2023-2024学年安徽省安庆市桐城联考九年级上册第三次月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市桐城联考九年级上册第三次月考数学试题（含解析），共26页。
（考试时间为120分钟，满分为150分）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单选题（共40分）
1．若反比例函数的图像分布在第二、四象限，则 k的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
2．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（ ）
A．13B．18C．21D．26
4．如图，，，，，，若在边上有一点，使与相似，则这样的点有_____个．（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
8．已知抛物线（为整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则（n为正整数）的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形：④当时，．其中正确的个数是（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共20分）
11．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点，已知点、，则与的相似比是 ．
12．如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ．
13．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点O，过点C作，垂足为C，与相交于点E，若，BC=6，则的值为
14．已知二次函数，
（1）当时，二次函数的最大值为 ．
（2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ．
三、解答题（共90分）
15．计算：
(1)．
(2)．
16．已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
(1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是______；
(2)以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是______；
(3)求的面积．
17．桥洞为抛物线形，水面宽米，桥洞顶点C到水面的距离为3米，

(1)求这个桥洞所在抛物线的解析式．
(2)若水面再上升1米，求水面的宽度．（结果保留根号）
18．如图，点是的重心．

(1)________；
(2)若，求长．
19．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标．
20．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果，分别从，同时出发，秒后停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空： ， ；
(2)当为何值时，的面积为？
(3)是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
21．如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在直线上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与直线交于点．
(1)当时，求的长．
(2)是否存在这样的点P，使的面积等于面积的？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式
(2)当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值．
(3)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值．
23． （1）如图1，矩形，，，点为边上一动点，，且，求．
（2）如图2，矩形，点为对角线上一动点，连接，作，交的延长线于点，连接．
①求证：；
②若，探索四边形的形状，并说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，反比例函数图象经过一、三象限，反之经过二、四象限，进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像分布在第二、四象限，
∴，
解得：，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数图像平移，熟记函数图像平移的法则：左加右减、上加下减，按要求平移即可得到答案．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的函数关系式是，
故选：B．
3．C
【分析】作轴于E，轴于F，轴于H，由平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：作轴于E，轴于F，轴于H，
∵四边形为平行四边形，和平行于x轴，
∴，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．设，则，分和两种情况讨论，可得对应边的比相等，可得关于的方程，解方程求出的值，即可确定出符合题意的点的个数．正确地进行分类讨论是解本题的关键．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
设，则，
当时，
∴，
∴，
解得，
当时，
∴，
∴，
解得或，
∴这样的点有2个，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，
，
则，
米，
米，米，
在中，，
米，
米，
故选：C．
6．B
【分析】首先设，由线段，可求得的值，又由是与的比例中项，列方程即可求得线段的长．
【详解】解：设，则，
∵是与的比例中项，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，经检验符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明，求出．
8．D
【分析】当时，可求得为，由可得为或，将的坐标代入，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点为，
，
抛物线与轴的交点为或，
或，
或，
或或或，
解得：或或，
为整数，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴、轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．A
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
同理△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵直线与双曲线交于点，
∴A1（1，1），
作A1C⊥y轴于C，则A1C=1，
∴OB1=2A1C=2，
设A2（m，2+m），
则有m（2+m）=1，
解得m=-1（负值舍去），
∴A2（-1，+1），
∴B1A2=2-2，
∴OB2=2+2-2=2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）=1，
解得a=-（负值舍去），
∴OB3=2，
同法可得，OB4=2，
OB5=2，
……，
∴OBn=2，
∴Bn（0，2），
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
10．C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；再证明，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，再结合①得，即可判定③正确；当时，由P为边的中点，得出即可判断④正确．
【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边中点，，
∴，
∴，①正确；
②在与中，
∵，
∴，
∴，即②正确；
③∵，于点M，于点N，
∴，
在中，，
∵点P是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，即③正确；
④当时，
∵于点N，
∴，
∴，
∵P为边的中点，
∴为等腰直角三角形
∴，即④错误．
故①②③正确，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了位似图形的性质，解决问题的关键在于掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心是原点，、，
∴，且相似比为，
故答案为：．
12．
【分析】如图，中，根据等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，中，
∵等腰三角形的腰与底边的比是，
设腰长为，底边长，
作于E，
∴，

