2023-2024学年四川省内江市资中县九年级（上）数学期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省内江市资中县九年级（上）数学期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷1至4页，满分100分；B卷4至6页，满分60分．全卷满分160分，120分钟完卷．
A卷（共100分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1．下列根式是最简二次根式的是 （ ）
A．B．C．D．
2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
4．关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根
5．若，则（ ）
A．B．C．D．x为一切实数
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）

A．B．2C．D．5
7．有一个数值转换器，原理如下图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（ ）

A．3B．18C．D．
8．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是( )
A．4B．5C．4或5D．不能确定
9．手工兴趣小组的同学们将自己制作的书签向本组的其他成员各赠送1个，全组共互赠了30个，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝30B．2x（x+1）＝30C．x（x﹣1）＝30D．x（x﹣1）＝30×2
10．已知，，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
11．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第6行从左向右数第3个数是（ ）
A．B．C．D．
12．设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．若，则的值等于 ．
14．已知是关于的一元二次方程，则等于 ．
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
16．下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁)
聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是 岁．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．已知，．求的值．
19．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知，．
(1)若，求的长．
(2)若，求的长．
20．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省基站数量将达到6万座，到2022年底，全省基站数量将达到17.34万座
(1)按照计划，求2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率；
(2)若2023年保持前两年基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？
21．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
(1)；
(2)
B卷（共60分）
一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
22．已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
23．对于实数、，且，我们用符号表示、两数中较小的数，如．若，则 ．
24．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是
25．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ．
二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
27．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)求出的取值范围；
(2)若满足，求的值．
28．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作，交的延长线于点．
(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
(3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】直接利用最简二次根式的定义分别判断得出答案．
【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
2．D
【分析】将方程整理为一般式即可．
【详解】解：，
，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为是解题的关键．
3．A
【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答
【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意；
B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；
D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．B
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．A
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
6．D
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，

，
五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
，
，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．
7．C
【分析】根据算术平方根的定义以及实数分类，根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取正平方根为，是有理数，
输入时，取正平方根为，是无理数，输出，
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质化简，根据程序设计进行计算是解题的关键．
8．B
【分析】首先解此方程，求得此方程的两个实数根，再分类讨论，根据三角形的三边关系，即可求得，据此即可判定．
【详解】解：x2-3x+2=0，
(x-1)(x-2)=0，
x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2．
分为两种情况：
①三角形的三边长分别为1、1、2时，
∵1+1=2，
∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；
②三角形的三边长分别为1、2、2时，
此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的三边关系，分类讨论计算是解决本题的关键．
9．C
【分析】先求每名同学赠的书签，再求x名同学赠的书签，而已知全组共互赠了30个，故根据等量关系可得到方程．
【详解】设全组有x名同学，
则每名同学所赠的书签为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
∴x（x﹣1）＝30．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键.
10．D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了二次根式的性质，数字类规律探究；观察数阵可得，数阵是由组成，第行有个数，得出第6行从左向右数第3个数是第个数，即可求解．
【详解】解：依题意，数阵是由组成，第行有个数，
∴第6行从左向右数第3个数是第个数，
∴第6行从左向右数第3个数是为，
故选：C．
12．B
【分析】利用根与系数的关系把，之间的关系找出来，利用，之间的关系，解关于，的方程，然后再代入原方程检验即可．
【详解】解：根据题意得，①，②，
③，④，
由②、④可得，
解之得或，
由①、③可得，
即，
当时，，
解之得，或，
即，，
把它们代入原方程的中可知符合题意；
当时，，
解之得，或，
即，，
把它们代入原方程的中可知不合题意舍去，
所以数对的个数是对，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，有一定的难度，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．
13．##0.4
【分析】由题意可得：设，，代入分式，求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
代入可得，
故答案为：.
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的有关性质．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
根据一元二次程的定义得出关于a的不等式组，求出a的值即可．
【详解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
15．72
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为，
∴留下的阴影部分面积和为：
故答案为：72．
16．36
【分析】这是一道数字问题的应用题，等量关系隐于诗词中，及周瑜去世时年龄为两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于这两个数，于是可以设个位数字为x，列出一元二次方程求解．
【详解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，由题意，得
x2＝10(x－3)＋x，即x2－11x＋30＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜的年龄36岁，符合题意，
故答案为36.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
17．（1）6；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，二次根式的混合运算；
（1）先算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先移项，然后配成完全平方公式，根据直接开平方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
，．
18．，
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式，
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解答的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，
，，，
，
．
（2）解：，
，，
，
，
，
，，，
，
．
20．(1)
(2)25万座
【分析】（1）设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据2020年及2022年底全省基站的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2023年底全省基站的数量年底全省基站的数量增长率），即可求出2023年底全省基站的数量，再与29万座比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为．
（2）（万座），
，
到2023年底，全省基站数量能超过25万座．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(1)；；；
(2)，
【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；
（1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可；
（2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可；
【详解】（1）设，
原方程化为，
，
解得或，
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解；
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解．
∴原方程的解为：；；；．
（2）设，则有，
原方程可化为：，
解得（舍）或，
，
，
解得或；
经检验：，是原方程的解．
22．-2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
23．
【分析】本题考查了解一元一次方程和不等式，能根据题意分类讨论得出方程是解此题的关键．
根据已知分情况讨论，列出不等式确定范围，确定得出方程，求出每个方程的解即可．
【详解】，
当，即时，，解得：(不合题意，舍去)，
当，即时，，解得：，
当，即时，，解得：，(不合题意，舍去)，
综上所述：的值为：，
故答案为：．
24．4045
【分析】把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解．
【详解】解：把代入原方程得：，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故答案为：4045．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．
25．
【分析】本题主要考查了矩形，矩形翻折，平行线，直角三角形斜边中线，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，平行线分线段性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
过点E作于点H，连接，设，，由，得到，由中点性质得到，由矩形性质得到，，，，可判定四边形和为矩形，得到，，由折叠性质得到，，，，，推出，根据的延长线过点，推出，根据，得到，得到，，推出，，由，得到，推出， ，在中，根据勾股定理得到，，解得，推出，得到．
【详解】设，，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴，
过点E作于点H，连接，则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
由折叠知，，，，，
∴，
∵的延长线过点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
26．(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
27．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及判别式的应用：
（1）根据题意，得，代入计算，即可作答．
（2）结合，，进行列式，代入化简计算，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，
∴＜0，（但，），
∴＜0，＜0，
∵，
∴，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴．
28．(1)见解析
(2)
(3)①、、、这四条线段的比例关系：，理由见解析；②
【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证；
（2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解；
（3）①作交于点，则，进而证明，即可得出；
②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，，，
平分，
，
，
，
，
即．
（2）解：平分，，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
．
（3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下：
如图：作交于点，
，，，
平分，
，
，
，
．
②平分，
，
由①知
，
，，
，
解得，
不符合题意，舍去，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．