2023-2024学年河南省新乡市辉县市九年级（上）数学期中数学试题（含解析）

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单选题（每小题3分，共30分）.
1．已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若某三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B． 且
C． 且D．且
5．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确
7．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
8．如图，平行四边形对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为（ ）

A．B．C．D．1
9．如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（ ）

A．2B．3C．4D．5
10．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝ ．
13．将一元二次方程化成（a、b为常数）的形式，则的值为 ．
14．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为 ．
15．如图，在等边三角形中，，为的中点，在延长线上截取，将沿向右平移，点的对应点为，当平移后的和重叠部分的面积是面积的时，平移的距离为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解方程：
(1)．
(2)
(3)．
17．（1）计算：．
（2）化简：
18．如图，已知、、是直角坐标平面上三点．

(1)将先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形；
(2)以点为位似中心，位似比为2，将放大，在轴右侧画出放大后的图形，并写出点的坐标．
(3)求出面积．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为，（其中），若y是关于m的函数，且，求y与m的函数关系式．
20．如图，已知在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．

22．山西平遥古城吸引着全国各地的游客前来游玩．某纪念品商店购进一批纪念品进行销售，购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元．
(1)求单个甲种纪念品和乙种纪念品的进价．
(2)店员小丽追踪乙商品销售情况，发现当乙种纪念品售价为60元时，每天能卖出100件，每个乙种纪念品每涨价1元，就少售出2件．某天商店将乙种纪念品涨价m元，且相关部门规定乙种纪念品售价不得超过75元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，求销售乙种纪念品的数量．
23．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，可以采用如图（1）的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图（2），在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，重新拼成一个完整的三角形，并画出来．（不用剪开，作图即可）
猜想证明
如图（3），在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？请结合“实践操作”完成猜想的证明．
知识运用
（1）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______；
（2）直线为外的任意一条直线，过、、、分别作直线的垂线段、、、，线段、、、之间的数量关系为______．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到且，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键．
2．A
【分析】利用二次根式的运算法则逐一判断即可求解．
【详解】解：A．，故A选项符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再结合二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据三角形三边关系求出的取值范围是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据一元二次方程中：，方程有两个不相等的实数根，，方程有两个相等的实数根，，方程没有实数根；从而得到关于的不等式，解不等式，同时，即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
原方程两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
且 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键．
5．B
【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，
根据题意，可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程．
6．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：，
甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意；
乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键．
7．A
【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.
【详解】解：由图，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：；
②图中阴影三角形的边长分别为：；
③图中阴影三角形的边长分别为：；
④图中阴影三角形的边长分别为：；
可以得出①②两个阴影三角形的边长，
所以图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确.
8．A
【分析】首先作辅助线：取的中点，连接，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：与的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得的值．
【详解】解：取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
故选：．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
9．C
【分析】先证是的中位线，推出，，再证，根据对应边成比例可得，结合即可求解．
【详解】解：如图，连接，

，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
10．D
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可．
【详解】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴B点的坐标是（−2n，2m），
∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
11．（答案不唯一）．
【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．
【详解】解：∵＝2，
∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．
12．﹣2
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．7
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则，即，
∴，
则，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--配方法，解题的关键是掌握完全平方公式．
14．
【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可．
【详解】解：∵为的黄金分割点，，
∴，
∴；
故答案为：．
15．或
【分析】分与相交，与相交，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如解图1所示，当与交于点时，重叠部分为四边形．

∵重叠部分的面积是面积的，．
由平移的性质，可知，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即平移的距离为．
②如图2所示，当交于点时，，过点作于点，

