2022-2023学年河北省秦皇岛一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛一中高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）与﹣20°角终边相同的角是（ ）
A．﹣300°B．﹣280°C．320°D．340°
2．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2c＞b2cB．C．D．ab
3．（5分）已知集合A＝{x|lg2x≤2}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩B＝（ ）
A．[1，4]B．（1，4]C．[1，2]D．（1，2]
4．（5分）设，则（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
5．（5分）函数f（x）的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
①f（1）＝﹣2；②f（1.5）＝0.625；③f（1.25）＝﹣0.984；④f（1.375）＝﹣0.260；⑤f（1.438）＝0.165；⑥f（1.4065）＝﹣0.052．
那么方程f（x）＝0的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
6．（5分）某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t单位：小时）近似满足函数关系，其中N0为初始细菌含量．当时间t＝12（单位：小时），该细菌数量为（单位），则Y（72）＝（ ）
A．12e﹣3B．24e﹣3C．36e﹣3D．38e﹣3
7．（5分）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）设函数f（x）＝cs（ωx）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，选不全得2分，错选和多选不得分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．集合A{1，2}和集合B＝{（1，2）}表示同一个集合
B．函数f（x）＝lg（3+2x﹣x2）的增区间是（﹣1，1]
C．若lg23＝a，lg27＝b，用a，b表示lg4256
D．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x21，则当x＜0时，f（x）＝﹣x21
（多选）10．（5分）已知函数f（x），，则（ ）
A．函数f（x）为偶函数
B．函数g（x）为奇函数
C．函数F（x）＝f（x）+g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值之和为0
D．设F（x）＝f（x）+g（x），则F（2a）+F（﹣1﹣a）＜0的解集为（1，+∞）
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|，实数a，b满足f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）
A．2a+2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a+b＜1
C．2a+2b＝2D．a+b＜0
（多选）12．（5分）已知函数，则（ ）
A．函数y＝|f（x）|的最小正周期为π
B．直线是y＝f（x）图象的一条对称轴
C．是y＝f（x）图象的一个对称中心
D．若ω＞0时，f（ωx）在区间上单调，则ω的取值范围是或
三、填空题（每空5分，共20分）
13．（5分）cstan225°+sin ．
14．（5分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣1）＝0，则使得f（x）＜0的x取值范围是 ．
15．（5分）已知，则 ．
16．（5分）已知函数，若存在三个不同的实数a、b、c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为 ．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）（1）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），求2sinα+csα的值；
（2）已知tanα＝2，求5sinα•csα的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝2sin（2x）+1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[，]上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
19．（12分）函数f（x）＝x2﹣2ax在[﹣1，1]上的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）求关于x的不等式g（x）＞﹣3的解集．
20．（12分）经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需投入流动成本W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）x2+x．在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x38．每件产品售价为5元．通过市场分析，某厂家生产的该商品当年能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润＝年销售收入﹣年固定成本﹣流动成本）
（2）年产量为多少万件时，该厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）已知f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b•2x（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在（0，2]上的解析式；
（2）若对任意的x∈（0，2]，总有f（x）≥m2﹣2m﹣3，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2（x+1），g（x）＝x|x﹣a|．
（Ⅰ）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；
（Ⅱ）对任意x1∈[1，+∞），总存在唯一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，求正实数a的取值范围．
2022-2023学年河北省秦皇岛一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题有8小题，每题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）
1．（5分）与﹣20°角终边相同的角是（ ）
A．﹣300°B．﹣280°C．320°D．340°
【分析】由终边相同的角的性质即可求解．
