高考数学一轮复习第6章7数列的综合应用学案

这是一份高考数学一轮复习第6章7数列的综合应用学案，共8页。
[典例1] 容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn.
(1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列；
(2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)；
(3)求an，bn的表达式．
[解] (1)由题意，b1＝1515+4×120＝225，
a1＝16225+5×15＝950.
∵bn＋1＝an+4bn5，an＋1＝16(5an＋bn＋1)＝26an+4bn30，
∴an＋1－bn＋1＝23(an－bn)，∴{an－bn}是等比数列．
(2)由(1)知an－bn＝110×23n-1，
∴110×23n-1＜1%，
∴n－1＞1lg3-lg2≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次．
(3)∵bn＋1＝15bn+110 ×23n-1+4bn，
∴bn＋1－bn＝3100×23n，
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝225+3100×23+…+23n-1
＝－9100×23n＋750.
∴an＝bn＋110×23n-1＝350×23n＋750.
解应用问题的核心是建立数学模型．
(1)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(2)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
[跟进训练]
1. “绿水青山就是金山银山”．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2019年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加14.
(1)设n年内(2019年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
[解] (1)2019年投入1 000万元，第n年投入为1 000×1-15n-1万元，
所以n年内的总投入为
Sn＝1 000＋1 0001-15＋…＋1 0001-15n-1＝1 0001-45n1-45＝5 0001-45n，
2019年旅游业收入为500万元，第2年旅游业收入为500×1+14万元，
第n年旅游业收入为500×1+14n-1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
Tn＝500＋500×1+14＋…＋500×1+14n-1
＝5001-54n1-54＝2 000×54n-1.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，
即2 000×54n-1－5 0001-45n>0，
化简得5×45n＋2×54n－7>0，
设x＝45n，代入上式得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x1(舍去)．
即45nan成立的n的最小值．
(2)已知数列an的前n项和为Sn，点n，Snn在直线y＝x＋4上，数列bn满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0n∈N*且b4＝8，前11项和为154.
①求数列an，bn的通项公式；
②令cn＝32an-22bn+5，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn>k75对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
(1)[解] ①设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∴a1+2d=5a1+55-12d，ⅰ a1+da1+3d=4a1+44-12d，ⅱ
由(ⅰ)得a1＋2d＝0⇒a1＝－2d，代入(ⅱ)得(－d)·d＝－8d＋6d⇒d2－2d＝0，
∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6.
②Sn＝－4n＋nn-12·2＝n2－5n，
由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，解得n＜1或n＞6，又n∈N*.
所以n的最小值为7.
(2)[解] ①由题意，得Snn＝n＋4，即Sn＝n2＋4n，
故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－n-12－4n-1＝2n＋3，∵n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，
∴an＝2n＋3，n∈N*.
又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，
∴bn为等差数列，∴11b4+b82＝154，
∵b4＝8，∴b8＝20，∴d＝20-88-4＝3，
∴bn＝b4＋3n-4＝3n－4，
即bn＝3n－4，n∈N*.
②cn＝32an-22bn+5
＝322n+3-22·3n-4+5
＝322n+16n-3＝122n+12n-1＝1412n-1-12n+1.
∴Tn＝141-13+13-15+…+12n-1-12n+1＝141-12n+1＝n4n+2.
∵Tn＋1－Tn＝n+14n+6-n4n+2＝14n+62n+1>0，
∴Tn单调递增，故Tnm＝16，
令16>k75，得kk75对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值为12.