高考数学一轮复习第1章第4课时基本不等式学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第4课时基本不等式学案，共19页。
2．能用基本不等式解决简单的最值问题.
3．掌握基本不等式在生活实际中的应用．
1．基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2xy，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．
(2)xy≤x+y22，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值q24(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[常用结论]
1．几个重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；,（2）\f(b,a)＋\f(a,b)≥2（a，b同号且不为零）；,（3）ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))\s\up10(2)（a，b∈R）；,（4）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))\s\up10(2)≤\f(a2＋b2,2)（a，b∈R）.)) eq \a\vs4\al(当且仅当a＝b,时等号成立)
2．基本不等式链
若a＞0，b＞0，则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋4sinx，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是xy+yx≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P46例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [xy≤x+y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋1x-2的最小值是( )
A．1 B．2
C．22 D．4
D [∵x>2，∴x＋1x-2＝x－2＋1x-2＋2≥2x-2·1x-2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x-2，即x＝3时，等号成立．故选D.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A．ba+ab≥2 B．ab≤a2+b22
C．a2+b22≥a+b22 D．2aba+b≤ab
BC [当ba1，所以x－1>0，则
y＝x2+2x-1＝x2-2x+1+2x-2+3x-1
＝x-12+2x-1+3x-1
＝(x－1)＋3x-1＋2≥23＋2.
当且仅当x－1＝3x-1，即x＝3＋1时，取等号．]
常数代换法
[典例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1+1a1+1b的最小值为________．
9 [1+1a1+1b＝1+a+ba1+a+bb＝2+ba2+ab＝5＋2ba+ab≥5＋4＝9．当且仅当a＝b＝12时，等号成立．]
[拓展变式] (1)若本例中的条件不变，则1a+1b的最小值为________．
(2)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则1+1a1+1b的最小值为________．
(1)4 (2)114+102 [(1)因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1a+1b＝a+ba+a+bb＝2＋ba+ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a+1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．
(2)由4a＋b＝4得a＋b4＝1，1+1a1+1b＝1+a+b4a1+a+b4b
＝2+b4a54+ab＝52+2ab+5b16a+14≥114＋258＝114+102.
当且仅当42a＝5b时，等号成立．]
消元法
[典例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
6 [法一(换元消元法)：
由已知得x＋3y＝9－xy，
∵x>0，y>0，
∴x＋3y≥23xy，
∴3xy≤x+3y22，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴x＋3y＋13 x+3y22≥9，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)：
由x＋3y＋xy＝9，得x＝9-3y1+y，
∴x＋3y＝9-3y1+y＋3y＝9-3y+3y1+y1+y
＝9+3y21+y＝31+y2-61+y+121+y
＝3(1＋y)＋121+y－6≥231+y·121+y－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝121+y，即x＝3，y＝1时等号成立，
∴x＋3y的最小值为6.]
【教师备选题】
(多选)(2022·襄阳联考)已知x＞0，y>0，x＋2y＋xy－6＝0，则( )
A．xy的最大值为2
B．x＋2y的最小值为4
C．x＋y的最小值为42－3
D．(x＋2)2＋(y＋1)2的最小值为16
BCD [由x＋2y＋xy－6＝0，得x＋2y＝6－xy.
因为x＞0，y>0，所以x＋2y＝6－xy>0，所以00且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴1x-1+12y-1＝1m+1n＝1m+1n(m＋n)
＝2＋nm+mn≥2＋2＝4，
当且仅当nm＝mn，即m＝n＝12，x＝32，y＝34时取“＝”．
∴1x-1+12y-1的最小值为4.]
考点二 基本不等式的实际应用
[典例4] 某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km+1(k为常数)，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2024年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
所以1＝3－k⇒k＝2，
所以x＝3－2m+1，
每万件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元)，
所以2024年的利润y＝1.5x×8+16xx－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋83-2m+1－m＝－16m+1+m+1＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，16m+1＋(m＋1)≥216m+1·m+1＝216＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当16m+1＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
【教师备选题】
为解决医用防护服短缺问题，政府决定为生产医用防护服的公司提供x(x∈[0，10])(万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t＝k6-12x+4(万件)，其中k(k∈[0.5，1])为工人的复工率．公司生产t万件防护服还需投入成本(20＋8x＋50t)(万元)．
(1)将公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
(2)当复工率k＝0.7时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？
(3)对任意的x∈[0，10](万元)，当复工率k达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01)
[解] (1)依题意，y＝x＋80t－20+8x+50t＝30t－20－7x＝180k－360kx+4－7x－20，x∈0，10.
