高考数学一轮复习课时分层作业15导数的概念及运算含答案

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1．D [y′＝x+1'x-1-x+1x-1'x-12＝－2x-12，
故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－23-12＝－12.]
2．A [因为V＝43πr3，所以r＝334πV，所以r′＝34π13×13V-23，
所以当V＝4π3时，r′＝34π13×134π3-23＝34π13×1334π23＝13×34π＝14πdm/L.故选A.]
3．A [∵f1(x)＝sin x＋cs x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 023＝4×505＋3，∴f2 023(x)＝f3(x)＝－sin x－cs x．故选A.]
4．A [对函数y＝sin x求导，得y′＝cs x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1．故选A.]
5．AC [f′(x)＝2x2－2x＋a.
因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，
所以f′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于0，
所以x1>0，x2>0，
所以x1+x2=--22=1＞0，x1·x2=a-32＞0. ②
联立①②，解得3故选AC.]
6．AD [设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3x>0相切于点a，a3，与曲线y＝－x2＋nx－6x>0相切于点b，3b+m，对于函数y＝x3x>0，y′＝3x2，则3a2＝3a>0，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.
对于函数y＝－x2＋nx－6x>0，y′＝－2x＋n，
则－2b＋n＝3b>0，又－b2＋nb－6＝3b－2，
所以－b2＋b3+2b－6＝3b－2，
又b>0，所以b＝2，n＝7．故选AD.]
7．10 [切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.]
8． 1e2 [由y＝ln x－1，得y′＝1x，设切点为(x0，ln x0－1)，
则ax0=lnx0-1，a=1x0， 解得a＝1e2.]
9． 2 [设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
则y′|x＝x_0 ) ＝2x-1x|x=x0＝2x0－1x0＝1.
∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝1-1-212+-12＝2.]
10．[解] ∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
y0＝12x02＋mx0＋72，m＜0，
∴m＝－2.
11．[解] (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知k≥-1，-1k≥-1，解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．
12．A [由题意可知f′(x)＝1x，f″(x)＝－1x2，
∴曲线f(x)＝ln x在点(1，0)处的曲率为
K＝f″x01+f'x02 32＝-1x021+1x02 32＝-11+12 32＝12 32＝24.故选A.]
13．BCD [若f(x)＝x＋1，则f(2x－1)＝2x为奇函数，
而f(4x－2)＝4x－1为非奇非偶函数，所以A错误；
由于f(2x－1)是奇函数，
所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)，
对于函数f(x－1)＋f(3x－1)，
f(－x－1)＋f(－3x－1)＝－f(x－1)－f(3x－1)＝－[f(x－1)＋f(3x－1)]，
所以f(x－1)＋f(3x－1)是奇函数，B正确；
对于函数f(4x2－2)，
f(4(－x)2－2)＝f(4x2－2)，
所以函数f(4x2－2)是偶函数，C正确；
对于D选项，先证明奇函数的导数是偶函数，
若f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
两边求导得[f(－x)]′＝[－f(x)]′，即－f′(－x)＝－f′(x)，
即f′(－x)＝f′(x)，所以奇函数的导数是偶函数．
然后证明f(－5x－1)为奇函数：
由于f(5x－1)＝－f(－5x－1)，所以f(－5x－1)为奇函数，所以f′(－5x－1)是偶函数，D正确．故选BCD.]
14．AD [因为g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)，两边求导得－g′(－x)＝g′(x)，
所以g′(x)是奇函数，
由f(x)＋g′(x)－5＝0，f(x)－g′(4－x)－5＝0，得f(x)－5＝－g′(x)＝g′(4－x)，
即g′(－x)＝g′(－x＋4)，所以g′(x)是周期函数，且周期为4，g′(0)＝g′(4)＝0，
在f(x)＋g′(x)－5＝0，f(x)－g′(4－x)－5＝0中，令x＝4，得
f(4)＋g′(4)－5＝0，f(4)＝5，A正确；
由题目中条件无法求得g(2)的值，B错误；
令x＝－1得，f(－1)－g′(5)－5＝0，g′(5)＝g′(1)＝－g′(－1)，则f(－1)＋g′(－1)－5＝0，无法求得f(－1)，同理令x＝－3得，f(－3)＋g′(－3)－5＝0，g′(－3)＝g′(1)＝－g′(－1)，
因此f(－3)－g′(－1)－5＝0，相加得f(－1)＋f(－3)＝10，只有在g′(－1)＝0时，有f(－1)＝f(－3)，但g′(－1)不一定为0，因此C错误；
在f(x)＋g′(x)－5＝0中令x＝1得，f(1)＋g′(1)－5＝0，在f(x)－g′(4－x)－5＝0中令x＝3得，f(3)－g′(1)－5＝0，两式相加得f(1)＋f(3)－10＝0，
即f(1)＋f(3)＝10，D正确．故选AD.]
15．[解] (1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－1x，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈12，1，不妨设x1＜x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x1-1x12x2-1x2＝－1，又函数f′(x)＝2x－1x在区间12，1上单调递增，f′(x)的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－1x1＜2x2－1x2≤1，
据此有2x1-1x1=-1，2x2-1x2=1，
解得x1＝12，x2＝1x1=-1，x2=-12 舍去，
故存在两点12，ln2+14，(1，1)满足题意．