2022-2023学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．[﹣1，0）C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，1）
2．（5分）命题“∃x＜1，使x2≥1”的否定是（ ）
A．“∃x＞1，使x2≥1”B．“∃x＜1，使x2≤1”
C．“∀x≥1，使x2＜1”D．“∀x＜1，使x2＜1”
3．（5分）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）＝x，g（x）
B．f（x）＝1，g（x）＝（x）0
C．f（x）＝sinx，g（x）＝cs（x）
D．f（x）＝csx，g（x）＝sin（x）
4．（5分）函数f（x）＝﹣x+2﹣2x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
5．（5分）函数f（x）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）设lg0.2a＝0.2，lg0.4b＝0.2，lg0.2c＝0.4，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
8．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f2（x）﹣（a+3）f（x）+3a恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．2a+2b≥4D．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．π为函数f（x）的最小正周期
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）的图象关于直线对称
（多选）11．（5分）下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A．f（x）＝ex﹣e﹣x
B．f（x）＝tanx
C．f（x）＝ln（2+x）﹣ln（2﹣x）
D．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣2x+t），则下列结论正确的是（ ）
A．当t＝2时，f（x）的值域为（0，+∞）
B．当t＝﹣3时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）
C．t取任意实数时，均有f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．若f（x）的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是[1，+∞）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）已知点P（27，3）在幂函数y＝f（x）的图象上，则 ．
14．（5分）若不等式ax2﹣3x﹣b＜0的解集为{x|﹣1＜x＜4}，则a+b＝ ．
15．（5分）已知角θ的终边经过点P（﹣2，﹣4），则tanθ＝ ， ．
16．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，且f（2）＝0，则的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）；
（2）．
18．（12分）非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤3a﹣7}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}．
（1）若a＝4，求（∁RA）∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的值域．
20．（12分）2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R（x）万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；
（2）当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+1﹣2sin2x．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的所有取值；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来2的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若存在，使得等式g（x）＝m成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝a（lg2x）2﹣2alg2x+b﹣1（a＞0）在区间[4，8]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）≤klg2x恒成立，求实数k的取值范围．
2022-2023学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．[﹣1，0）C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，1）
【分析】直接根据集合的交集运算即可得到答案．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|﹣2＜x＜1}，
则A∩B＝{﹣1，0}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x＜1，使x2≥1”的否定是（ ）
A．“∃x＞1，使x2≥1”B．“∃x＜1，使x2≤1”
C．“∀x≥1，使x2＜1”D．“∀x＜1，使x2＜1”
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案．
【解答】解：命题“∃x＜1，使x2≥1”的否定是“∀x＜1，使x2＜1”．
故选：D．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）＝x，g（x）
B．f（x）＝1，g（x）＝（x）0
C．f（x）＝sinx，g（x）＝cs（x）
D．f（x）＝csx，g（x）＝sin（x）
【分析】函数相等只需要定义域，对应法则和值域相同即可．
【解答】解：对于A，y＝x的定义域和值域都为R，y的值域为[0，+∞），值域不相同，故两函数不表示同一个函数；
对于B，y＝1的定义域为R，而y＝x0定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故两函数不表示同一个函数；
对于C，f（x）＝sinx，g（x）＝cs（x）＝﹣sinx，解析式不同，故两函数不表示同一个函数；
对于D，f（x）＝csx，g（x）＝sin（x）＝csx，定义域与值域都相同，故两函数表示同一个函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查两个函数是否为同一函数的判断，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）＝﹣x+2﹣2x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【分析】根据函数的零点存在定理，结合函数的单调性逐个选项判断即可得到答案．
【解答】解：易知f（x）＝﹣x+2﹣2x在R上单调递减，
又因为f（0）f（1）＝﹣1＜0，
