2022-2023学年河南省郑州市基石中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省郑州市基石中学高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B＝{x|﹣4≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣4，﹣2）∪（1，3]B．（﹣2，3）
C．RD．∅
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是（ ）
A．∃x∈（0，+∞），B．∃x∈（0，+∞），
C．∀x∈（0，+∞），D．∀x∈（0，+∞），
3．（5分）三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y＝3|x|﹣x4的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知角α的终边经过点P（m，﹣6），且csα，则m＝（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
6．（5分）在下列区间中，方程2x+x＝0的解所在的区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
7．（5分）已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．2
8．（5分）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列各式中值为1的是（ ）
A．
B．sin72°cs18°+cs72°sin18°
C．
D．
（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若abc≠0，则a2+b2+c2≠0
D．若a2+b2+c2≠0，则abc≠0
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．已知3a＝4b＝12，则
C．已知x，y∈R+，且，则x+y的最小值为8
D．已知幂函数f（x）＝kxa的图象过点（2，4），则k+a＝3
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数h（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，h（﹣x）＝h（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有；
③h（﹣3）＝0．
则下列选项成立的是（ ）
A．h（5）＞h（﹣6）
B．若，则x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（4，+∞）
C．若h（2a﹣1）＜h（2），则
D．∀x∈R，∃M∈R，使得h（x）≥M
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）
13．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 ．
14．（5分）计算：0.25lg2+lg5＝ ．
15．（5分）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则 ．
16．（5分）已知函数f（x）恰有3个零点，则m的取值范围是 ．
四、简答题（本大题共6小题，，共70分。）
17．（10分）设全集U＝R，集合A，B＝{x|y＝lg（x﹣5）}．
（1）求A∩∁UB；
（2）设a为实数，集合C＝{x|x＞a}．若“x∈B”是“x∈C”的充分条件，求a的取值范围．
18．（12分）计算
（1）已知tanα＝3．求的值．
（2）已知，且，，求角β的值；
19．（12分）已知定义在R上的函数．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在R上单调递增；
（3）求不等式f（2﹣x2）+f（3x﹣4）＜0的解集．
20．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）求时，函数y＝f（x）的值域．
21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足60台时，p（x）＝x2+20x（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）＝101x2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．
（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
22．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
2022-2023学年河南省郑州市基石中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）设集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B＝{x|﹣4≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣4，﹣2）∪（1，3]B．（﹣2，3）
C．RD．∅
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣2或x＞1}，B＝{x|﹣4≤x≤3}，
∴A∩B＝[﹣4，﹣2）∪（1，3]．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是（ ）
A．∃x∈（0，+∞），B．∃x∈（0，+∞），
C．∀x∈（0，+∞），D．∀x∈（0，+∞），
【分析】命题的否定是：否定限定量词和结论
【解答】解：命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是：否定限定量词和结论，
故为：∀x∈（0，+∞），，
故选：C．
【点评】考查命题的否定，基础题．
3．（5分）三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据对数函数、正弦函数和指数函数的单调性即可得出这三个数的大小关系．
【解答】解：∵lgπ0.3＜lgπ1＝0，3π＞30＝1，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y＝3|x|﹣x4的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除D，由f（0）的值，排除A，由f（2）的值，排除B，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝3|x|﹣x4，
其定义域为R，有f（﹣x）＝3|x|﹣x4＝f（x），
则f（x）为偶函数，排除D，
又由f（0）＝1﹣0＝1，排除A，
而f（2）＝32﹣24＝9﹣16＜0，f（x）在x轴下方有图象，排除B，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．
5．（5分）已知角α的终边经过点P（m，﹣6），且csα，则m＝（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（m，﹣6），且csα，
∴，解得m＝﹣8．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
