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2022-2023学年广东省深圳外国语学校致远高中高一(上)期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校致远高中高一(上)期末数学试卷,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(5分)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|x>2},则(∁UM)∩N=( )
A.{x|x>2}B.{x|x≥1}C.{x|1<x<2}D.{x|x≥2}
2.(5分)命题p:∃x∈R,x+2≤0,则命题p的否定是( )
A.∃x∈R,x+2>0B.∀x∈R,x+2≤0
C.∀x∈R,x+2>0D.∃x∈R,x+2≥0
3.(5分)已知x∈R,则“x<1”是“”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
4.(5分)现有下列函数:①y=x3;②;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x﹣1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1),其中幂函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
5.(5分)函数f(x)=3x+x3的零点所在区间为( )
A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
6.(5分)1000°是以下哪个象限的角( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7.(5分)若角α的终边上一点的坐标为(1,﹣1),则csα=( )
A.﹣1B.C.D.1
8.(5分)已知在R上是减函数,那么a的取值范围是( )
A.B.C.(0,1)D.
二、多选题
(多选)9.(5分)如果a<b<0,c<d<0,那么下面一定成立的是( )
A.a+d<b+cB.ac>bdC.ac2>bc2D.
(多选)10.(5分)某同学求函数f(x)=lnx+2x﹣6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程lnx+2x﹣6=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.52B.2.56C.2.66D.2.75
(多选)11.(5分)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
A.sin(3π﹣x)=sinxB.
C.D.
(多选)12.(5分)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(﹣1,1)
C.函数f(x)的图象关于y轴对称
D.函数f(x)在R上为增函数
三、填空题
13.(5分)已知某扇形的半径为3,面积为,那么扇形的弧长为
14.(5分)若x>﹣1,则的最小值是 .
15.(5分)函数y=ln[(4﹣x)(2+x)]的单调减区间是 .
16.(5分)函数f(x)为奇函数,且对任意互不相等的x1,x2∈(0,+∞),都有成立,且f(﹣2)=0,则f(x)<0的解集为 .
四、解答题
17.(10分)计算.
(1);
(2)lg327﹣lg0.01﹣ln1.
18.(12分)已知tanα=2.
(1)求的值;
(2)求2sin2α+sinαcsα的值.
19.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求不等式f(1﹣2x)<f(x+3)的解集.
20.(12分)近年来,中美贸易摩擦不断,美国对我国华为百般刁难,并拉拢欧美一些国家抵制华为5G,然而这并没有让华为却步.今年,我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2020年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x千部手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x),由市场调研知,每部手机的售价为0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额﹣成本).
(2)2020年产量为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少.
21.(12分)已知函数的最大值为1.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若,求函数f(x)的值域.
22.(12分)已知函数f(x)=ex+(1+a)e﹣x.
(1)若f(x)是偶函数,求a的值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥a+1恒成立,求a的取值范围.
2022-2023学年广东省深圳外国语学校致远高中高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1.(5分)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|x>2},则(∁UM)∩N=( )
A.{x|x>2}B.{x|x≥1}C.{x|1<x<2}D.{x|x≥2}
【分析】进行补集和交集的运算即可.
【解答】解:U=R,M={x|x<1},N={x|x>2},
∴∁UM={x|x≥1},
∴(∁UM)∩N={x|x>2}.
故选:A.
【点评】本题考查了描述法的定义,补集和交集的运算,全集的定义,考查了计算能力,属于基础题.
2.(5分)命题p:∃x∈R,x+2≤0,则命题p的否定是( )
A.∃x∈R,x+2>0B.∀x∈R,x+2≤0
C.∀x∈R,x+2>0D.∃x∈R,x+2≥0
【分析】利用含有量词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,求解即可.
【解答】解:由含有量词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,
命题p:∃x∈R,x+2≤0,则命题p的否定是:∀x∈R,x+2>0.
故选:C.
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定,要掌握其否定方法:先改变量词,然后再否定结论,属于基础题.
3.(5分)已知x∈R,则“x<1”是“”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【解答】解:由,可得0<x<1,
∵{x|0<x<1}⫋{x|x<1},
∴“x<1”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.
