高考数学一轮复习第2章第2课时函数的单调性与最值学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第2课时函数的单调性与最值学案，共18页。

2．掌握函数单调性的简单应用．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；
(2)fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；
(3)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增
B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1[答案] C
2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)·x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
-∞，-12 [因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.]
3．(人教A版必修第一册P100复习巩固T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
(－∞，2] [由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.]
4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝21-x，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
－25 －2 [可判断函数f(x)＝21-x在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－25，f(x)min＝f(2)＝－2.]
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
[典例1] (1)(链接常用结论2)函数f(x)＝lg12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
A．12，3 B．-2，12
C．(－2，3) D．12，+∞
(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________．
(3)试讨论函数f(x)＝axx-1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
(1)A (2)(－∞，－1]和[0，1] [(1)由－x2＋x＋6>0，得－2(2)f(x)＝-x2+2x+1，x≥0-x2-2x+1，x<0
＝-x-12+2，x≥0，-x+12+2，x<0.
画出函数图象如图所示，
可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1].]
(3)[解] 法一(定义法)：设－1f(x)＝ax-1+1x-1＝a1+1x-1，
f(x1)－f(x2)＝a1+1x1-1－a1+1x2-1＝ax2-x1x1-1x2-1，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)法二(导数法)：f′(x)＝ax'x-1-axx-1'x-12＝ax-1-axx-12＝－ax-12.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
[跟进训练]
1．(1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝23x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝3x
(2)(举例问题)函数f(x)＝|x－1|x的单调递减区间是________，能使“函数f(x)在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为________．
(3)判断并证明函数 f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在[1，2]上的单调性．
(1)D (2)12，1 12，2(答案不唯一) [(1)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.
(2)f(x)＝x2-x，x≥1，-x2+x，x<1.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是12，1.
当x≥1时，f(x)＝x(x－1)＝x2－x；当x<1时，f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x，∴f(x)在-∞，12，(1，＋∞)上单调递增，在12，1上单调递减．令f(x)＝0，解得x＝1或x＝0；令f(x)＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a<1或I＝(b，2]，0≤b<1时，f(x)在I上不单调且函数值的集合为[0，2].]
(3)[解] 函数f(x)＝ax2＋1x(1＜a＜3)在[1，2]上单调递增．
法一：设1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22+1x2-ax12－1x1＝(x2－x1)ax1+x2-1x1x2，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，1＜x1x2＜4，－1＜－1x1x2＜－14.
又因为1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－1x1x2＞0，
从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1，3)时，f(x)在区间[1，2]上单调递增．
法二：f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3-1x2，
因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1＜a＜3，
所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在[1，2]上单调递增．
考点二 函数单调性的应用
比较函数值的大小
[典例2] (链接常用结论1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f-12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
D [因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f-12＝f52.当x2>x1>1时， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<52f52>f(e)，所以b>a>c.]
解不等式
[典例3] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4) 求参数的取值范围
[典例4] (1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
(2)(2023·淄博实验中学模拟)已知函数f(x)＝x2+12 a-2，x≤1，ax-a，x>1， 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
(1)D (2)(1，2] [(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D.
(2)由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为(1，2].]
【教师备选题】
如果函数f(x)＝(2-a)x+1，x<1，ax ，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2>0成立，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．32，2
D [因为对任意x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2>0，
所以y＝f(x)在R上是增函数．
所以2-a>0，a>1，2-a×1+1≤a，解得32≤a<2.
故实数a的取值范围是32，2.]
函数单调性应用问题的解题策略
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
[跟进训练]
2．(1)(易错题)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A．13，23 B．13，23
C．12，23 D．12，23
(2)(多选)已知函数f(x)，∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，fx2-fx1x2-x1＜0(x1≠x2)，以下结论中正确的是( )
A．f(0)＞f(－3)
B．∀x∈R，f(x)≤f(－1)
C．f(a2－a＋1)≥f34
D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2
(1)D (2)AB [(1)由题意得0≤2x－1<13，解得12≤x<23.
(2)由函数f(x)满足f(－2－x)＝f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，fx2-fx1x2-x1＜0(x1≠x2)，则函数f(x)在[－1，＋∞)上为减函数．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f(0)＞f(－3)，即A正确；对于选项B，由已知有f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[－1，＋∞)上为减函数，即f(x)max＝f(－1)，即B正确；对于选项C，a2－a＋1＝a-122＋34≥34，又f(x)在[－1，＋∞)上为减函数，所以f(a2－a＋1)≤f34，即C错误；对于选项D，若f(m)＜f(2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，即D错误．故选AB.]
考点三 求函数的值域或最值
[典例5] (1)函数f(x)＝13x－lg2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a>b. 设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
(1)3 (2)1 [(1)∵f(x)＝13x－lg2(x＋2)在区间[－1，1]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－1)＝3－lg21＝3.