在中，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
13．
【分析】由轴对称的性质可得，，可证四边形是菱形，由菱形的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
故
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出的长是解题的关键．
14． 1 8或
【分析】（1）将代入，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
当时，函数有最大值1，
故答案为：1；
（2）解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
①当时，即时，
，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，有最大值为6，
，
解得：；
②当时，即时，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
，
（不合题意，舍去），
③当时，即时，
，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
综上所述，的值为8或．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
16．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)10
【分析】本题考查作图-平移变换、位似变换、三角形的面积．
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
点的坐标是．
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求．
点的坐标是．
故答案为：；
（3）解：的面积为．
17．(1)
(2)米
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式：
（1）由图得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）当时，，解得：，进而可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由图得：，
米，
米，
，
则可设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，
解得：，
此时水面的宽度为：米．
18．(1)
(2)6
【分析】本题考查的是三角形重心的性质．
（1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解；
（2）由三角形重心可得，进而即可求解．
掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键．
【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点），
∴，则，
故答案为：；
（2）∵点为的重心，

∴由三角形中线性质可得：，，，
则：，，
∴，，
∴，
则，即：，
∵，
∴，
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与线段和差问题：
（1）把点和代入，即运用待定系数法求解；
（2）先运用待定系数法求出BC的解析式为，设，则，，根据，建立等式，解出值，即可作答．
【详解】（1）解：把点和代入，
，
解得，
；
（2）解：令，则，
，
设的解析式为，
，
解得，
，
设，则，，
，，
，
，
解得或，
是线段下方抛物线上，
，
，
20．(1)，；
(2)秒或秒；
(3)存在，秒或秒．
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和；
（2）设经过秒钟，使的面积为，由(1)得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解；
（3）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴．
（2）解：设经过秒钟，使的面积为，
∵，，，
∴，
∴，
∴解得：，，
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为．
（3）解：设经过秒钟，使和相似，
∵，
当使时，和相似，
即，
解得：；
当使时，和相似，
即，
解得：．
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似．
21．(1)或
(2)存在这样的点P，DP的长为或
【分析】（1）分三种情况讨论：如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，当在的延长线上时，分别画出图形，结合勾股定理与三角函数解答即可；
（2）如图，假设存在满足条件的点，分三种情况讨论，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，当在的延长线时，再利用相似三角形的性质解得即可．
【详解】（1）解：如图，当在线段上时，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
中，，
；
如图，当在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
此时，
∴；
当在的延长线上时，不符合题意，舍去，
综上：的长为或．
（2）如图，假设存在满足条件的点，当在线段上时，

∵，而，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
如图，当在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
当在的延长线时，不符合题意，舍去，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
22．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点代入得，求出的值即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，可知顶点的纵坐标就是的最小值，分和，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出的最大值即可；
（3）由直线与抛物线存在两个交点，，且，即一元二次方程有两个不相等的实数根，则，，得到，由两交点到x轴的距离相等得到，即，进一步得到，解得或，检验后即可得到答案．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
当时；
当时，的最小值是，
当时，，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，随的增大而减小，当时，，
当时，随的增大而增大，当时，，
当时，∵时，的最小值是，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，将代入，
即，
解得：，
∴当时取得最大值，最大值为，
综上所述，当时，的最大值为或；
（3）解：∵直线与抛物线存在两个交点，，且，
∴，即一元二次方程有两个不相等的实数根，，
则，，
，
∵两交点到x轴的距离相等，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得或，
经检验或都是分式方程的根且符合题意，
即或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数和一次函数的交点问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式和根与系数关系、分式方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
23．（1）2 （2）①见解析 ②四边形是平行四边形
【分析】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，
（1）设，则．利用相似三角形的性质求出，可得结论；
（2）①证明，推出，推出，又，推出，推出，可得结论；
②证明，可得结论．
【详解】（1）解：设，则．
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或8，
经检验或8是分式方程的解，8不符合题意舍去
当时，，
综上所述，的值为2；
（2）①证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
②四边形是平行四边形
证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．