4.(5分)现有下列函数:①y=x3;②;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x﹣1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1),其中幂函数的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】由题意,利用幂函数的定义,得出结论.
【解答】解:∵形如y=xα(α为常数)的函数叫做幂函数,
∴①y=x3、⑥y=x是幂函数,故①⑥满足条件;
而②、⑦y=ax(a>1)是指数函数,故②⑦不满足条件;
显然,③y=4x2、④y=x5+1;⑤y=(x﹣1)2不是幂函数,故③④⑤不满足条件;
故其中幂函数的个数为2,
故选:B.
【点评】本题主要考查幂函数的定义,属于基础题.
5.(5分)函数f(x)=3x+x3的零点所在区间为( )
A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
【分析】由已知函数解析式可知原函数的单调性,再结合f(﹣1)<0,f(0)>0得答案.
【解答】解:函数f(x)=3x+x3是定义域(﹣∞,+∞)上的增函数,
又f(﹣1)0,f(0)=1>0,
∴函数f(x)=3x+x3的零点所在区间为(﹣1,0).
故选:A.
【点评】本题考查函数零点判定定理的应用,是基础题.
6.(5分)1000°是以下哪个象限的角( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】利用与1000°终边相同的角的集合的结论,即可求得结论.
【解答】解:由于1000°=2×360°+280°,
故1000°与280°终边相同,且280°角的终边在第四象限,
故1000°是第四象限的角.
故选:D.
【点评】本题考查终边相同的角,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
7.(5分)若角α的终边上一点的坐标为(1,﹣1),则csα=( )
A.﹣1B.C.D.1
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.
【解答】解:因为角α的终边上一点的坐标为(1,﹣1),
所以csα.
故选:C.
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义,属于基础题.
8.(5分)已知在R上是减函数,那么a的取值范围是( )
A.B.C.(0,1)D.
【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于a的不等式组,求出其解后可得正确的选项.
【解答】解:因为f(x)为R上的减函数,所以,
解得,
即a的取值范围是[,).
故选:A.
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性,属于基础题.
二、多选题
(多选)9.(5分)如果a<b<0,c<d<0,那么下面一定成立的是( )
A.a+d<b+cB.ac>bdC.ac2>bc2D.
【分析】由不等式的性质依次对四个选项判断即可.
【解答】解:当a=﹣2,b=﹣1,c=﹣5,d=﹣1时,
a+d>b+c,故选项A错误;
∵a<b<0,c<d<0,
∴﹣a>﹣b>0,﹣c>﹣d>0,
∴ac>bd,故选项B正确;
∵a<b,c2>0,
∴ac2<bc2,故选项C错误;
∵﹣a>0,﹣c>﹣d>0,
∴0,故选项D正确;
故选:BD.
【点评】本题考查了不等式性质的应用,属于基础题.
(多选)10.(5分)某同学求函数f(x)=lnx+2x﹣6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程lnx+2x﹣6=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.52B.2.56C.2.66D.2.75
【分析】方程lnx+2x﹣6=0的近似解⇔函数f(x)=lnx+2x﹣6的零点,再结合图表可解决此题.
【解答】解:方程lnx+2x﹣6=0的近似解⇔函数f(x)=lnx+2x﹣6的零点,
由表可知f(2.5)≈﹣0.084<0,f(2.5625)≈0.066>0,
∴根据零点存在定理可知函数f(x)零点及方程lnx+2x﹣6=0的近似解所在区间为(2.5,2.5625),
故选:AB.
【点评】本题考查函数零点、二分法,考查数据分析能力,属于基础题.
(多选)11.(5分)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
A.sin(3π﹣x)=sinxB.
C.D.
【分析】由题意利用诱导公式,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
【解答】解:由于sin(3π﹣x)=sin(π﹣x)=sinx,故A正确;
由于sin()=sin()=cs,故B正确;
由于cs(3x)=cs(3x)=﹣sin3x,故C错误;
由于cs(2x)=sin2x,故D错误,
故选:AB.
