高考数学一轮复习课时分层作业25三角函数的图象与性质含答案

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1．C [因为函数f(x)＝sin x3＋cs x3＝222sinx3+22csx3＝2sinx3csπ4+csx3sinπ4＝2sin x3+π4，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.]
2．A [依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2πω＝2×3π4-π4＝π，解得ω＝2．]
3．C [f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x，选项A中：2x∈-π，-π3，此时f(x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈-π2，π6，此时f(x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈0，2π3，此时f(x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈π2，7π6，此时f(x)先递减后递增，D错误．所以选C.]
4．D [由题意，f(－x)＝cs -x－cs -2x＝cs x－cs 2x＝fx，所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cs x－cs 2x＝－2cs2x＋csx＋1
＝－2csx-142＋98，
所以当cs x＝14时，f(x)取最大值98.故选D.]
5．BCD [由题意，函数f(x)＝tan 2x+π4，可得fx的最小正周期T＝π2，所以A错误；
令2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠π8+kπ2，k∈Z，
即函数fx的定义域为xx≠π8+kπ2，k∈Z，所以B正确；令2x＋π4＝kπ2，k∈Z，解得x＝－π8+kπ4，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝－π8，所以函数fx的图象关于点-π8，0对称，所以C正确；由x∈0，π8，可得2x＋π4∈π4，π2，根据正切函数的性质，可得函数fx在0，π8上单调递增，所以D正确．故选BCD.]
6．AC [对于A，∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，
又∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x是增函数，
∴sin 11°＜sin 12°，即sin 11°＜sin 168°.故正确；
对于B，∵sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs (180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°，
又∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x是增函数，
∴sin 14°＜sin 70°，即cs 160°＜sin 194°.故错误；
对于C，∵cs -15π8＝－cs 7π8， cs 14π9＝－cs 5π9，又∵y＝cs x在x∈[0，π]上是减函数，
∴－cs 5π9＜－cs 7π8，即cs -15π8＞cs 14π9.故正确；对于D，∵tan -π5＝－tan π5，tan -3π7＝－tan 3π7，又∵y＝tan x在x∈0，π2上是增函数，∴tan π5＜tan 3π7，即tan -π5＞tan -3π7.故错误．故选AC.]
7．sin πx(答案不唯一) [基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，
∴此题可考虑在正弦函数的基础上调整周期使其满足题意．
由此可知f(x)＝sin ωx且T＝2πω＝2⇒f(x)＝sin πx.]
8． 32 [因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时， y＝sin ωx是增函数；
当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sin ωx是减函数．
由已知得π2ω＝π3，解得ω＝32.]
9． π2(答案不唯一，只要等于π2＋2kπ，k∈Z即可) [∵f(x)＝sin (x＋φ)＋cs x的最大值为2，
又sin (x＋φ)≤1，cs x≤1，
则sin (x＋φ)＝cs x＝1时，f(x)取得最大值2．
由诱导公式，得φ＝π2＋2kπ，k∈Z.
∴φ的一个取值可为π2.]
10．[解] 因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2πω＝π.
所以ω＝2．所以f(x)＝sin (2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x).
所以sin (2x＋φ)＝sin (－2x＋φ)．
展开整理，得sin 2x cs φ＝0．
上式对任意x∈R都成立，
所以cs φ＝0．因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.
(2)因为f(x)的图象过点π6，32，
所以sin 2×π6+φ＝32，
即sin π3+φ＝32.
又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ<π.
所以π3＋φ＝2π3，所以φ＝π3.
所以f(x)＝sin 2x+π3.
令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-5π12，kπ+π12，k∈Z.
11．[解] (1)f(x)＝a·b＋32
＝(sin x，3cs x)·(cs x，－cs x)＋32
＝sin x·cs x－3cs2x＋32
＝12sin2x－32cs 2x＝sin 2x-π3.
令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝5π12+k2π(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝5π12+k2π(k∈Z)．
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝5π12对称，
则x1＋x2＝5π6，
∴cs (x1－x2)＝cs x1-5π6 -x1
＝cs 2x1-5π6＝cs 2x1-π3-π2
＝sin 2x1-π3＝f(x1)＝13.
12．AD [f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当π2∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确．综上，选AD.]
13．②③ [由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin (－x)＋1sin-x＝－sinx+1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为fπ2-x＝sin π2-x+1sinπ2-x＝cs x＋1csx，fπ2+x＝sinπ2+x+1sinπ2+x＝cs x＋1csx，所以fπ2+x＝fπ2-x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，③为真命题．当sin x＜0时，f(x)＜0，所以④为假命题．]
14．－98 30-28 [因为x∈-3π4，π4，则x＋π4∈-π2，π2，令t＝sin x+π4∈[－1，1]，
则t＝22(sin x＋cs x)，
t2＝12(1＋2sin x cs x)＝12(1＋sin 2x)，
则sin 2x＝2t2－1，所以y＝2t2＋t－1，
所以，当t＝－14时，函数y＝2t2＋t－1取得最小值，即ymin＝18-14－1＝－98，此时sin θ+π4＝－14，由已知θ＋π4∈-π2，π2，
所以，cs θ+π4＝1-sin2θ+π4＝154，csθ＝cs θ+π4-π4＝cs θ+π4cs π4＋sin θ+π4sin π4＝30-28.]
15．[解] 由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，则有5π6ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝65k＋25(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4．
此时，f(x)＝4sin 4x+π6＋a.
由x∈0，π12，得4x＋π6∈π6，π2，因此当4x＋π6＝π2，即x＝π12时，f(x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．
若选择②，即f(x)的图象关于点5π18，0对称，则有5π18ω＋π6＝kπ(k∈Z)，解得ω＝185k－35(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，所以k＝1，ω＝3．
此时，f(x)＝4sin 3x+π6＋a.
由x∈0，π12，得3x＋π6∈π6，5π12，因此当3x＋π6＝5π12，即x＝π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12＋a＝6+2＋a，令6+2＋a＝3，解得a＝3－6-2，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．
若选择③，即f(x)在-π4，π4上单调递增，
则有-ωπ4+π6≥2kπ-π2，ωπ4+π6≤2kπ+π2 (k∈Z)，
解得ω≤-8k+83，ω≤8k+43，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1．
此时，f(x)＝4sin x+π6＋a，
由x∈0，π12，得x＋π6∈π6，π4，因此当x＋π6＝π4，即x＝π12时，f(x)取得最大值22＋a，令22＋a＝3，解得a＝3－22，符合题意．
故存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．