜﹣1
【分析】由于函数f（x）＝3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，利用一次函数的单调性可得：f（﹣1）f（1）＜0，解得即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，
∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．
解得a或a＜﹣1．
故选：A．
6．（5分）已知a＞b＞c，则下列说法一定正确的是（ ）
A．ab＞bcB．|a|＞|b|＞|c|C．ac2＞bc2D．2a＞b+c
【分析】根据不等式的性质即可判断选项D，通过举反例即可判断选项A，B，C．
【解答】解：因为a＞b＞c，
则a＞b且a＞c，所以a+a＞b+c，即2a＞b+c，故D正确，
当b＜0时，ab＜bc，故A错误，
当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，|a|＜|b|＜|c|，故B错误，
当c＝0时，ac2＝bc2，故C错误，
故选：D．
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．数学探究活动是数学建模
B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模
C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括
D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题
【分析】根据数学探究活动的概念及数学建模的基本概念分析即得．
【解答】解：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程；
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程；故A，B错误；
数学建模的一般步骤：1．提出问题；2．建立模型；3．求解模型；4．检验结果；故C错误；
数学建模的对象是现实世界中的实际问题，故D正确．
故选：D．
8．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a，x∈[1，4]，求出f（x）x在x∈[1，4]的最大值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a，x∈[1，4]；
设f（x）x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
（多选）9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件
D．“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件
【分析】结合不等式的性质，根据充分必要条件的概念，逐一分析选项，即可．
【解答】解：选项A，若a＝b，则ac＝bc；当c＝0时，若“ac＝bc”，则a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，即A错误；
选项B，若a＞b，如a＝1，b＝﹣2，此时a2＜b2；若a2＞b2，如a＝﹣1，b＝0，此时a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，即B错误；
选项C，若a＜5，则a＜3不一定成立；若a＜3，则a＜5一定成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件，即C正确；
选项D，若a＞0，则|a|＝a；若|a|＝a，则a≥0，所以“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件，即D正确．
故选：CD．
（多选）10．（5分）奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，则f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是（ ）
A．增函数且最小值为﹣5B．减函数且最小值为﹣5
C．增函数且最大值为﹣2D．减函数且最大值为﹣2
【分析】由已知结合奇函数的对称性即可求解．
【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是单调递增，且最小值为﹣5，最大值为﹣2．
故选：AC．
（多选）11．（5分）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量
【分析】通过图象的观察两曲线的位置关系可得结论．
【解答】解：由整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系图，
可得在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均没有达标，故A错误；
由t2时刻为两曲线的交点的横坐标，可得在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等，故B正确；
甲企业的污水排放量的最小值小于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；
由[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量曲线在乙企业的污水排放量的上面，
所以在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排放量，故D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）张红同学对甲、乙两名同学一周内的体温进行了测量并统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的60%分位数为36.5℃
【分析】根据给定的折线图，逐一分析判断各个选项即可作答．
【解答】解：观察折线图知，甲同学体温的极差为36.6﹣36.2＝0.4℃，A正确；
乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
所以乙同学体温的众数为36.4℃，中位数为36.4℃，
平均数（36.3×2+36.4×3+36.5×2）＝36.4℃，中位数与平均数相等，B错误；
乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2℃，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C正确；
将甲同学的体温从小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因为7×60%＝4.2，则甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点．作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础．生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步．你提出的实际问题是 如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？（答案不唯一）； .（答案不唯一）
【分析】根据数学建模的知识即得．
【解答】解：就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，可以是如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
故答案为：如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
14．（5分）请将，，c＝lg31，三个数，由大到小排列，得 b＞a＞c ．
【分析】求a、b、c的值，直接判断大小关系即可．
【解答】解：∵3，5，c＝lg31＝0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
15．（5分）具有跨学科意识是创新素养高的标志之一，学习数学时，我们注意到数学与生物学之间跨学科应用相当广泛．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在生物链H1→H2→H3→H4中，若H4获得10KJ的能量，则需H1提供的能量为 10000KJ ．
【分析】设需H1提供的能量为xKJ，由题意可得x的方程，解方程可得所求值．
【解答】解：设需H1提供的能量为xKJ，
由生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，
可得x•10%•10%•10%＝10，
解得x＝10000．
故答案为：10000KJ．
16．（5分）如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示）．