(2)当k＝0.7时，y＝180×0.7－360×0.7x+4－7x－20＝－7x－252x+4＋106
＝－7x+4+252x+4＋134≤－27x+4·252x+4＋134＝50，
当且仅当7x+4＝252x+4，即x＝2时等号成立，
所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为50万元．
(3)若对任意的x∈[0，10]，公司都不亏损，则180k－360kx+4－7x－20≥0在x∈0，10恒成立，
∴k≥7x2+48x+80180x+2，令t＝x＋2∈2，12，
∴k≥7t2+20t+12180t＝11807t+12t+20，
设ft＝7t＋12t＋20，则f(t)在t∈2，12上单调递增，
∴ftmax＝f12＝7×12＋1212＋20＝105，
∴k≥1180×105≈0.58.
即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损．
利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性．
[跟进训练]
2．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝1 000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149
C．165 D．195
(2)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
(1)B (2)30 [(1)由题意得，
N＝1 000v0.7v+0.3v2+30＝1 0000.7+0.3v+30v≤1 0000.7+20.3×30≈149，当且仅当0.3v＝30v，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
(2)由题意得，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为6·600x＋4x＝4900x+x≥8900x·x＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.]
课时分层作业(四) 基本不等式
一、选择题
1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为( )
A．14 B．4
C．12 D．2
D [4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2．故选D.]
2．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
C [依题意ab＝a＋b，
∴a＋b＝ab≤a+b22，
即a＋b≤a+b24，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，
∴a＋b的最小值为4.
故选C.]
3．(2023·日照实验中学模拟)下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋2x B．y＝x2+3x2+2
C．y＝ex＋e－x D．y＝lg3x＋lgx3(00，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x0，所以x+6x+2＝x+2+4x+2＝x+2+4x+2≥2x+2·4x+2＝4，当且仅当x+2＝4x+2，即x＝2时取等号，故B正确；
对于C：因为x>0，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D：x2-x+9x-1＝x-12+x-1+9x-1＝－1-x+91-x＋1≤－29＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－9x-1，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
6．(多选)(2022·石家庄二模)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A．1m+1n的最小值为2
B．mn的最大值为1
C．m+n的最大值为4
D．m2＋n2的最小值为54
AB [∵m>0，n>0，m＋n＝2，
∴1m+1n＝12m+n1m+1n＝122+nm+mn≥122+2nm·mn＝2，
当且仅当nm＝mn，即m＝n＝1时等号成立，故A正确；
∵m＋n≥2mn，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确；
∵m+n2≤2m2+n2＝4，∴m+n≤2m+n＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，∴m+n的最大值为2，故C错误；
m2＋n2≥m+n22＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．故选AB.]
二、填空题
7．函数f(x)＝x2+4x的最小值为________．
[答案] 4
8．若00，且1x+1+1y＝12，所以x＋1＋y＝21x+1+1y[(x＋1)＋y]＝21+1+yx+1+x+1y≥22+2yx+1·x+1y＝8，当且仅当yx+1＝x+1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7．故选C.]
13．(2023·淄博模拟)已知a>0，b>0，且ab＝1，则12a+12b+8a+b的最小值为________．
4 [∵a>0，b>0，∴a＋b>0，又∵ab＝1，
∴12a+12b+8a+b＝ab2a+ab2b+8a+b
＝a+b2+8a+b≥2a+b2·8a+b＝4，
当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时，等号成立．]
14．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a1+xx元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
[解] (1)设甲工程队的总报价为y元，
则y＝3300×2x+400×24x＋14 400
＝1 800x+16x＋14 400≥1 800×2x·16x＋14 400＝28 800，3≤x≤6，当且仅当x＝16x，即x＝4时等号成立．
故当左、右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元．
(2)由题意可得1 800x+16x＋14 400>1 800a1+xx对任意的x∈[3，6]恒成立，故x+42x＞a1+xx，
从而x+42x+1>a恒成立，
令x＋1＝t，x+42x+1＝t+32t＝t＋9t＋6，t∈[4，7].
令g(t)＝t＋9t＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25.
所以a的取值范围为(0，12.25)．