【解答】解：因为与﹣20°角终边相同的角是﹣20°+360°k，k∈Z，
当k＝1时，这个角为340°，
只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z．
故选：D．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2c＞b2cB．C．D．ab
【分析】利用作差法逐项判断可得答案．
【解答】解：因为a，b，c满足a＞b＞0＞c，所以a﹣b＞0，ab＞0，a+b＞0，
对于选项A，a2c﹣b2c＝c（a+b）（a﹣b）＜0，所以a2c＜b2c，故A错误；
对于选项B，，所以，故B错误；
对于选项C，，所以，故C错误；
对于选项D，，所以，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了的作差法比较大小，考查了不等式的性质，是基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x|lg2x≤2}，B＝{y|y＝3x+1}，则A∩B＝（ ）
A．[1，4]B．（1，4]C．[1，2]D．（1，2]
【分析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|lg2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，
B＝{y|y＝3x+1}＝{y|y＞1}，
则A∩B＝{x|1＜x≤4}．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）设，则（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【分析】根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．
【解答】解：，，
∵lg34＞1，∴，
即0＜a＜1，b＞1，c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．
5．（5分）函数f（x）的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
①f（1）＝﹣2；②f（1.5）＝0.625；③f（1.25）＝﹣0.984；④f（1.375）＝﹣0.260；⑤f（1.438）＝0.165；⑥f（1.4065）＝﹣0.052．
那么方程f（x）＝0的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【分析】由根的存在性定理得出f（x）在（1.4065，1.438）内有零点，再由题意求出符合条件的方程f（x）＝0的近似根．
【解答】解：∵f（1.438）＝0.165＞0，f（1.4065）＝﹣0.052＜0，
∴函数f（x）在（1.4065，1.438）内存在零点，
又1.438﹣1.406 5＜0.1，
结合选项知1.41为方程f（x）＝0的一个近似根．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了求方程近似根的应用问题，是基础题目．
6．（5分）某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t单位：小时）近似满足函数关系，其中N0为初始细菌含量．当时间t＝12（单位：小时），该细菌数量为（单位），则Y（72）＝（ ）
A．12e﹣3B．24e﹣3C．36e﹣3D．38e﹣3
【分析】利用已知数据代入求得参数N0＝24，再求Y（72）即可．
【解答】解：因为，t＝12时，该细菌数量为，
故有：，
所以N0＝24，故，
故选：B．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出函数f（x）在[1，+∞）上的取值集合，再根据给定的值域确定函数f（x）在（﹣∞，1）上的取值集合，列式求解作答．
【解答】解：当x≥1时，函数f（x）＝lg7x在[1，+∞）上单调递增，其取值集合为[0，+∞），而函数f（x）的值域为R，
因此函数f（x）在（﹣∞，1）上的取值集合包含（﹣∞，0），
当1﹣2a＝0时，函数f（x）＝（1﹣2a）x+5a在（﹣∞，1）上的值为常数，不符合要求，
当1﹣2a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，取值集合是（1+3a，+∞），不符合要求，
于是得1﹣2a＞0，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，取值集合是（﹣∞，1+3a），
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数性质的应用，还考查了函数值域的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
8．（5分）设函数f（x）＝cs（ωx）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据f（x）≤f（）恒成立，得到当x时，函数f（x）取得最大值，利用最值性质进行求解即可．
【解答】解：若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
则f（）是f（x）的最大值，
即ω2kπ，k∈Z，
即ω8k，k∈Z，
∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值为ω，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定当x时，函数f（x）取得最大值是解决本题的关键．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，选不全得2分，错选和多选不得分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．集合A{1，2}和集合B＝{（1，2）}表示同一个集合
B．函数f（x）＝lg（3+2x﹣x2）的增区间是（﹣1，1]
C．若lg23＝a，lg27＝b，用a，b表示lg4256
D．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x21，则当x＜0时，f（x）＝﹣x21
【分析】A．判断两个集合的元素关系进行判断，
B．根据复合函数单调性的关系进行判断，
C．根据对数的运算法则进行判断，
D．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：集合A{1，2}表示含有元素1和2的集合，集合B＝{（1，2）}表示只有一个元素（1，2）的点集，两个集合不是同一个集合，故A错误，
由3+2x﹣x2＞0得x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即定义域为（﹣1，3），对称轴x＝1，
则f（x）的单调递增区间为（﹣1，1]，故B正确，
若lg23＝a，lg27＝b，则lg4256，故C正确，
若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝x21＝﹣f（x），