【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可．
【解答】解：∵黄豆落在椭圆外的概率为：
即：
解得：S．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，1}，C＝{1，2}．
（1）求B∪C；
（2）求∁A（B∩C）．
【分析】根据并集，交集和补集的定义，计算即可．
【解答】解：∵B＝{0，1}，C＝{1，2}，
∴B∪C＝{0，1，2}，B∩C＝{1}，
∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴∁A（B∩C）＝{﹣2，﹣1，0，2}．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性．
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x3+2x，x∈R，其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）根据题意，设x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1x2）2+2x22]，
又由x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
19．（12分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式．
【分析】（1）根据已知条件，结合指数函数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合幂函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，
则，解得m＝3；
（2）由（1）得，m＝3，
所以原不等式为．
因为在定义域[0，+∞）是增函数，
所以，解得，
故原不等式的解集为．
20．（12分）已知对数函数f（x）＝lgax（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．
【分析】（1）根据lga3＝1，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性问题转化为关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）因为lga3＝1，所以a＝3，
所以f（x）＝lg3x，
（2）因为f（x+1）＜1，
也就是lg3（x+1）＜1，
所以lg3（x+1）＜lg33，
所以0＜x+1＜3，
所以﹣1＜x＜2，
所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜2}．
21．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：．
（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由．
【分析】（1）由分段函数的解析式计算f（5），f（20），比较即可得结论；
（2）分别求解当0＜x≤10，10＜x≤16和16＜x≤30时，不等式f（x）≥55的解，求出满足条件的时长，即可得到结论．
【解答】解：（1）由，
可得f（5）＝43+2.6×5﹣0.1×25＝53.5，f（20）＝107﹣3×20＝47，
所以，讲课开始后的5min时刻学生的注意力更集中；
（2）因为该道数学题目需要连续讲解13min，
为方便求解，我们先将讲解时间分成三段讨论，
当0＜x≤10时，解f（x）≥55，﹣0.1x2+2.6x+43≥55，得6≤x≤10；
当10＜x≤16时，解f（x）≥55，因为59≥55，得10＜x≤16；
当16＜x≤30时，解f（x）≥55，得．
所以，仅在这一时段内，学生的注意力至少达到55，
又因为6，且13，
所以，老师不能在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目．
22．（12分）甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩（单位：分）如图所示：
（1）分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
（2）请你对两人的成绩作多角度的评价．
【分析】（1）根据折线图可得甲乙近期五次测试成绩，然后利用平均数及方差公式即得；
（2）根据折线图，甲、乙的成绩的平均数及方差的值分析即得．
【解答】解：（1）由折线图得，甲的近期五次测试成绩分别为：10，13，12，14，16，乙的近期五次测试成绩分别为：13，14，12，12，14，
所以甲成绩的平均数为，
所以乙成绩的平均数为，
甲成绩的方差为，
乙成绩的方差为．
（2）结合分数的图象分布及趋势以及，，，我们得到以下评估结论：
①甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定．
②甲的成绩基本成上升趋势，而乙的成绩上下波．
③甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
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1．（5分）下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
2．（5分）已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，A＝{3，4，5，6，7}，B＝{2，4，6，8}，则M等于（ ）
A．{4，5，6}B．{4，6}C．{2，8}D．{3，5，7}
3．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．y＝lgx
4．（5分）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若函数f（x）＝3ax﹣2a+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．或a＜﹣1B．
C．D．a＜﹣1
6．（5分）已知a＞b＞c，则下列说法一定正确的是（ ）
A．ab＞bcB．|a|＞|b|＞|c|C．ac2＞bc2D．2a＞b+c
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．数学探究活动是数学建模
B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模
C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括
D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题
8．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
（多选）9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件
D．“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件
（多选）10．（5分）奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，则f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是（ ）
A．增函数且最小值为﹣5B．减函数且最小值为﹣5
C．增函数且最大值为﹣2D．减函数且最大值为﹣2
（多选）11．（5分）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量
（多选）12．（5分）张红同学对甲、乙两名同学一周内的体温进行了测量并统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的60%分位数为36.5℃
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点．作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础．生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步．你提出的实际问题是 .（答案不唯一）
14．（5分）请将，，c＝lg31，三个数，由大到小排列，得 ．
15．（5分）具有跨学科意识是创新素养高的标志之一，学习数学时，我们注意到数学与生物学之间跨学科应用相当广泛．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在生物链H1→H2→H3→H4中，若H4获得10KJ的能量，则需H1提供的能量为 ．
16．（5分）如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示）．
四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，1}，C＝{1，2}．