【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题.
(多选)12.(5分)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(﹣1,1)
C.函数f(x)的图象关于y轴对称
D.函数f(x)在R上为增函数
【分析】根据分式函数的性质分别进行判断即可.
【解答】解:∵2x+1>0恒成立,∴f(x)的定义域为R,故A正确,
1,
∵2x+1>1,∴01,则02,﹣20,﹣1<11,即﹣1<f(x)<1,即f(x)的值域为(﹣1,1),故B正确,
f(﹣x)f(x),即f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故C错误,
∵y=2x+1是增函数,∴y是减函数,则y是增函数,则y=1是增函数,则f(x)在R上是增函数,故D正确,
故选:ABD.
【点评】本题主要考查分式函数的性质,利用分子常数法分别进行判断是解决本题的关键,是中档题.
三、填空题
13.(5分)已知某扇形的半径为3,面积为,那么扇形的弧长为 π
【分析】根据扇形的面积公式直接进行求解即可.
【解答】解:设扇形的弧长为l,
则S3×l,
得l=π,
故答案为:π
【点评】本题主要考查扇形面积公式的应用,结合扇形的面积公式是解决本题的关键.比较基础.
14.(5分)若x>﹣1,则的最小值是 .
【分析】利用基本不等式,即可得解.
【解答】解:因为x>﹣1,所以x+1>0,
所以x+11≥21=21,当且仅当x+1,即x1时,等号成立,
所以的最小值是21.
故答案为:21.
【点评】本题考查基本不等式的应用,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
15.(5分)函数y=ln[(4﹣x)(2+x)]的单调减区间是 [1,4) .
【分析】求出定义域,再结合复合函数的单调性判断即可.
【解答】解:∵y=ln[(4﹣x)(2+x)],
∴(4﹣x)(2+x)>0,解得﹣2<x<4,
∴y=ln[(4﹣x)(2+x)]的定义域为(﹣2,4),
设t=(4﹣x)(2+x),
则t的图象是开口向下且以x=1为对称轴的抛物线,
所以t在(﹣2,1)上单调递增,在[1,4)上单调递减,
由复合函数的单调可知y=ln[(4﹣x)(2+x)]的单调递减区间为:[1,4).
故答案为:[1,4).
【点评】本题考查了复合函数的单调性,易错点在于确定函数的定义域,属于基础题.
16.(5分)函数f(x)为奇函数,且对任意互不相等的x1,x2∈(0,+∞),都有成立,且f(﹣2)=0,则f(x)<0的解集为 (﹣2,0)∪(2,+∞) .
【分析】利用函数单调性的定义判断函数f(x)的单调性,结合奇函数的定义,利用单调性求解即可.
【解答】解:因为对任意互不相等的x1,x2∈(0,+∞),都有成立,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(x)为奇函数,
所以f(x)在(﹣∞,0)上为单调递减函数,且f(2)=﹣f(﹣2)=0,
则不等式f(x)<0的解集为(﹣2,0)∪(2,+∞).
故答案为:(﹣2,0)∪(2,+∞).
【点评】本题考查了函数性质的综合应用,函数与不等式的应用,主要考查了函数奇偶性以及单调性的运用,考查了逻辑推理能力与转化化归能力,属于中档题.
四、解答题
17.(10分)计算.
(1);
(2)lg327﹣lg0.01﹣ln1.
【分析】(1)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值;
(2)由对数的运算性质化简求值.
【解答】解:(1)
;
(2)lg327﹣lg0.01﹣ln1
=3﹣(﹣2)
=5.
【点评】本题考查有理指数幂与对数的运算性质,考查运算求解能力,是基础题.
18.(12分)已知tanα=2.
(1)求的值;
(2)求2sin2α+sinαcsα的值.
【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
(2)利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【解答】解:(1).
(2)2sin2α+sinαcsα.
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式,属于基础题.
19.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求不等式f(1﹣2x)<f(x+3)的解集.
【分析】(1)利用偶函数的定义,求出x<0时,f(x)的解析式,可得答案.
