高考数学一轮复习第2章第1课时函数的概念及其表示学案

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第1课时 函数的概念及其表示
[考试要求]
1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3．了解简单的分段函数，并能简单应用.
1．函数的概念
2．同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
提醒：函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
[常用结论]
注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ+π2，┤k∈Z}.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝x-3+2-x是一个函数．( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝3x2+2x，x≥0，2x+4，x<0， 则f(f(－1))＝( )
A．16 B．4
C．5 D．－4
A [f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A.]
2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
A B C D
B [函数f(x)＝|x－1|＝x-1，x≥1，1-x，x<1. 结合选项可知，选项B正确．故选B.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝-x3与g(x)＝x-x
C．f(x)＝xx与g(x)＝1x0
D．f(x)＝x与g(x)＝x2
AC [f(x)＝-x3与g(x)＝x-x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝x2＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．]
4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a的值为________．
(－∞，0)∪(0，＋∞) 1 [要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由f(a)＝2得a＋1a＝2，解得a＝1.]
考点一 求函数的定义域
[典例1] (1)(链接常用结论)函数f(x)＝3xx-1＋ln (2x－x2)的定义域为( )
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
(2)若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
(1)B (2)[1，3] [(1)要使函数有意义，则x-1>0， 2x-x2>0， 解得1所以函数f(x)＝3xx-1＋ln (2x－x2)的定义域为(1，2)．故选B.
(2)∵f(x)的定义域为[0，2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1，3].]
[拓展变式] 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0，2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
[2，4] [∵f(x＋1)的定义域为[0，2]，∴0≤x≤2，∴1≤x＋1≤3，∴1≤x－1≤3，∴2≤x≤4，∴f(x－1)的定义域为[2，4].]

【教师备选题】
已知函数f(x－1)的定义域为[0，2 022]，则函数g(x)＝fx+1x-1的定义域为________．
[－2，1)∪(1，2 020] [由函数f(x－1)的定义域为[0，2 022]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1，2 021].
令-1≤x+1≤2 021，x≠1， 得－2≤x≤2 020且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2，1)∪(1，2 020].]
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
[跟进训练]
1．(1)(2023·重庆南开中学模拟)若函数y＝f(x)的定义域是0，6，则函数g(x)＝f3xx-2的定义域是( )
A．0，2 B．(0，2)
C．0，2 D．(0，3)
(2)若函数f(x)＝mx2+mx+1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
(1)C (2)[0，4] [(1)由条件可知0≤3x≤6，x-2≠0，解得0≤x<2，所以函数g(x)的定义域为0，2，故选C.
(2)由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则m>0， Δ=m2-4m≤0， 解得0综上可得0≤m≤4.]
考点二 求函数的解析式
[典例2] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知fx+1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
[解] (1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)(配凑法)∵fx+1x＝x2＋1x2＝x+1x2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以2a=1，a+b=-1， 即a=12，b=-32.
所以f(x)＝12x2－32x＋2.
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
求函数解析式的常用方法
待定系数法-若已知函数的类型，可用待定系数法
|
换元法-已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
|
配凑法-由已知条件fgx＝Fx，可将Fx改写成关于gx的表达式，然后以x替代gx，便得fx的解析式，注意gx的取值范围
|
构造法-已知关于fx与f1x或f－x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx
[跟进训练]
2．(1)(易错题)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________．
(2)已知f(x)满足f(x)－2f1x＝2x，
则f(x)＝________．
(3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________．
(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)－2x3-43x (3) 4x＋1 [(1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
因为x＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)因为f(x)－2f1x＝2x，①
以1x代替①中的x，得f1x－2f(x)＝2x，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋4x，
所以f(x)＝－2x3-43x.
(3)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1.]
考点三 分段函数
求值问题
[典例3] (1)(2022·泰安三模)已知函数f(x)＝ex+1，x≤0fx-4，x＞0，则f2 022＝________．
(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，x≤2，若f(f(6))＝3，则a＝__________．
(1)1e (2)2 [(1)∵f(x)＝ex+1，x≤0，fx-4，x＞0，
∴f2 022＝f(2 018)＝f(2 014) ＝…＝f(2)＝f(－2)＝e-2+1＝1e .
(2)因为6>2，所以f(6)＝6－4＝2，
所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.]
解方程或不等式
[典例4] (1)函数f(x)＝x+1，-1A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝lg2x，x＞1，x2-1，x≤1，则f(x)＜f(x＋1)的解集为________．
(1)D (2)-12，+∞ [(1)由分段函数的结构知，f(x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0.
①当0②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D.
(2)当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－12＜x≤0.
当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)＞0.
∴0＜x≤1恒成立；
当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)恒成立．
综上知，f(x)＜f(x＋1)的解集为-12，+∞.]
分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
[跟进训练]
3．(1)(2023·荆门市龙泉中学模拟)已知函数fx＝x+2，x≤-1x2，-1A．f0＝2
B．fx的值域为-∞，4
C．fx<1的解集为-1，1
D．若fx＝3，则x的值是1或3
(2)已知函数f(x)＝x2+x，x≥0，-3x，x<0， 若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
(1)B (2)(－∞，－2)∪(2，＋∞) [(1)因为fx＝x+2，x≤-1x2，-1由图可知f0＝0，故A错误；fx的值域为-∞，4，故B正确；由fx<1解得x的取值范围为-∞，-1∪-1，1，故C错误；
fx＝3，即x2=3-1故选B.
