高考数学一轮复习第1章第2课时常用逻辑用语学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第2课时常用逻辑用语学案，共14页。

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[常用结论]
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B.
(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；
(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；
(3)p是q的充要条件⇔A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．( )
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．( )
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．( )
(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件
D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
ABD [A：由a＝b有ac＝bc，当ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命题；
B：若a＝1>b＝－2时a2C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；
D：a＋5是无理数，则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．故选ABD.]
2．(多选) (人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2－x＋1>0
B．∃x∈R，sin x＝2
C．存在一个无理数，它的平方是有理数
D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
[答案] ACD
3．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T6(3)改编)存在量词命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
[答案] ∃x，y∈R，x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为________．
[答案] [3，＋∞)
考点一 充分、必要条件
充分、必要条件的判定
[典例1] (2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cs x＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [∵sin x＝1一定有cs x＝0，充分性成立；cs x＝0不一定有sin x＝1，必要性不成立，∴“sin x＝1”是“cs x＝0”的充分不必要条件，选A.]
充分、必要条件的探求
[典例2] (2022·济宁二模)“x>y”的一个充分不必要条件是( )
A．ln x>ln y B．x2>y2
C．x3>y3 D．1x<1y
A [对于A，ln x>ln y⇔x>y>0，∴ “ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，x2>y2⇔|x|>|y|，∴ “x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，x3>y3⇔x>y，∴ “x3>y3”是“x>y”的充要条件，故C错误；对于D，1x<1y⇔xy>0，y0，∴“1x<1y ”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选A.]
充分、必要条件的应用
[典例3] (链接常用结论)已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.
则1-m≤1+m，1-m≥-2， 1+m≤10， ∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3].
[拓展变式] 本例条件不变，若x∈A的必要条件是x∈B，求m的取值范围．
[解] 由原题知A＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈A的必要条件是x∈B，即x∈B是x∈A的必要条件，∴A⊆B，
∴1-m≤1+m，1-m≤-2， 1+m≥10， 解得m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞)．
(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法．
(2)充分条件、必要条件的探求要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”．
(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验．
[跟进训练]
1．(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A．－10
C．－1(2)已知命题p：x2－3x＋2≤0，命题q：x2－4x＋4－m2≤0．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
(3)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
(1)D (2)D (3)ac＜0 [(1)ln (x＋1)<0等价于0(2)由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2，
由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|，
若p是q的充分不必要条件，则2-m≤1，2+m>2 或2-m<1，2+m≥2，解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1．故选D.
(3)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是Δ=b2-4ac>0，ca <0， 即ac<0.]
考点二 全称量词与存在量词
含量词命题的否定
[典例4] (1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为( )
A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x
C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x
(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________．
(1)C (2)存在一个奇数，它的立方不是奇数 [(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C.
(2)命题的否定为：存在一个奇数，它的立方不是奇数．]
含量词命题的真假判断
[典例5] (多选)下列四个命题中真命题是( )
A．∀x∈R，2x-1＞0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
ACD [当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.]
含量词命题的应用
[典例6] 若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
[四字解题]
(－4，0) [法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，
∴当p为假命题时，－4法二：∵p为假命题，
∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题，
即Δ＝m2＋4m<0，∴－4 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
[跟进训练]
2．(1)已知命题p：∀x≥0，ex≥1，则¬p为( )
A．∃x<0，ex<1
B．∃x≥0，ex<1
C．∃x＞0，ex≥1
D．∃x<0，ex≥1
(2)若“∀x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
(1)B (2)1 [(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以¬p：∃x≥0，ex<1，故选B.
(2)因为函数y＝tan x在0，π4上是增函数，所以ymax＝tan π4＝1．依题意知，m≥ymax，即m≥1．所以m的最小值为1.]