则f（x）＝﹣x21，故D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及集合的概念，复合函数的单调性以及函数奇偶性的应用，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大．
（多选）10．（5分）已知函数f（x），，则（ ）
A．函数f（x）为偶函数
B．函数g（x）为奇函数
C．函数F（x）＝f（x）+g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值之和为0
D．设F（x）＝f（x）+g（x），则F（2a）+F（﹣1﹣a）＜0的解集为（1，+∞）
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x），其定义域为R，有f（﹣x）f（x），则f（x）为奇函数，A错误；
对于B，g（x）＝lg（x），其定义域为R，有g（﹣x）＝lg（x）＝﹣lg（x）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数，B正确；
对于C，函数F（x）＝f（x）+g（x），f（x）、g（x）都是奇函数，则F（x）也是奇函数，F（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值互为相反数，
必有F（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值之和为0，C正确；
对于D，f（x）（）1，则f（x）在R上为减函数，g（x）＝lg（x）＝lg（），则g（x）在R上也为减函数，
若F（2a）+F（﹣1﹣a）＜0，即F（2a）＜（1+a），必有2a＞1+a，解可得a＞1，即F（2a）+F（﹣1﹣a）＜0的解集为（1，+∞），D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，涉及函数最值的分析，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|，实数a，b满足f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）
A．2a+2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a+b＜1
C．2a+2b＝2D．a+b＜0
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误．
【解答】解：画出函数f（x）＝|2x﹣1|的图象，如图所示，
由图知1﹣2a＝2b﹣1，则2a+2b＝2，故A错，C对，
由基本不等式可得，所以2a+b＜1，则a+b＜0，故B错，D对．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数，则（ ）
A．函数y＝|f（x）|的最小正周期为π
B．直线是y＝f（x）图象的一条对称轴
C．是y＝f（x）图象的一个对称中心
D．若ω＞0时，f（ωx）在区间上单调，则ω的取值范围是或
【分析】根据函数y＝|f（x）|的周期是函数周期的一半，可判断A选项；
对于B，将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称轴即可；
对于C，将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称中心即可；
对于D选项，ω＞0时，在区间上单调，可得或，最后求得ω的取值范围即可．
【解答】解：因为函数的最小正周期为，
而函数y＝|f（x）|周期为，故A错误；
当时，，
所以直线是y＝f（x）图象的一条对称轴，故B正确；
当时，，
所以是y＝f（x）图象的一个对称中心，故C正确；ω＞0时，在区间上单调，
即，
所以或，
解得或，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（每空5分，共20分）
13．（5分）cstan225°+sin 0 ．
【分析】先利用诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值，即可得解．
【解答】解：原式＝cs（π）+tan（180°+45°）+sin（3π）＝﹣cstan45°﹣sin10．
故答案为：0．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣1）＝0，则使得f（x）＜0的x取值范围是 （﹣1，0）∪（1，+∞） ．
【分析】由题意可得，函数在（0，+∞）上也为减函数，且f（1）＝0，f（0）＝0，由此可得f（x）＜0的解集．
【解答】解：由题意可得，函数在（0，+∞）上为减函数，且f（1）＝0，f（0）＝0．
故由f（x）＜0可得﹣1＜x＜0，或x＞1，
即使得f（x）＜0的x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题．
15．（5分）已知，则 ．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．
16．（5分）已知函数，若存在三个不同的实数a、b、c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为 （2π，2023π） ．
【分析】解：作出函数图象，再数形结合，根据函数的对称性，结合对数函数的值求解即可．
【解答】解：由，作出f（x）的函数图象如图所示：
∵存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），
不妨设a＜b＜c，则，，令得x＝2022π，∴π＜c＜2022π，
∵f（x）在[0，π]上的图象关于直线对称，∴a+b＝π，∴a+b+c∈（2π，2023π）．
故答案为：（2π，2023π）．
【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）（1）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），求2sinα+csα的值；
（2）已知tanα＝2，求5sinα•csα的值．
【分析】（1）由任意角三角函数的定义运算求解；
（2）由sin2α+cs2α＝1，将分式的分子分母同时除以cs2α进行化简计算，可得5sinα•csα的值．
【解答】解：（1）由已知，sinα，csα，
则2sinα+csα；
（2）∵tanα＝2，
∴5sinα•csα2．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，考查同角三角函数的关系，考查学生计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝2sin（2x）+1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[，]上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
【分析】（1）直接利用整体思想求出函数的单调递增区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，并求出函数的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x）+1．