（1）求B∪C；
（2）求∁A（B∩C）．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性．
19．（12分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式．
20．（12分）已知对数函数f（x）＝lgax（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．
21．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：．
（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由．
22．（12分）甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩（单位：分）如图所示：
（1）分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
（2）请你对两人的成绩作多角度的评价．
2022-2023学年广西钦州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
1．（5分）下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，逐一判断即可．
【解答】解：调查某批次汽车的抗撞击能力，有破坏性，故用抽查方式，故A错误；
了解全国中学生每周体育锻炼的时间，工作量大，得用抽查方式，故B错误；
为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，工作量大，用抽查方式，故C正确；
对载人航天器“神舟十四号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故D错误．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，A＝{3，4，5，6，7}，B＝{2，4，6，8}，则M等于（ ）
A．{4，5，6}B．{4，6}C．{2，8}D．{3，5，7}
【分析】由已知结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|x∈A且x∈B}＝A∩B＝{4，6}，
故选：B．
3．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．y＝lgx
【分析】由初等函数的性质逐项判定即可．
【解答】解：对于A，y＝2x在（0，+∞）上单调递增且值域为（1，+∞），故A不符合题意；
对于B，y在（0，+∞）上单调递增且值域为（﹣∞，0），故B不符合题意；
对于C，y在（0，+∞）上单调递增且值域为（0，+∞），故C符合题意；
对于D，y＝lgx在（0，+∞）上单调递增且值域为R，故D不符合题意．
故选：C．
4．（5分）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用指数运算对四个选项依次化简即可．
【解答】解：22＝4，
（）﹣3＝23＝8，
∵π＜4，
∴4﹣π，
（）﹣3，
故选：D．
5．（5分）若函数f（x）＝3ax﹣2a+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．或a＜﹣1B．
C．D．a＜﹣1
【分析】由于函数f（x）＝3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，利用一次函数的单调性可得：f（﹣1）f（1）＜0，解得即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，
∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．
解得a或a＜﹣1．
故选：A．
6．（5分）已知a＞b＞c，则下列说法一定正确的是（ ）
A．ab＞bcB．|a|＞|b|＞|c|C．ac2＞bc2D．2a＞b+c
【分析】根据不等式的性质即可判断选项D，通过举反例即可判断选项A，B，C．
【解答】解：因为a＞b＞c，
则a＞b且a＞c，所以a+a＞b+c，即2a＞b+c，故D正确，
当b＜0时，ab＜bc，故A错误，
当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，|a|＜|b|＜|c|，故B错误，
当c＝0时，ac2＝bc2，故C错误，
故选：D．
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．数学探究活动是数学建模
B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模
C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括
D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题
【分析】根据数学探究活动的概念及数学建模的基本概念分析即得．
【解答】解：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程；
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程；故A，B错误；
数学建模的一般步骤：1．提出问题；2．建立模型；3．求解模型；4．检验结果；故C错误；
数学建模的对象是现实世界中的实际问题，故D正确．
故选：D．
8．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a，x∈[1，4]，求出f（x）x在x∈[1，4]的最大值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a，x∈[1，4]；
设f（x）x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）
（多选）9．（5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件
D．“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件
【分析】结合不等式的性质，根据充分必要条件的概念，逐一分析选项，即可．
【解答】解：选项A，若a＝b，则ac＝bc；当c＝0时，若“ac＝bc”，则a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，即A错误；
选项B，若a＞b，如a＝1，b＝﹣2，此时a2＜b2；若a2＞b2，如a＝﹣1，b＝0，此时a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，即B错误；
选项C，若a＜5，则a＜3不一定成立；若a＜3，则a＜5一定成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件，即C正确；
选项D，若a＞0，则|a|＝a；若|a|＝a，则a≥0，所以“a＞0”是“|a|＝a”的充分不必要条件，即D正确．
故选：CD．
（多选）10．（5分）奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，则f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是（ ）
A．增函数且最小值为﹣5B．减函数且最小值为﹣5
C．增函数且最大值为﹣2D．减函数且最大值为﹣2
【分析】由已知结合奇函数的对称性即可求解．
【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[1，3]上是增函数且最小值为2，最大值为5，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在区间[﹣3，﹣1]上是单调递增，且最小值为﹣5，最大值为﹣2．
故选：AC．
（多选）11．（5分）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量
【分析】通过图象的观察两曲线的位置关系可得结论．
【解答】解：由整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系图，
可得在[t1，t2]这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均没有达标，故A错误；
由t2时刻为两曲线的交点的横坐标，可得在t2时刻，甲乙两企业的污水排放量相等，故B正确；
甲企业的污水排放量的最小值小于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；
由[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量曲线在乙企业的污水排放量的上面，