∴函数f（x）的零点所在的一个区间是（0，1），
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点存在定理，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可．
【解答】解：对任意的x∈R，|x|+2≥2＞0，故函数的定义域为R，
又因为，所以f（x）为奇函数，故A、C错误；
当x＞0时，f（x）＞0，故B错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
6．（5分）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】确定，，，代入计算得到答案．
【解答】解：，
故，
又，，．
故选：C．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
7．（5分）设lg0.2a＝0.2，lg0.4b＝0.2，lg0.2c＝0.4，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【分析】根据对数函数的单调性可判断a＞c，利用指对互化以及幂函数的单调性可判断b＞a，进而可求解．
【解答】解：∵lg0.2a＝0.2＜lg0.2c＝0.4，
∴a＞c，
又a＝0.20.2，b＝0.40.2，
∵y＝x0.2为（0，+∞）的增函数，
∴b＞a，
∴c＜a＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f2（x）﹣（a+3）f（x）+3a恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．D．
【分析】画出大致图像，把问题转化为f2（x）﹣（a+3）f（x）+3a＝0有两个根，结合图像即可求解结论．
【解答】解：∵函数，
对应图像如图：
函数g（x）＝f2（x）﹣（a+3）f（x）+3a恰有2个零点，
即f2（x）﹣（a+3）f（x）+3a＝0有两个根，
可得f（x）＝3和f（x）＝a，
当f（x）＝3时，有两个根，
故当f（x）＝a时，方程无根，可得a＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．2a+2b≥4D．
【分析】根据基本不等式，结合选项即可逐一求解．
【解答】解：对于A，因为a+b＝1，所以，所以，当且仅当取等号，故A正确；
对于B，因为，当且仅当取等号，故B不正确；
对于C，因为，当且仅当取等号，故C不正确；
对于D，因为，当且仅当取等号，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．π为函数f（x）的最小正周期
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）在上单调递增
D．函数f（x）的图象关于直线对称
【分析】直接利用正弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于函数，故函数的最小正周期为，故A正确；
当x时，f（）＝sinπ＝0，故B正确；
当x，故，故函数在该区间上单调递增，故C正确；
当x时，f（），故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
（多选）11．（5分）下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A．f（x）＝ex﹣e﹣x
B．f（x）＝tanx
C．f（x）＝ln（2+x）﹣ln（2﹣x）
D．
【分析】利用奇函数定义、函数的单调性逐项判断可得答案．
【解答】解：对于A，因为f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
又f（x）单调递增函数，故A正确；
对于B，f（x）的定义域为，因为f（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，且单调递增区间为，所以f（x）＝tanx在整个定义域上不单调，故B错误；
对于C，f（x）的定义域为（﹣2，2），因为f（﹣x）＝ln（2﹣x）﹣ln（2+x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，因为y＝ln（2+x），y＝﹣ln（2﹣x）为增函数，所以f（x）为增函数，故C正确；
对于D，f（x）的定义域为{x|x≠0}，因为f（﹣x）＝﹣xf（x），
所以f（x）为奇函数，因为在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣2x+t），则下列结论正确的是（ ）
A．当t＝2时，f（x）的值域为（0，+∞）
B．当t＝﹣3时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）
C．t取任意实数时，均有f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．若f（x）的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是[1，+∞）
【分析】根据（x﹣1）2+1≥1，可求f（x）的值域，即可判断A，根据复合函数的单调性即可判断B，根据二次函数的对称性即可判断C，根据判别式小于0即可判断D．
【解答】解：对于A，当t＝2时，f（x）＝lg（x2﹣2x+2）＝lg[（x﹣1）2+1]≥lg1＝0，
故f（x）的值域为[0，+∞），故A错误；
对于B，当t＝﹣3时，f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）＝lg[（x+1）（x﹣3）]，
此时定义域为x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
令f（x）＝lgu，u＝x2﹣2x﹣3，x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
由于u＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，f（x）＝lgu为定义域内的增函数，
由复合函数单调性满足“同增异减”的判断方法得，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），故B正确；
对于C，真数y＝x2﹣2x+t关于x＝1对称，故C正确；
对于D，若f（x）的定义域为全体实数，则x2﹣2x+t＞0在R上恒成立，即Δ＝4﹣4t＜0，则t＞1，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查函数的值域与定义域，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．
13．（5分）已知点P（27，3）在幂函数y＝f（x）的图象上，则 ．
【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，根据幂的运算，可得答案．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），
∴27α＝33α＝3，
∴，
∴，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了幂函数解析式的应用，属于基础题．
14．（5分）若不等式ax2﹣3x﹣b＜0的解集为{x|﹣1＜x＜4}，则a+b＝ 5 ．
【分析】根据一元二次不等式与方程解的关系，列出等式即可求解．