(2)由题意知，a≠0，当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2．当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2．综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
课时分层作业(五) 函数的概念及其表示
一、选择题
1．(2022·济南二模)函数y＝16-x2x的定义域是( )
A．[－4，0)∪(0，4] B．[－4，4]
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4，0)∪[4，＋∞)
A [由16-x2≥0x≠0 ，得－4≤x≤4，且x≠0，
所以函数y＝16-x2x的定义域是[－4，0)∪(0，4].故选A.]
2．设函数f1-x1+x＝x，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝1+x1-x(x≠－1) B．f(x)＝1+xx-1(x≠－1)
C．f(x)＝1-x1+x(x≠－1) D．f(x)＝2xx+1(x≠－1)
C [令t＝1-x1+x，则x＝1-t1+t，
∴f(t)＝1-t1+t，即f(x)＝1-x1+x(x≠－1)．
故选C.]
3．已知函数f(x)＝-ex，x≥0，ax2，x＜0，若f(f(0))＝1，则a的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
A [因为f(f(0))＝f(－e0)＝f(－1)＝a(－1)2＝1，所以a＝1．故选A.]
4．(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝3x3 B．y＝x2
C．y＝lg 10x D．y＝10lg x
AC [y＝x的定义域为R，值域为R，
对于A选项，函数y＝3x3＝x的定义域为R，故是同一个函数；对于B选项，函数y＝x2＝x≥0，与y＝x的解析式、值域均不同，故不是同一个函数；对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一个函数；对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一个函数．]
5．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0) B．(－2，0)
C．(0，1) D．-12，0
C [函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1)．
要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，∴f(2x－1)的定义域为(0，1)．故选C.]
6．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
A B
C D
A [由题意可得
y＝f(x)＝12x，0≤x＜1， 34-x4，1≤x＜2，54-12x，2≤x≤52.
画出函数f(x)的大致图象，故选A.]
7．(多选)(2023·海南中学模拟)已知函数f(2x)＝4x2＋1(x∈[－2，2])，下列说法正确的是( )
A．f(1)＝5
B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)的定义域为[－1，1]
D．f(x－1)的图象关于x＝1对称
BD [因为f(2x)＝4x2＋1(x∈[－2，2])，所以f(x)＝x2＋1，故B项正确； f(1)＝1＋1＝2，故A项错误；因为x∈-2，2，所以2x∈-4，4，故f(x)的定义域为-4，4，故C项错误；因为f(x)＝x2＋1，所以f(x)为偶函数，则f(x－1)的图象关于x＝1对称，故D项正确．故选BD.]
8．已知函数f(x)＝2x+1，x≤1，lnx+1，x>1，则满足f(x)＋f(x＋1)>1的x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．-34，+∞
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
B [由题意，根据函数的解析式可知，
当x≤1，x+1≤1，即x≤0时，f(x)＋f(x＋1)＝2x＋1＋2x＋3>1，得－34当x>1，x+1>1，即x>1时，ln x＋1>1，ln (x＋1)＋1>1，所以当x>1时，f(x)＋f(x＋1)>1恒成立；
当x≤1，x+1>1，即01恒成立．
综上，x>－34.故选B.]
二、填空题
9．已知函数f(x)＝ln (－x－x2)，则f(2x＋1)的定义域为________．
-1，-12 [由－x－x2＞0得－1＜x＜0，所以－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－12.
故f(2x＋1)的定义域为-1，-12.]
10．已知函数f(x)满足f1x+1xf(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，f12＝________．
72 94 [令x＝2，得f12+12f(－2)＝4，①
令x＝－12，得f(－2)－2f12＝－1，②
联立①②得f(－2)＝72，f12＝94.]
11．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
－12x(x＋1) [因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)．
故当－1≤x≤0时，f(x)＝－12x(x＋1)．]
12．设f(x)＝x+2x-3，x≥1，x2+1，x<1. 则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是________．
0 22－3 [∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋22－3＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，
当且仅当x＝2x，即x＝2时取等号，f(x)min＝22－3，
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
∴f(x)min＝1，综上得f(x)的最小值为22－3.]
13．(2023·山师大附中模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝3，则f(－3)＝( )
A．3 B．8
C．9 D．24
A [由题意，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，所以f(0)＝0；令x＝y＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝8；令x＝2，y＝1，得f(3)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝15；令x＝3，y＝－3，得f(0)＝f(3)＋f(－3)＋2×3×(－3)，即0＝15＋f(－3)－18，所以f(－3)＝3．故选A.]
14．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋x+1
C．y＝1x－lg3x
D．y＝x+1x+1
AD [对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一个函数值，故A可以构造“同值函数”；对于B，y＝x＋x+1，为定义在[－1，＋∞)上的单调递增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于C，y＝1x－lg3x，为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于D，y＝x+1x+1，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一个函数值，故D可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是AD. ]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．考查形式
本章在高考中一般考查2道小题，一般占10分．
2．考查内容
(1)函数的表示主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题．
(2)函数的性质主要考查函数奇偶性、单调性的应用以及函数的对称性与周期性的综合问题．
(3)函数的图象主要考查图象的识别问题．
(4)指数、对数、幂函数常常考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题．
(5)函数的应用主要考查函数的零点问题、函数的建模问题等．
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}