高考数学一轮复习课时分层作业52抛物线含答案

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1．C [依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.]
2．B [由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，
不妨设点A在x轴上方，代入得A(1，2)，
所以|AB|＝3-12+0-22＝2 2.
故选B.]
3．C [如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－p2，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为点M，
则AA'＝AF，BB'＝BF，
又|FA|＝3|FB|，
所以AM＝2BF，AB＝4BF，
所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C.]
4．C [由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2. 由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4，所以4＜y0＋2，从而y0＞2. 故选C. ]
5．BCD [对于选项A，将点2，12代入抛物线方程，可得p＝2，故选项A错误；
对于选项B，焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，点(－2，1)，点(2，1)在抛物线上，可得|AB|＝4，故选项B正确；
对于选项C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程x2=4y， y=kx+1，
消去y后整理为x2－4kx－4＝0，
可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，
y1y2＝x12x2216＝1，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
有1AF+1BF＝1y1+1+1y2+1＝y1+y2+2y1y2+y1+y2+1＝y1+y2+2y1+y2+2＝1，
故选项C正确；
对于选项D，有(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，
可得2x2＝－x1，由x1+x2=4k， x1x2=-4， 2x2=-x1，
有-x2=4k， -2x22=-4，解得k＝±24，故选项D正确．故选BCD.]
6．ACD [当a＝1时，A1，0为抛物线的焦点，设Px0，y0，x0≥0，
则PA＝x0＋1≥1，故PA的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为l：x＝－1，过点P作PN⊥l于点N，如图1，
此时PA+PM＝PN+PM，
故当N，P，M三点共线时，PA+PM取得最小值，
此时PA+PMmin＝3＋1＝4，C正确；
图1
当a＝3时，A3，0，连接AM，并延长AM交抛物线于点P′，如图2，
图2
此时PA-PM＝P'A-P'M＝AM为PA-PM的最大值，
当P在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于AM，
因为AM＝3-32+-2-02＝2，故D正确；
此时PA＝x0-32+y02＝x0-32+4x0＝x0-12+8，
当x0＝1时，PAmin＝22，B错误．故选ACD.]
7．1 4 [因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F12，0，
所以p＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝2x1，y22＝2x2，
设AB的中点为M(x0，1)，直线l的斜率为k，
所以y1+y22＝1，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
故y1-y2x1-x2·y1+y22＝1，故k＝1.
故l的方程为y＝x－12，所以x0＝1＋12＝32.
故|AB|＝2x0+p2＝4.]
8．3 [由题意可知，点F的坐标为12，0，
又F为△ABC的重心，故xA+xB+xC3＝12，
即xA＋xB＋xC＝32.又由抛物线的定义可知|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋32＝32+32＝3.]
9．3 [法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4, 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x可得y＝±23，所以△POF的面积为12|y|·|OF|＝12×23×1＝3.
法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝p1-csθ＝21-csθ＝4，∴cs θ＝12，即θ＝60°.
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×32＝23.
∴S△POF＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝3.]
10．[解] (1)依题意y=kx+1y2=4x 消去x得ky2－4y＋4＝0，
①当k＝0时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当k≠0时，Δ＝(－4)2－4×4k＝0，解得k＝1；
综上，当k＝1或k＝0时直线与抛物线只有一个交点．
(2)抛物线C：y2＝4x，所以焦点F(1，0)，所以直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=x-1y2=4x ，消去x得y2－4y－4＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝y1+y22-4y1y2＝42-4×-4＝42，
所以S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×1×42＝22.
11．[解] (1)设点M(x0，y0)，由题意可知|y0|＝4p，
所以(4p)2＝2px0，解得x0＝8.
因为|MF|＝x0＋p2＝8＋p2＝9，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设直线AB的方程为x＝my+1，Ay124，y1，By224，y2，
联立方程组y2=4x， x=my+1，消去x得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
设E(－1，n)，则kEA＋kEB＝y1-ny124+1+y2-ny224+1
＝y1y24y1+y2+y1+y2-ny124+y224-2ny124+1y224+1
＝-ny124+y224+2y124+y224+2＝－n，
又因为kEF＝－n2，所以kEA＋kEB＝2kEF，
即直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．
12．A [由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－1k，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－1k(x－1)．
由y2=4x， y=kx-1，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2+4k2＝2＋4k2，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4k2.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4k2≥8＋216＝16.
当且仅当1k2＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16.]
13．D [对于y2＝4x，令y＝1，得x＝14，即A14，1，
结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
据此可得xAxB＝1，所以xB＝1xA＝4，
故|AB|＝xA＋xB＋p＝254.
将x＝4代入y2＝4x，可得y＝±4，故B(4，－4)，
故|MB|＝4-32+-4-12＝26.
故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝3-14+254+26＝9＋26，故选D.]
14．ACD [对于A，设直线MB的方程为x＝－1＋my，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值π4，故A正确；
对于B，设点A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，2)，设P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，
当且仅当A，P，A′三点共线时等号成立，故B错误；
对于C，M(－1，0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1，
代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，
设By124，y1，Cy224，y2，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，则kMB＋kMC＝y1y124+1+y2y224+1＝y1+y2y1y24+1y124+1y224+1＝0，故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC.故C正确；
对于D，由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝y1y124＝4y1 ，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，则kOB＝kOD，
可得三点B、O、D在同一条直线上．故D正确．
故选ACD.]
15．[解] (1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝y1-4x1-4+y2-4x2-4＝x1+44+x2+44＝x1+x2+84＝0，∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝y2-y1x2-x1＝x22-x124x2-x1＝x1+x24＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝y4-y3x4-x3＝x3+x44＝x02＝12，∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞14，即b＞94.
由y=-2x+b，x2=4y， 得x2＋8x－4b＝0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
∴|BC|＝1+4|x1－x2|
＝5·x1+x22-4x1x2
＝5×64+16b.
又b＞94，∴|BC|＞105.
∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．