课时分层作业(二) 常用逻辑用语
一、选择题
1．(2022·北京丰台一模)已知命题p：∃x>1，x2－1>0，那么¬p是( )
A．∀x>1，x2－1>0 B．∀x>1，x2－1≤0
C．∃x>1，x2－1≤0 D．∃x≤1，x2－1≤0
B [已知存在量词命题p：∃x>1，x2－1>0，
则¬p为全称量词命题：∀x>1，x2－1≤0．故选B.]
2．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.]
3．(2022·青岛一模)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a>0 B．a≥0
C．a≤0 D．a≤1
B [根据题意，命题“∀x∈R，ax2＋1≥0为真命题”，即不等式ax2＋1≥0恒成立，
当a＝0时，不等式为1≥0，恒成立，
当a≠0时，必有a>0， Δ=0-4a≤0，
解得a>0．综上可得a≥0，故选B.]
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使1x>2
B [A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有1x<0，不满足1x>2，所以D是假命题．]
5．(2023·湖南长沙雅礼中学模拟)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为( )
A．-∞，37 B．(－∞，3]
C．37，+∞ D．(3，＋∞)
D [因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，
所以∀x∈[1，3]，f(x)＞－m＋2.
又f(x)＞－m＋2可化为mx2－mx－1＞－m＋2，即m(x2－x＋1)＞3，
当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，
所以m＞3x2-x+1在x∈[1，3]上恒成立，
所以m＞3x2-x+1m，其中x∈[1，3]，
当x＝1时，x2－x＋1有最小值为1，此时3x2-x+1有最大值为3，所以m＞3，
故实数m的取值范围是(3，＋∞)，故选D.]
6．若关于x的不等式|x－1|A．a≤1 B．a<1
C．a>3 D．a≥3
D [|x－1|7．(多选)(2023·湖北鄂南高中模拟)给定命题p：∀x>m，都有x2>8．若命题p为假命题，则实数m可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
AB [由于命题p为假命题，所以命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题．当m＝1时，则x>1，令x＝2，22<8，所以选项A正确；当m＝2时，则x>2，令x＝2.5，2.52<8，所以选项B正确；当m＝3时，则x>3，x2>9，x2≤8不成立，所以选项C错误；当m＝4时，则x>4，x2>16，x2≤8不成立，所以选项D错误．故选AB.]
8．(多选)使不等式1＋1x>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>2 B．x≥0
C．x<－1或x>1 D．－1AC [不等式1＋1x>0⇔x+1x>0⇔(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．A，B，C，D四个选项中，只有A，C对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC.]
二、填空题
9．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
充分不必要 充要 [由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．]
10．(2022·怀化一模)已知a∈R，且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
[2，＋∞) [x2>2x等价于x<0或x>2，
而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2.]
11．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形．由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件是________．
a2＋b2>c2 [∵a，b，c是△ABC的三条边，满足a≤b≤c，若△ABC为锐角三角形，则cs C＝a2+b2-c22ab>0，即a2＋b2>c2；
反之，若a2＋b2>c2，则cs C＝a2+b2-c22ab>0.
∴△ABC为锐角三角形的一个充要条件是a2＋b2>c2.]
12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________．(选“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空)
必要条件 [由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．]
13．已知fx＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题：
p1：x＝12是fx的零点
p2：x＝2是fx的零点
p3：fx的两个零点之和为1
p4：fx有两个异号零点
若只有一个假命题，则该命题是( )
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
A [由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题．
若p1是假命题，p2，p3是真命题，则fx的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意；
若p2是假命题，p1，p3是真命题，则fx的另一个零点为x＝12，此时p4为假命题，不符合题意．
故选A.]
14．已知f(x)＝x2，g(x)＝12x－m.若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
14，+∞ [当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0；当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m.
由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.]
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，¬p(x)
∀x∈M，¬p(x)
读
想
算
思
命题p：
∃x∈R，x2－mx－m≤0为假命题
若p为真命题
计算判别式Δ≥0
补集思想
若¬p为真命题
计算判别式Δ<0
转化化归