6．（5分）在下列区间中，方程2x+x＝0的解所在的区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
【分析】根据函数零点存在定理求解．
【解答】解：设f（x）＝2x+x，且f（﹣1）＝2﹣1﹣1＜0，f（0）＝20+0＞0，且f（x）为增函数，
根据函数零点存在定理知，方程2x+x＝0在区间（﹣1，0）内有唯一的解．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．2
【分析】由x+y＝1得x+（1+y）＝2，再将代数式x+（1+y）与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
【解答】解：∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
则2，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
8．（5分）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出给定函数的定义域，再结合指数型复合函数单调性求解作答．
【解答】解：依题意，﹣x2+x+1≥0，解得，即f（x）定义域为，
令，则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在R上单调递减，因此，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列各式中值为1的是（ ）
A．
B．sin72°cs18°+cs72°sin18°
C．
D．
【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．
【解答】解：对于A选项：∵，∴选项A错误；
对于B选项：∵sin72°cs18°+cs72°sin18°＝sin（72°+18°）＝sin90°＝1，∴选项B正确；
对于C选项：∵，∴选项C正确；
对于D选项：∵，∴选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角函数求值问题，三角函数公式的应用，属基础题．
（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若abc≠0，则a2+b2+c2≠0
D．若a2+b2+c2≠0，则abc≠0
【分析】利用赋值法和不等式的性质，判断A、B、C、D的结论即可．
【解答】解：对于A：当c＝0时，选项A错误；
对于B：若ac2＞bc2，则c≠0，所以a＞b，故B正确；
对于C：若abc≠0，则a，b，c均不为0，所以a2+b2+c2≠0，故C正确；
对于D：若a2+b2+c2≠0，则a，b，c均不为0，所以abc≠0，故D正确；
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．已知3a＝4b＝12，则
C．已知x，y∈R+，且，则x+y的最小值为8
D．已知幂函数f（x）＝kxa的图象过点（2，4），则k+a＝3
【分析】根据终边在y轴上的角的集合为可判定选项A，根据指数式与对数式互化可求出a、b，从而可判定选项B，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C，利用幂函数的定义可判定选项D．
【解答】解：终边在y轴上的角的集合为，故选项A不正确；
因为3a＝4b＝12，所以a＝lg312，b＝lg412，则，故选项B正确；
因为x+y＝（x+y）（）＝5，所以x+y的最小值为9，故选项C不正确；
因为幂函数f（x）＝kxa的图象过点（2，4），所以k＝1，2a＝4，即a＝2，所以k+a＝3，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，以及基本不等式的应用和幂函数的定义，同时考查了学生分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数h（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，h（﹣x）＝h（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有；
③h（﹣3）＝0．
则下列选项成立的是（ ）
A．h（5）＞h（﹣6）
B．若，则x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（4，+∞）
C．若h（2a﹣1）＜h（2），则
D．∀x∈R，∃M∈R，使得h（x）≥M
【分析】直接利用函数的性质，单调性和奇偶性的应用，不等式的解法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于函数定义在R上函数h（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：
对于①，∀x∈R，h（﹣x）＝h（x），故函数h（x）为偶函数；
对于②，∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有，故函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减；
对于③，h（﹣3）＝h（3）＝0．
对于A：函数h（5）＜h（﹣6）＝h（6），故A错误；
对于B：对于，所以x•h（x﹣1）＞0，故或，故x∈（﹣2，0）∪（4，+∞），故B错误；
对于C：若h（2a﹣1）＜h（2），则|2a﹣1|＜2，整理得，故C正确；
对于D：函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减，所以函数有最小值；
对∀x∈R，∃M∈R，使得h（x）≥M，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，单调性和奇偶性的应用，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）
13．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形圆心角的弧度数是 ．
【分析】设这个扇形圆心角的弧度数为α，半径为r．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：设这个扇形圆心角的弧度数为α，半径为r．
∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5，
∴5＝αr，5，
解得α．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
14．（5分）计算：0.25lg2+lg5＝ 5 ．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：0.25lg2+lg5＝0.25×16+lg10＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
15．（5分）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则 2 ．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得lga+lgb＝2，lga•lgb，再由 （lga﹣lgb）2＝（lga+lgb）2﹣4 lga•lgb，运算求得结果．
【解答】解：∵lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，∴lga+lgb＝2，lga•lgb，