【解答】解：由题意得x＝﹣1，x＝4是方程ax2﹣3x﹣b＝0的两个根，
∴⇒a＝1，b＝4，
∴a+b＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
15．（5分）已知角θ的终边经过点P（﹣2，﹣4），则tanθ＝ 2 ， ．
【分析】根据任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，直接运算即可．
【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣2，﹣4），
∴；
∴．
故答案为：2；．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
16．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，且f（2）＝0，则的解集为 （﹣∞，﹣3]∪（0，1] ．
【分析】根据y＝f（x）的性质可做出y＝f（x）的图象，根据平移可得f（x+1）的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：由题意知函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增且为偶函数，
由f（2）＝0得f（﹣2）＝0，作出f（x）的辅助图并向左平移一个单位，
所以，或⇒x≤﹣3，
故的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）；
（2）．
【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
18．（12分）非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤3a﹣7}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}．
（1）若a＝4，求（∁RA）∩B；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合A，B，即可根据集合的交并补运算进行求解；
（2）根据充分不必要条件转化成集合的包含关系，即可列不等式求解．
【解答】解：（1）∵a＝4，∴A＝{x|3≤x≤5}，B＝{x|﹣2＜x＜5}，
∴∁RA＝{x|x＜3或x＞5}，
∴（∁RA）∩B＝{x|﹣2＜x＜3}．
（2）由题意知A⊆B，
∴，
∴3≤a＜4，
∴实数a的取值范围为[3，4）．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得f（0）＝0，即可求出a，再利用定义法即可判断函数的单调性；
（2）先由2x＞0得2x+1＞1，从而可求得的范围，进而可得函数的值域．
【解答】解：（1）由题可知，函数是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，即，
经检验a＝2时，f（x）为奇函数，
则，
令x1＜x2，
则，
∵为y＝2x增函数，x1＜x2，
∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数为增函数；
（2）∵2x＞0，
∴2x+1＞1，
∴，
∴，
∴，
∴函数f（x）的值域为（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断及应用，属于基础题．
20．（12分）2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R（x）万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；
（2）当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据利润＝销售额﹣成本，可得出2023年利润L（万元）关于年产量x（干部）的函数解析式；
（2）分别求出分段函数两个范围的最大值，再比较大小即可得到企业所获最大利润．
【解答】解：（1）根据利润﹣销售额﹣成本，可得
当0＜x＜40时，L（x）＝1000x×0.7﹣250﹣（10x2+100x）＝﹣10x2+600x﹣250，
当x≥40时，L（x）＝1000x×0.7﹣250﹣（70lx9450）＝﹣x9200，
故L（x）；
（2）由（1）可知，
当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10x2+600x﹣250＝﹣10（x﹣30）2+8750，
当x＝30时，L（x）max＝8750，
当x≥40时，L（x）＝﹣x9200≤﹣29200＝9000，
当且仅当x＝100时，等号成立，此时L（x）max＝9000，
∵9000＞8750，∴产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元）．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+1﹣2sin2x．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的所有取值；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来2的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若存在，使得等式g（x）＝m成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用三角恒等变换及辅助角公式可得，再由f（x）＝Asin（ωx+φ）的性质求解即可；
（2）通过图象变换可得，把所求问题转化为函数的值域问题，再由x的范围求出的范围，从而可得g（x）的范围，即可求出m的范围．
【解答】解：（1）因为，
所以函数f（x）的最大值为，
令，
所以函数f（x）取得最大值时x的所有取值为；
（2）由题意得，
因为，所以，
所以，
故实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝a（lg2x）2﹣2alg2x+b﹣1（a＞0）在区间[4，8]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）≤klg2x恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）换元，转化成关于t的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．
（2）换元成关于t的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可．
【解答】解：（1）x∈[4，8]，令t＝lg2x，设m（t）＝at2﹣2at+b﹣1（a＞0），t∈[2，3]，
∵a＞0，对称轴为t＝1，
∴m（t）＝at2﹣2at+b﹣1在[2，3]上单调递增，
则，解得，
∴实数a的值为1，b的值为0．
（2）由f（x）≤klg2x，得，
令t＝lg2x，则t∈[0，2]，t2﹣2t﹣1≤kt，
当t＝0时，﹣1≤0恒成立，即k∈R；
当t∈（0，2]时，，
令，则只需k≥g（t）max，
由于均为t∈（0，2]上的单调递增函数，所以，在t∈（0，2]上单调递增，
∴，∴，
综上，实数k的取值范围为．
【点评】本题考查对数函数以及二次函数的性质，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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