高考数学一轮复习课时分层作业7函数的奇偶性、周期性与对称性含答案

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1．B [根据偶函数的定义知，偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．]
2．A [由题意得f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.]
3．B [f(x)＝1-x1+x＝2-x+11+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.]
4．B [法一：由题意知，f(m)＝m3＋sin m＋2，f(－m)＝－m3－sin m＋2，两式相加得，f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝4－f(m)＝4－3＝1．故选B.
法二：由y＝x3＋sin x是奇函数，得f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝1.]
5．B [因为函数fx-1的图象关于点1，0对称，故函数fx的图象关于点0，0对称，即fx为奇函数，故f-x＋fx＝a-x3－-x-3＋a＋ax3－x-3＋a＝2a＝0，所以a＝0．故选B.]
6．B [因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.]
7．AC [设g(x)＝f(x＋3)，由题意可知g(－x)＝f(－x＋3)＝g(x)＝f(x＋3)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，故A正确；由函数f(x＋3)为R上的偶函数可知，f(x＋3)的图象关于直线x＝0对称，又知把f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于直线x＝3对称．]
8．ABD [当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以f(x)＝x2-2x+3，x>0，-x2-2x-3，x<0，作出f(x)的图象如图所示，
由图可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知直线x＝1显然不是f(x)的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确．]
9．－2 [因为函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(3)＝f(0)＝0，所以f(2)＋f(3)＝－2.]
10．2sin π2x+5π4(答案不唯一) [对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点32，0中心对称，
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝12对称，设f(x)＝2sin (ωx＋φ)，则T＝4×32-12＝4，ω＝π2，
又f(x)的图象关于直线x＝12对称，且函数在0，12上单调递减，则ω2＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，得φ＝5π4＋2kπ， k∈Z.]
11．12 [∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，2)对称，
又g(x)＝2x+1x＝1x＋2，其图象也关于点(0，2)对称，
∴两函数图象交点关于点(0，2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.]
12． 1 2 [法一：由f(x)＝lg2(x2+a－x)得x2+a－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1．所以g(－1)＝f(－1)＝lg2(2＋1)＞0，g(g(－1))＝2lg2(2＋1)－1＝2.
法二：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝lg2(-x2+a＋x)＋lg2(x2+a－x)＝lg2[(x2+a＋x)(x2+a－x)]＝lg2a＝0，得a＝1．经检验a＝1符合题意．所以g(－1)＝f(－1)＝lg2(2＋1)＞0，g(g(－1))＝2lg2(2＋1)－1＝2.]
13．B [∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，
且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，
∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不一定为0，故选B.]
14．2 fx＝12＋cs πx (答案不唯一) [因为f(x＋1)＝f(x－1)，
所以fx＝fx-2，fx的最小正周期为2.
因为f1-x＋fx＝1，
所以函数fx关于点12，12对称，
满足关于点12，12对称以及最小正周期为2的方程可以为fx＝12＋cs πx.]