(2)求出函数f(x)在x≥0时的单调性,然后借助偶函数性质列出不等式,解之即可得到本题的答案.
【解答】解:(1)当x<0时,有﹣x>0,而f(x)是偶函数,则f(x)=f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)﹣3=x2﹣2x﹣3,
所以函数f(x)的解析式是;
(2)依题意,函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)是偶函数,
不等式f(1﹣2x)<f(x+3),即f(|1﹣2x|)<f(|x+3|),可得0≤|1﹣2x|<|x+3|,
所以(1﹣2x)2<(x+3)2,整理得(3x+2)(x﹣4)<0,解得,
所以不等式f(1﹣2x)<f(x+3)的解集为.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、不等式的解法等知识,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于基础题.
20.(12分)近年来,中美贸易摩擦不断,美国对我国华为百般刁难,并拉拢欧美一些国家抵制华为5G,然而这并没有让华为却步.今年,我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2020年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x千部手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x),由市场调研知,每部手机的售价为0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额﹣成本).
(2)2020年产量为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少.
【分析】(1)讨论x的范围,得出W(x)的解析式;
(2)运用二次函数的最值求法和基本不等式,分别求出W(x)在(0,40)和(40,+∞)上的最大值即可得出结论.
【解答】解:(1)当0<x<40时,W(x)=700x﹣(10x2+100x)﹣250=﹣10x2+600x﹣250;
当x≥40时,W(x)=700x﹣(701x9450)﹣250=﹣(x)+9200.
所以W(x);
(2)若0<x<40,W(x)=﹣10(x﹣30)2+8750
当x=30时,W(x)max=8750万元;
当x≥40时,W(x)=﹣(x)+9200≤﹣29200=9000,
当且仅当x时,即x=100时,W(x)max=9000万元.
所以2020年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是9000万元.
【点评】本题考查函数解析式的求解,以及分段函数最值的计算,考查运算能力和推理能力,属于中档题.
21.(12分)已知函数的最大值为1.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若,求函数f(x)的值域.
【分析】(1)由函数的最大值为1,可得a=﹣1,令,k∈Z,然后求解;
(2)因为,则,然后求解.
【解答】解:(1)已知函数的最大值为1,
则2+a=1,
即a=﹣1,
则,
令,k∈Z,
则,k∈Z,
即函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z;
(2)因为,
则,
则,
即函数f(x)的值域为[0,1].
【点评】本题考查了三角函数的性质,重点考查了三角函数值域的求法,属中档题.
22.(12分)已知函数f(x)=ex+(1+a)e﹣x.
(1)若f(x)是偶函数,求a的值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥a+1恒成立,求a的取值范围.
【分析】(1)根据偶函数的定义列出f(﹣x)=f(x)求出a的值;
(2)问题等价于ex+e﹣x﹣1≥a(1﹣e﹣x)恒成立,利用换元法设t=e﹣x,t∈(0,1),问题转化为a1恒成立,利用基本不等式即可求a的取值范围.
【解答】解:(1)因为函数f(x)=ex+(1+a)e﹣x,且f(x)是偶函数,
所以f(﹣x)=f(x),即e﹣x+(1+a)ex=ex+(1+a)e﹣x,
化简得a(ex﹣e﹣x)=0,所以a=0;
(2)对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥a+1恒成立,
等价于ex+(1+a)e﹣x≥a+1恒成立,
即ex+e﹣x﹣1≥a(1﹣e﹣x)恒成立,
因为x∈(0,+∞),所以e﹣x∈(0,1),
设t=e﹣x,t∈(0,1),则不等式化为t﹣1≥a(1﹣t),即a1恒成立,
设g(t),t∈(0,1),
因为t(1﹣t),当且仅当t=1﹣t,即t时取“=”;
所以g(t)在t∈(0,1)时的最小值为4,
所以a的取值范围是(﹣∞,3].
【点评】本题考查了函数的奇偶性应用问题,也考查了不等式恒成立应用问题,是中档题.
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f(3)≈1.099
f(2.5)≈﹣0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.5625)≈0.066
f(2)≈﹣1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈﹣0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.5625)≈0.066