所以在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排放量，故D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）张红同学对甲、乙两名同学一周内的体温进行了测量并统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的60%分位数为36.5℃
【分析】根据给定的折线图，逐一分析判断各个选项即可作答．
【解答】解：观察折线图知，甲同学体温的极差为36.6﹣36.2＝0.4℃，A正确；
乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
所以乙同学体温的众数为36.4℃，中位数为36.4℃，
平均数（36.3×2+36.4×3+36.5×2）＝36.4℃，中位数与平均数相等，B错误；
乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2℃，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C正确；
将甲同学的体温从小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因为7×60%＝4.2，则甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点．作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础．生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步．你提出的实际问题是 如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？（答案不唯一）； .（答案不唯一）
【分析】根据数学建模的知识即得．
【解答】解：就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，可以是如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
故答案为：如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
14．（5分）请将，，c＝lg31，三个数，由大到小排列，得 b＞a＞c ．
【分析】求a、b、c的值，直接判断大小关系即可．
【解答】解：∵3，5，c＝lg31＝0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
15．（5分）具有跨学科意识是创新素养高的标志之一，学习数学时，我们注意到数学与生物学之间跨学科应用相当广泛．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在生物链H1→H2→H3→H4中，若H4获得10KJ的能量，则需H1提供的能量为 10000KJ ．
【分析】设需H1提供的能量为xKJ，由题意可得x的方程，解方程可得所求值．
【解答】解：设需H1提供的能量为xKJ，
由生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，
可得x•10%•10%•10%＝10，
解得x＝10000．
故答案为：10000KJ．
16．（5分）如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 （结果用分数表示）．
【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可．
【解答】解：∵黄豆落在椭圆外的概率为：
即：
解得：S．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，1}，C＝{1，2}．
（1）求B∪C；
（2）求∁A（B∩C）．
【分析】根据并集，交集和补集的定义，计算即可．
【解答】解：∵B＝{0，1}，C＝{1，2}，
∴B∪C＝{0，1，2}，B∩C＝{1}，
∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴∁A（B∩C）＝{﹣2，﹣1，0，2}．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性．
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x3+2x，x∈R，其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）根据题意，设x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1x2）2+2x22]，
又由x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
19．（12分）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，其中m为实数，
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式．
【分析】（1）根据已知条件，结合指数函数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合幂函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，
则，解得m＝3；
（2）由（1）得，m＝3，
所以原不等式为．
因为在定义域[0，+∞）是增函数，
所以，解得，
故原不等式的解集为．
20．（12分）已知对数函数f（x）＝lgax（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．
【分析】（1）根据lga3＝1，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性问题转化为关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）因为lga3＝1，所以a＝3，
所以f（x）＝lg3x，
（2）因为f（x+1）＜1，
也就是lg3（x+1）＜1，
所以lg3（x+1）＜lg33，
所以0＜x+1＜3，
所以﹣1＜x＜2，
所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜2}．
21．（12分）心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：．
（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由．
【分析】（1）由分段函数的解析式计算f（5），f（20），比较即可得结论；
（2）分别求解当0＜x≤10，10＜x≤16和16＜x≤30时，不等式f（x）≥55的解，求出满足条件的时长，即可得到结论．
【解答】解：（1）由，
可得f（5）＝43+2.6×5﹣0.1×25＝53.5，f（20）＝107﹣3×20＝47，
所以，讲课开始后的5min时刻学生的注意力更集中；
（2）因为该道数学题目需要连续讲解13min，
为方便求解，我们先将讲解时间分成三段讨论，
当0＜x≤10时，解f（x）≥55，﹣0.1x2+2.6x+43≥55，得6≤x≤10；
当10＜x≤16时，解f（x）≥55，因为59≥55，得10＜x≤16；
当16＜x≤30时，解f（x）≥55，得．
所以，仅在这一时段内，学生的注意力至少达到55，
又因为6，且13，
所以，老师不能在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目．
22．（12分）甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩（单位：分）如图所示：
（1）分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
（2）请你对两人的成绩作多角度的评价．
【分析】（1）根据折线图可得甲乙近期五次测试成绩，然后利用平均数及方差公式即得；
（2）根据折线图，甲、乙的成绩的平均数及方差的值分析即得．
【解答】解：（1）由折线图得，甲的近期五次测试成绩分别为：10，13，12，14，16，乙的近期五次测试成绩分别为：13，14，12，12，14，
所以甲成绩的平均数为，
所以乙成绩的平均数为，
甲成绩的方差为，
乙成绩的方差为．
（2）结合分数的图象分布及趋势以及，，，我们得到以下评估结论：
①甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定．
②甲的成绩基本成上升趋势，而乙的成绩上下波．
③甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/6 10:24:20；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231
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