高考数学一轮复习课时分层作业51双曲线含答案

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1．A [双曲线离心率e＝ca＝2，故c＝2a，b＝3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2-33a2＝1a2＝1，故a＝1，b＝3，故双曲线方程为x2－y23＝1.]
2．A [由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝53|PF2|.
又P是双曲线x24-y212＝1上的一点，则
|PF1|－|PF2|＝23|PF2|＝4，则|PF2|＝6，|PF1|＝10，
又|F1F2|＝8，则|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，则PF2⊥F1F2.
则△PF1F2的面积等于12|PF2|·|F1F2|＝12×6×8＝24.故选A.]
3．D [由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，
P(1，2)在一条渐近线上，所以ba＝2，进而可得c＝5a，
由|PF|＝b，可得1-c2+22＝b.
∴(1－c)2＋4＝b2，∴1＋c2－2c＋4＝b2＝45c2，
∴c2－10c＋25＝0，解得c＝5，∴2c＝10.
故选D.]
4．D [设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知
B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1＝y22-y12x22-x12.
因为点A，P在双曲线上，
所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，
得x22-x12a2＝y22-y12b2，所以b2a2＝y22-y12x22-x12.
所以kPA·kPB＝b2a2＝43，所以e2＝a2+b2a2＝73，所以e＝213.故选D.]
5．CD [双曲线C：y23－x2＝1的焦点在y轴上，a＝3，b＝1，c＝a2+b2＝2.
对于A选项，PF1-PF2＝2a＝23，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±abx＝±3x，故B错误；
对于C选项，e＝ca＝23＝233，故C正确；
对于D选项，设Px，y，则PO＝x2+y2＝x2+3x2+3＝3+4x2≥3(x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以PF1+PF2＝2PO＝2PO≥23，故D正确．
故选CD.]
6．ACD [对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m+y21n＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± -mnx，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.]
7． 33 [双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，
解得m＝33或m＝－33(舍去)．]
8．y＝2x－1或y＝x＋1－2或y＝－x＋1＋2(只需答其中之一即可) [显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(1－k2)x2－2k(1－2k)x－2＋22k－2k2＝0，
当1－k2＝0，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x＋1－2，或y＝－x＋1＋2，
当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－2k)2－4(1－k2)(－2＋22k－2k2)＝0，所以k1＝k2＝2，
此时直线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－1.]
9．2+2 [由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± a2b2b2-a2，所以2·a2b2b2-a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2+2.]
10．[解] (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即M点到x轴的距离为255.
(2)设双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线C过点(32，2)，
∴1816-λ-44+λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为x212-y28＝1.
11．[解] (1)由题意得ba＝255，①
S△AF1F2＝12×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是x25-y24＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
将y＝kx＋m与x25-y24＝1联立，消去y，
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，
得4-5k2≠0， 80m2-5k2+4>0，④
∴x1＋x2＝10km4-5k2，x1x2＝－5m2+204-5k2，
∴x0＝x1+x22＝5km4-5k2，y0＝kx0＋m＝4m4-5k2.
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，
∴kAD＝y0-2x0＝4m4-5k2-25km4-5k2＝－1k，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m<－92或m>0.
由10k2＝8－9m>0，得m<89.
综上，实数m的取值范围是m<－92或012. ACD [双曲线C：x24-y25＝1的渐近线方程可表示为x24-y25＝0，双曲线y25-x24＝1的渐近线方程可表示为y25-x24＝0，整理后都是y＝±52x，故A正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，∴过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：
故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±52，焦点在x轴上，∴若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈-52，52，如图所示：
故C正确；由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切．故选ACD.]
13．BD [设P(x0，y0)，Ax1，y1，因为A，B关于坐标原点对称，则B-x1，-y1，由已知得x12a2-y12＝1，x02a2-y02＝1，两式相减得x12-x02a2＝y12-y02，所以y02-y12x02-x12＝1a2，因为kPA·kPB＝y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1＝14，所以1a2＝14，得a＝2，所以选项B正确，A错误；
因为P在右支上，记PF2＝t，则PF1＝4＋t，因为PF1⊥PF2，所以t+42＋t2＝20，解得t＝6－2或t＝－6－2(舍去)，所以△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12 6-2×6+2＝1.所以选项D正确，C错误．
故选BD.]
14． 6+22 [如图，根据题意得F(c，0)，Ac，b2a，B-c，-b2a，所以k1＝kBF＝b22ac，k2＝kBA＝b2ac＝2k1.
设直线BA，BF的倾斜角分别为α，β，
则tan ∠ABF＝tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ＝2k1-k11+2k12＝11k1+2k1≤24，
当且仅当k1＝b22ac＝22时等号成立，即b2＝2ac.
所以c2－a2＝2ac，即e2－2e－1＝0，
又e＞1，解得e＝6+22.]
15．[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2-y2a2-1＝1(a＞1)上，所以4a2-1a2-1＝1，解得a2＝2，即双曲线C：x22－y2＝1.
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立y=kx+m，x22-y2=1 可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－4mk2k2-1，x1x2＝2m2+22k2-1，
所以由kAP＋kAQ＝0可得，y2-1x2-2+y1-1x1-2＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×2m2+22k2-1＋(m－1－2k)×-4mk2k2-1－4(m－1)＝0，
化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，
因为tan ∠PAQ＝2 2，所以tan (β－α)＝2 2，即tan 2α＝－2 2，
即2tan2α－tanα－2＝0，解得tan α＝2，
于是，直线AP：y＝2(x－2)＋1，
直线AQ：y＝－2(x－2)＋1，
联立y=2x-2+1，x22-y2=1 可得，32x2＋2 2(1－2 2)x＋10－4 2＝0，
因为方程有一个根为2，所以xP＝10-4 23，yP＝4 2-53，
同理可得，xQ＝10+4 23，yQ＝-4 2-53.
所以PQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝163，
点A到直线PQ的距离d＝2+1-532＝2 23，
故△PAQ 的面积为12×163×2 23＝16 29.