(2)法一(图象法)：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二(单调性法)：依题意，h(x)＝lg2x，02.
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]
求函数最值的五种常用方法
单调性法-先确定函数的单调性，再由单调性求最值
|
图象法-先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
|
基本不等式法-先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
|
导数法-先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
|
换元法-对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
[跟进训练]
3．(1)函数y＝1＋x－1-2x的值域为( )
A．-∞，32 B．-∞，32
C．32，+∞ D．32，+∞
(2)若函数f(x)＝x-a2 (x≤0)，x+12+a(x＞0)的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[－1，0]
C．[1，2] D．[0，2]
(1)B (2)D [(1)法一：设1-2x＝t，则t≥0，x＝1-t22，所以y＝1＋1-t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋2．因为t≥0，所以y≤32.
所以函数y＝1＋x－1-2x的值域为-∞，32.
法二：因为y＝1＋x－1-2x在定义域-∞，12上单调递增，所以y＝1＋x－1-2x的值域为-∞，32.
(2)当x＞0时，f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a.
∵f(x)的最小值为f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.
又a≥0，得0≤a≤2．故选D.]
课时分层作业(六) 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(多选)(2023·冀州中学模拟)下列函数中，在(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝|x－1|＋2 B．y＝2x
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝21-x
AD [对于A，y＝|x－1|＋2，当x∈(1，＋∞)时，y＝x＋1是增函数，A正确；对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递减，B错误；对于C，y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在(1，2)上单调递减，C错误；对于D，因为y＝2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝21-x＝－2x-1在(1，＋∞)上单调递增，D正确．故选AD.]
2．函数f(x)＝－x＋1x在-2，-13上的最大值是( )
A．32 B．－83
C．－2 D．2
A [函数f(x)＝－x＋1x在(－∞，0)上是减函数，则函数f(x)在-2，-13上的最大值为f(－2)＝2－12＝32，故选A.]
3．设a∈R，函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(a2＋a＋2)＞f74
B．f(a2＋a＋2)＜f74
C．f(a2＋a＋2)≥f74
D．f(a2＋a＋2)≤f74
C [因为a2＋a＋2＝a+122＋74≥74，函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(a2＋a＋2)≥f74.故选C.]
4．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2) B．[0，2)
C．[0，1) D．[－1，1)
C [因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
5．(2023·广州执信中学模拟)已知函数f(x)＝-x2-ax-5，x≤1，ax ，x>1是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．－3≤a<0 B．－3≤a≤－2
C．a≤0 D．a≤－2
B [设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝ax(x>1)，
由题意得函数g(x)＝－x2－ax－5在(－∞，1]上单调递增，函数h(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，且g(1)≤h(1)，
所以-a2≥1，a<0，-a-6≤a，解得－3≤a≤－2.]
6．(多选)(2022·海南模拟)下面关于函数f(x)＝2x-3x-2的性质，说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)
B．f(x)的值域为R
C．f(x)在定义域上单调递减
D．点(2，2)是f(x)图象的对称中心
AD [f(x)＝2x-3x-2＝2x-2+1x-2＝2＋1x-2，
由y＝1x的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f(x)＝2＋1x-2的图象，因为y＝1x的图象关于点0，0对称，所以fx的图象关于点2，2对称，故D正确；
函数fx的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A正确，B错误；函数fx在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，故C错误．故选AD.]
二、填空题
7．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．
14 [令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－t-122＋14，当t＝12，即x＝14时，ymax＝14.]
8．函数y＝lg12|x－3|的单调递减区间是________．
(3，＋∞) [令u(x)＝|x－3|，则在(－∞，3)上u(x)为减函数，在(3，＋∞)上u(x)为增函数．又因为0＜12＜1，所以在区间(3，＋∞)上，函数y＝lg12|x－3|为减函数．]
9．(2023·山东师大附中质检)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1] [因为函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤1.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax＋1a2-1x(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．
[解] f(x)＝ax－1ax+2a(a>0)，
f′(x)＝a＋1ax2>0，
∴f(x)在(0，1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a＋1a，
∴g(a)＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时等号成立，∴g(a)的最小值为2.
11．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域与值域．
[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
图① 图②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2≤x，得x≥1或x≤－2，
令－x2＋2＞x，得－2＜x＜1，
得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝-x2+2，x≤-2，x，-2(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].
12．已知函数f(x)＝lga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，1) D．(－3，－1]
C [令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－313．(多选) (2023·杭州中学模拟)已知函数f(x)＝lnx+2x，x＞0，21-x，x≤0， 则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)＞f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
BC [易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．]
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
[解] (1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
证明：在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
所以f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
因为函数f(x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①∀x∈D，都有f(x)≤M；
②∃x0∈D，使得f(x0)＝M
①∀x∈D，都有f(x)≥M；
②∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值