湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷含解析及答题卡

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命题人：郭端香 审题人：孙艳红
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
6．函数（，）的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，，B．
C．，，D．，，
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若-2bd
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
12．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C.是图象的一个对称中心
D．若时，在区间上单调，则的取值范围是或
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）
13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______.（写出一个即可）.
14．已知函数，若，则_____________.
15． 已知:
设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是______．
16.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若α＝，求f（α）的值．
18．（本小题满分12分）
已知集合A＝{x∈R|≥}，集合B＝{x∈R|（x﹣1）（x﹣a）＜0}．a∈R
（1）求集合A；
（2）若B⊆∁RA，求a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数，，且该函数的图象经过点，.
（1）求a，b的值；
（2）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）
20．（本小题满分12分）
比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
21．（本小题满分12分）
已知，.
(1)当且是第四象限角时，求的值；
(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（）
22．（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
0
10
40
60
0
1420
4480
6720
参考答案：
1．D
【分析】由终边相同的角的性质即可求解.
【详解】因为与角终边相同的角是，，
当时，这个角为，
只有选项D满足，其他选项不满足.
故选：D.
2．C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】解：
解得：.
故选：C.
3．A
【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】∵，，
，，
根据零点的存在性定理知，
函数的零点所在区间为．
故选：B
5．D
【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
又因为，所以，，整理可得，
因为且，解得.
故选：D.
6．A
【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.
【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
7．C
【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
8．D
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
9．AC
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；
对于B，因为1