∴（lga﹣lgb）2＝（lga+lgb）2﹣4lga•lgb＝4﹣42，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）恰有3个零点，则m的取值范围是 ．
【分析】先求出函数f（x）在区间（0，10]上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案．
【解答】解：令|2x﹣1|＝0，得；
令，得 或，
即或，
又x∈（0，10]，所以或或或，
因为恰有3个零点，
所以，当时，f（x）有3个零点；
当时，f（x）有3个零点；
所以m的取值范围是，
故答案为．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
四、简答题（本大题共6小题，，共70分。）
17．（10分）设全集U＝R，集合A，B＝{x|y＝lg（x﹣5）}．
（1）求A∩∁UB；
（2）设a为实数，集合C＝{x|x＞a}．若“x∈B”是“x∈C”的充分条件，求a的取值范围．
【分析】（1）求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出A∩∁UB；
（2）由“x∈B”是“x∈C”的充分条件，得B⊆C，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）全集U＝R，集合A{x|﹣2≤x＜6}，
B＝{x|y＝lg（x﹣5）}＝{x|x＞5}，
∁UB＝{x|x≤5}，
∴A∩∁UB＝{x|﹣2≤x≤5}；
（2）设a为实数，集合C＝{x|x＞a}，
∵“x∈B”是“x∈C”的充分条件，∴B⊆C，
∴a≤5，
∴a的取值范围是（﹣∞，5]．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）计算
（1）已知tanα＝3．求的值．
（2）已知，且，，求角β的值；
【分析】（1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于tanα的式子，代入求值即可；
（2）利用同角三角函数关系及角的范围得到sin（α﹣β）和sinα，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角β的值．
【解答】解：（1）因为tanα＝3，
所以


＝4；
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
故csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]
＝csαcs（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）

，
因为，
所以．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．（12分）已知定义在R上的函数．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在R上单调递增；
（3）求不等式f（2﹣x2）+f（3x﹣4）＜0的解集．
【分析】（1）利用奇函数的定义即可证明；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）利用奇偶性与单调性将不等式进行转化求解即可．
【解答】（1）证明：函数定义域为R，关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣xxf（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）+（），
因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增．
（3）解：不等式f（2﹣x2）+f（3x﹣4）＜0可化为f（2﹣x2）＜﹣f（3x﹣4）＝f（4﹣3x），
因为f（x）在R上单调递增，
所以不等式可化为2﹣x2＜4﹣3x，即x2﹣3x+2＞0，
解得x＜1或x＞2，
即不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的证明，考查利用函数的性质解不等式，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
20．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）求时，函数y＝f（x）的值域．
【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）结合正弦函数的最值性质可求、
【解答】解：．
（1）令，
得，
所以函数y＝f（x）的单调递增区间为．
（2）得，
所以sin（2x）≤1，
则f（x）
从而函数y＝f（x）的值域为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用还考查了正弦函数的性质的应用．
21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足60台时，p（x）＝x2+20x（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）＝101x2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．
（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
【分析】（1）分段求出月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数解析式，再写成分段函数的形式即可．
（2）当0＜x＜60时y＝﹣x2+80x﹣400，利用二次函数的性质求出y的最大值，当x≥60时y＝1660﹣（x），利用基本不等式求出y的最大值，再取两者中的较大的值即可y的最大值．
【解答】解（1）当0＜x＜60时，y＝100x﹣（x2+20x）﹣400＝﹣x2+80x﹣400，
当x≥60时，y＝100x﹣（101x2060）﹣400＝1660﹣（x），
∴y．
（2）①当0＜x＜60时，y＝﹣x2+80x﹣400＝﹣（x﹣40）2+1200，
所以当x＝40时，y取最大值1200万元，
②当x≥60时，y＝1660﹣（x） 1500，
当且仅当x即x＝80时取等号，
又1200＜1500，
所以当x＝80时，y取得最大值1500，
故当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的图象和性质的应用求出函数的关系式；
（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）根据图象的性质，
所以A＝2；
，
整理得：T＝π，
故ω＝2；
当x时，f（）＝2sin（φ）＝0，
当x时，
由于|φ|＜π，
所以φ或；
故函数f（x）＝2sin（2x）或f（x）＝2sin（2x）；
当x时，f（x）＝2sin（2x）取不到最大值而是取得最小值，故舍去；
故f（x）＝2sin（2x）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝2sin（2x）的图象，y再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到g（x）＝2sin（）的图象，
令（k∈Z）；
整理得：（k∈Z）；
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的确定，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
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