2023-2024学年四川省巴中市恩阳区九年级（上）数学期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省巴中市恩阳区九年级（上）数学期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共有12个小题，每题4分，共48分）
1．要使式子有意义，则x可取的数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．A、B两地的实际距离是400m，画在地图上的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：20B．1：200C．1：2000D．1：20000
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，是，的比例中项，那么为（ ）
A．B．C．D．
5．方程的根是（ ）
A．2B．－2C．2或－2D．2或5
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）

A． B． C． D．
7．一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计一共握了190次手，这次聚会的人数是（ ）
A．19人B．20人C．21人D．10人
8．下列线段能成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4B．1，，，4
C．，，，1D．2，5，3，4
9．如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A．B．C．D．
10．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米B．光的折射，米C．光沿直线传播，8米D．光的反射，24米
11．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ）
A．-1B．C．1D．
12．若为实数，方程的一个根的相反数是方程的一个根，那么方程的根是（ ）
A．1，2B．0，3C．-1，-2D．0，-3
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．黄金分割在我们生活中应用广泛，如主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体．已知线段长为8，C是上的一个黄金分割点，且，则AC的值为 ．
14．已知，且，求 ．
15．若对任何实数a，关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0都有实数根，求实数b的取值范围．
16．在中，，D为垂足，且，，则斜边的长为
17．如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积为 ．
18．如图，在中，，AD平分交BC于点D，，则
三、解答题
19．计算
(1)
(2)
(3)已知，求的值．
20．解下方程
(1)
(2)．
21．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是原方程的两根，且，求的值．
23．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；
(2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
24．已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：
(1)；
(2)
25．如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x，
(1)当x为何值时，；
(2)当时，求的值；
(3)能否与相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
观察四个选项，x可取3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．D
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离计算即可得出结果．
【详解】解：，
∴这幅地图的比例尺为：
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查线段比例的应用，理解题意，掌握比例尺的计算是解题关键．
3．D
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A、，故不是最简二次根式；
B、，故不是最简二次根式；
C、，故不是最简二次根式；
D、，故是最简二次根式；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
4．D
【分析】根据线段比例中项的概念，可得，即可求出的值．
【详解】解：是、的比例中项，
，
解得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了比例中项，平方根，掌握比例中项的定义是解题的关键．
5．D
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：移项可得，
因式分解得：，
∴或，
解得x=2或x=5，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是先要对方程移项，再根据提公因式法分解因式，最后根据ab=0的形式的方程，可知a=0或b=0，然后求解即可．
6．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】根据题意得：，，，
，
A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似；
B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故选：A．
7．B
【分析】利用方程求解；设聚会的人数为x人，由等量关系：握手次数之和，列出方程并解之即可．
【详解】设聚会的人数为x人，由题意得：，
解方程得：，（舍去），
即聚会的人数有人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意、找到等量关系并列出方程是关键．
8．B
【分析】本题考查了比例线段，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：B．
9．B
【分析】本题中已知，则对应的夹角相等即可使与相似，结合各选项即可得问题答案．
【详解】解：∵，
∴添加．则
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
10．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
由光的反射定律可知，
∴，
∴，即，
∴米，
故选A．
11．A
【详解】设BC与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC//A′C′
∴△BEA′∽△BCA
∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2
∵AB=
∴A′B=1
∴AA′=AB-A′B=-1
故选：A．
12．B
【分析】设方程x2-3x+c=0的一个根为a，则方程x2+3x-c=0的一个根是-a，然后代入求值即可．
【详解】设方程的一个根为a，
则方程x2+3x−c=0的一个根是−a；
把两根分别代入得：
a2−3a+c=0，
a2−3a−c=0；
两方程相减得c=0；
则方程x2+3x−c=0为方程x2+3x=0，
解得
故方程x2+3x−c=0的解为
故选B.
【点睛】考查了一元二次方程的解，解题的关键是设方程的根，难度不大.
13．##
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．由黄金分割的定义得，即可得出结论．
【详解】为的一个黄金分割点，，且，
，
故答案为：．
14．或
【分析】把看作关于的一元二次方程，利用因式分解法解得或，然后分别计算的值．
【详解】解：，
，
或，
或，
，
当时，；
当时，．
故答案为或
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
15．b≤．
【分析】先计算关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0的△，把计算出的结果看作二次函数，开口向上，并且恒有△≥0，即函数图象不在x轴下方，因此得到△′≤0，解关于b的不等式即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0都有实数根，
∴△＝4a2﹣4(﹣a+2b)＝4a2+4a﹣8b，
对任何实数a，有△＝4a2+4a﹣8b≥0，
所以△′≤0，即42﹣4×4×(﹣8b)≤0，
解得b≤．
所以实数b的取值范围为b≤．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了二次函数与一元二次方程的关系．
16．
【分析】此题考查学生对相似三角形的判定与性质的理解及运用，先确定，再根据相似三角形对应边成比例求出的长．
【详解】在中，，
∴，
∵，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据梯形，得到，过O作于E，延长交于F，则，证明，得到，设梯形上下底分别为，两个三角形对应的高分别为，根据三角形的面积公式，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是梯形，
∴，
如图，过O作于E，延长交于F，则，
∵，
∴，
∴，
设梯形上下底分别为，两个三角形对应的高分别为，
∴，
∴
∴；
故答案为：．
18．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，延长至使，由，AD平分可得，进而得到等边三角形和，得到，最后根据求解即可．
【详解】延长至使，
∵，AD平分，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式化简求值；
（1）合并同类二次根式即可；
（2）展开括号，再合并同类二次根式即可；
（3）先化简分式，最后代入求值即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
，
当时，原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程；
（1）直接开方解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
∴，
解得
（2），
∴，
∴．
21．40元
【分析】设每盒茶叶的进价为元，等量关系为：总售价总进价，据此列出方程求解．
【详解】解：设每盒茶叶的进价为元．
．
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去．
答：每盒茶叶的进价为40元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
22．(1)证明过程见详解
(2)的值或
【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键．
23．(1)见解析，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质、平行投影：
（1）利用平行投影的性质即可求解；
（2）利用相似三角形的判定及性质即可求解；
熟练掌握平行投影的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，
作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质．
（2），
，
又，
，
，
，，，
，
．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中点的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用；
（1）根据直角三角形的性质可以求出，，就可以求出，就可以求出，得出而得出结论；
（2）根据就可以得出，就可以得出结论．
【详解】（1），
，
．
，
，
．
是的中点，
，
．
．
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
．
25．(1)当时，
(2)
(3)的长为或
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；
（1）当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值．
（2）由可得，再根据等高求出，，最后根据求解即可．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况来求的值．
【详解】（1）由题意得，，，，，
∵，
∴，
，
，
即当时，；
（2）∵，
，，
∴
∴，
∴，，
∴,
∴
即；
（3）存在．
，
，
要使
只需．
此时，
解得：，
；
要使，
，
，
（舍或，
，
即：的长为或．