则．
∴．
∵，，
∴，即．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即平移的距离为．
综上所述，平移的距离为或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
(3)：，
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
熟练掌握因式分解法及公式法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：移项，得：，
分解因式，得，
即：或，
解得：，．
（2）移项得：，
因式分解得：，即：，
即或，
解得：，．
（3）方程整理得：，
，，，
，
，
解得：，．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分式的化简：
（1）根据实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂的运算法则即可求解；
（2）利用分式的的混合运算法则即可求解；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
．
（2）
．
18．(1)见解析
(2)见解析，
(3)6
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与位似．
（1）根据平移规则，画出，即可；
（2）根据位似图形的性质，画出，写出点的坐标即可；
（3）分割法求的面积即可．
掌握平移的性质，位似的性质，是解题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）如图，即为所求作的三角形．
（3）面积．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先计算判别式得到，再根据非负数的意义及已知条件得到，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先解出方程的两个根，，判定根的大小，代入原式即可．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴，即，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵，
∴，
∴方程的两个根分别为和1．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
20．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可求出∠ABD=∠C，然后根据相似三角形的判定定理即可证出结论；
（2）先求出AC，根据相似三角形的性质即可求出AB，从而求出结论．
【详解】解：（1）∵BE平分
∴∠DBE=∠CBE
∵
∴∠ABE=∠AEB
∴∠ABD＋∠DBE=∠C＋∠CBE
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴；
（2）∵，，
∴AC=AD＋CD=7
∵
∴
即
解得：AB=
∴=．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定及性质和等边对等角是解题关键．
21．
【分析】延长交延长线于点，根据同一时刻，物体与影长成正比可得，根据可得，可得，即可得出，由可求出的长，根据求出的长即可．
【详解】解：如图所示，延长和相交于点，则就是树影长的一部分，
∵某一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
∴，
∴，
∴树高为．

【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．
22．(1)30元，50元
(2)80件
【分析】（1）设甲种纪念品和乙种纪念品的进价分别为：元、元，根据购进20个甲种纪念品和10个乙种纪念品共花费1100元，购进10个甲种纪念品和20个乙种纪念品共花费1300元，列方程组解决问题即可．
（2）若商店将乙种纪念品涨价m元，则乙种纪念品售价为元，销量为件，当乙种纪念品售价为60元时，利润为元，若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，根据：销量（售价-进价）利润，则有，解方程并根据题意对方程的解进行取舍，从而解决问题．
【详解】（1）解：设甲种纪念品和乙种纪念品的进价分别为：元、元，
由题意得，，
解得，，
甲种纪念品和乙种纪念品的进价分别为：30元，50元．
（2）若商店将乙种纪念品涨价m元，则乙种纪念品售价为元，销量为件，
当乙种纪念品售价为60元时，利润为（元），
若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，则有，
，
，
，
，
，
，，
乙种纪念品售价不得超过75元，即，，
不符合题意，
故：，，
若当天销售乙种纪念品获得利润1600元，则销售乙种纪念品80件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组与一元二次方程．
23．实践操作：见解析；猜想证明：，，见解析；知识运用：（1）30；（2）
【分析】实践操作：梯形沿着剪开，是腰的中点，将点D和点C重合即可求得；
猜想证明：连接并延长，交延长线于点，根据题意可证明，则有和，结合三角形中位线定理即可证明和；
知识运用：（1）根据梯形面积公式和梯形中位线定理即可求得答案；（2）连接和交于点O，过点O作交l于点J，四边形为平行四边形，则有O为和的中点，由于四边形为梯形，得到为梯形的中位线，则，同理，得到成立．
【详解】实践操作：
解：如图所示，即为所作．
图②
猜想：，．
连接并延长，交延长线于点，
图③
，
．
是的中点，
．
又，
．
，．
点是的中点，又点是的中点，
是的中位线，
，．
．
，，
．
，．
知识运用：（1）根据梯形中位线定理得上底加下底等于两倍的中位线，结合梯形面积公式有；
（2），
连接和交于点O，过点O作交l于点J，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴点O为和的中点，
∵，，
∴四边形为梯形，
∴为梯形的中位线，
则，
同理四边形为梯形，则，
那么，．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、梯形中位线定理和梯形的面积公式，解题的关键是利用已证的结论求解后续问题，并作辅助线构造梯形利用中位线．