高考数学一轮复习课时分层作业9幂函数与二次函数含答案

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1．B [因为函数y＝xα的图象过④⑧部分，所以函数y＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0．又易知当x＝2时，12＜y＜1，所以只有B选项符合题意．]
2．C [y＝x2－3x＋4＝x-322＋74的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为74 ，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m≤3.]
3．D [当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3-a2a，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知a<0， 3-a2a≤-1，
解得－3≤a<0．综上，a的取值范围为[－3，0].]
4．C [令f(x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立，
∴f1≤0，f2≤0，即1+m+4≤0， 4+2m+4≤0，解得m≤－5.]
5．ACD [将点(4，2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，则α＝12，所以f(x)＝x 12.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，A正确；
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，B不正确；
当x＞1时，x＞1，即f(x)＞1，C正确；
当0＜x1＜x2时，fx1+fx222－fx1+x222
＝x1+x222－x1+x222
＝x1+x2+2x1x24-x1+x22
＝2x1x2-x1-x24＝－x1-x224＜0，
即fx1+fx22＜fx1+x22成立，D正确．]
6．BC [设g(x)＝(x－a)(x＋b)，则g(a)＝g(－b)＝0，f(x1)＝g(x1)－1＝0，g(x1)＝1，同理g(x2)＝1，所以x1＋x2＝a＋(－b)＝a－b，由a＋b>0得a>－b，又x1a，故选BC.]
7． 13 [设f(x)＝xα，则4α 2α ＝2α＝3，∴f12＝12α＝13.]
8．x2＋14(答案不唯一) [因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称，所以可设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，由y=ax2+c，y=x， 得ax2－x＋c＝0，所以Δ＝1－4ac＝0，即ac＝14.可取a＝1，c＝14，则f(x)＝x2＋14(答案不唯一)．]
9． 38 [f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；
③当a<0时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．
综上可知，a的值为38.]
10．[解] (1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
∴2a=2，a+b=0.∴a=1，b=-1.
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，
－1)．
11．[解] (1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋1单调递减；
当a>0时，f(x)的对称轴为x＝1a，且1a>0，
∴1a≥1，即0当a<0时，f(x)的对称轴为x＝1a且1a<0，
∴a<0符合题意．
综上，实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)①当a＝0时，f(x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－1.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x＝1a.
(ⅰ)当1a<1，即a>1时，f(x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内，
∴f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单调递增．
∴f(x)min＝f1a＝1a-2a＋1＝－1a＋1.
(ⅱ)当1a≥1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－1.
③当a<0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向下，且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－1.
综上所述，g(a)＝a-1，a≤1，-1a+1，a>1.
12．B [因为f(x)＞0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以-c2=-1×3，b2=-1+3，
即b=4，c=6，令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4，故选B.]
13．B [由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，
都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤2.
又t≥1，∴1≤t≤2.]
14．(0，2) [因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以f1-f-11--1＝m＝f(x0)，即关于x0的方程-x02＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1．所以必有－115．[解] (1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a.
∵a>0，∴g(x)在[2，3]上单调递增，
∴g2=1，g3=4 ⇒1+b=1， 9a-6a+1+b=4⇒a=1，b=0.
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
∵存在x∈[3，4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，
∴g(x)min＝g(3)＝4<2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，
即－mt＋2m2＋3>0对任意的t∈[0，5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，
∴2m2+3>0，-5m+2m2+3>0，
解得m∈(－∞，1)∪32，+∞.
(3)由(1)得f(x)＝gxx＝x2-2x+1x＝x＋1x－2，
∴f(2x)－k·2x＝2x＋12x－2－k·2x≥0，
令2x＝t12≤t≤2，则不等式可化为k≤1＋1t2-2t，
∵不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，
∴k≤1+1t2-2tm，
又∵1＋1t2-2t＝1t-12，
12≤t≤2⇒12≤1t≤2，∴1+1t2-2tm＝1，
∴k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1].