令，（k∈Z），
整理得，（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]，（k∈Z）．
（2）由于x∈[，]，
所以，
当x时，函数取得最小值为0，当x时，函数取得最大值为3．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
19．（12分）函数f（x）＝x2﹣2ax在[﹣1，1]上的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）求关于x的不等式g（x）＞﹣3的解集．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质分情况讨论f（x）的最小值，综合可得答案；
（2）根据题意，原不等式等价于或或，解可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，数f（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，其对称轴为x＝a，
当a≤﹣1时，f（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，则g（a）＝f（﹣1）＝1+2a，
当﹣1＜a＜1时，g（a）＝f（a）＝﹣a2，
当a≥1时，f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，则g（a）＝f（1）＝1﹣2a，
故g（a）；
（2）根据题意，若g（x）＞﹣3，则有或或，
解可得：﹣2≤x≤﹣1或﹣1＜x＜1或1≤x≤2，
综合可得：﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]．
【点评】本题考查二次函数的最值，涉及分段函数的性质，属于基础题．
20．（12分）经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需投入流动成本W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）x2+x．在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x38．每件产品售价为5元．通过市场分析，某厂家生产的该商品当年能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润＝年销售收入﹣年固定成本﹣流动成本）
（2）年产量为多少万件时，该厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意分0＜x＜8和x≥8求出利润，得利润的分段函数；
（2）分别利用二次函数及均值不等式求最值，比较大小可得函数的最大值．
【解答】解：（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（x2+x）﹣3x2+4x﹣3，
当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x38）﹣3＝35﹣（x），
∴L（x）；
（2）当0＜x＜8时，L（x）（x﹣6）2+9，
故当x＝6时，L（x）取得最大值9；
当x≥8时，L（x）＝35﹣（x）≤35﹣215，
当且仅当x＝10时，等号成立，L（x）取得最大值15，
故年产量为10万件时，该厂家在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b•2x（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在（0，2]上的解析式；
（2）若对任意的x∈（0，2]，总有f（x）≥m2﹣2m﹣3，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得f（0）＝1﹣b＝0，解可得b的值，再设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，结合函数奇偶性分析可得[﹣2，0]上函数的解析式；
（2）根据题意，由（1）的结论可得[﹣2，0]上函数的解析式，用换元法分析可得f（x）在[﹣2，0]上的值域，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，则有f（0）＝0，
又由当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b•2x，则f（0）＝1﹣b＝0，
解可得：b＝1，
则当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣2x，
设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，
则f（﹣x）＝4﹣x﹣2﹣x，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝2﹣x﹣4﹣x，
即f（x）在（0，2]上的解析式为f（x）＝2﹣x﹣4﹣x．
（2）由（1）的结论，x∈（0，2]时，f（x）＝2﹣x﹣4﹣x（）2，
设t，则t＜1，则y＝t﹣t2＝﹣（t）20，
即f（x）＞0在（0，2]上恒成立，
若f（x）≥m2﹣2m﹣3，必有m2﹣2m﹣3≤0，即m的取值范围为[﹣1，3]．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2（x+1），g（x）＝x|x﹣a|．
（Ⅰ）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；
（Ⅱ）对任意x1∈[1，+∞），总存在唯一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，求正实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用g（x）为奇函数，通过定义，转化求解a的值，判断g（x）的单调性；
（Ⅱ）x1∈[1，+∞），f（x）＝lg2（x+1），利用分段函数，通过①当a≤2时，②当2＜a＜4时，③当a≥4时，g（x2）在[2，+∞）上单调递增，求出a的范围；
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）为奇函数，∴g（x）+g（﹣x）＝x（|x﹣a|﹣|x+a|）＝0恒成立．
∴a＝0．此时g（x）＝x|x|，在R上单调递增．
（Ⅱ）x1∈[1，+∞），f（x）＝lg2（x+1），∴f（x1）∈[1，+∞），
．
①当a≤2时，g（x2）在[2，+∞）上单调递增，∴g（2）＝4﹣2a≤1，，
∴；
②当2＜a＜4时，g（x2）在[2，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
∴g（2）＝﹣4+2a＜1，，∴；
③当a≥4时，g（x2）在上单调递增，在上单调递减，
在[a，+∞）上单调递增．
∴，﹣2＜a＜2，不成立．
综上可知，．
【点评】本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．
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