高考数学一轮复习第2章第6课时指数与指数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第6课时指数与指数函数学案，共18页。
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(na)n＝a．
当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，a-mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
(3)指数函数的图象与性质
[常用结论]
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)nan＝(na)n＝a.( )
(2)函数y＝a－x是R上的增函数．( )
(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简3-5234
的结果为( )
A．5 B．5
C．－5 D．－5
B [原式＝35234＝52334＝523×34＝512＝5.]
2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点2，13，则f(－1)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．3
C [依题意可知a2＝13，解得a＝33，
所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝33-1＝3.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．1223＞2-43
C．1.70.3＞0.93.1 D．2334＜3423
BCD [因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；243＝1243，y=12x 为减函数，所以1223＞1243=2-43，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；y＝
23x为减函数，所以2334＜2323，又y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以2323＜3423，所以2334＜2323＜3423．故D正确．]
4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数fx＝a12|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f-2＝________．
34 [因为fx的图象过原点，所以f0＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因为fx的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以fx＝－12x＋1，
所以f-2＝－122＋1＝34.]
考点一 指数幂的运算
[典例1] (1)(多选)已知a＋a-1＝3，在下列各选项中，正确的是( )
A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝18
C．a12＋a-12＝±5 D．aa+1aa＝25
(2)计算：14-12·4ab-130.1-1·a3·b-312＝________(a>0，b>0)．
(1)ABD (2)85 [(1)因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a-1＝3，所以(a12＋a-12)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以a 12＋a0-12＝5，故选项C错误；因为a3＋a-3＝18，且a＞0，所以aa+1aa2＝a3＋a-3＋2＝20，所以aa+1aa＝25，故选项D正确．
(2)原式＝2·432a32b-3210a32b-32＝85.]
指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
[跟进训练]
1．(1)已知x0，化简49x8y4得( )
A．－3x2y B．3x2y
C．－3x2y D．3x2y
(2)计算：278-23＋0.002-12－10(5－2)-1＋π0＝________．
(1)B (2)－1679 [(1)由题意得 49x8y4＝914x814y414＝3x2|y|＝3x2y.
(2)原式＝32-2＋50012－105+25-25+2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]
考点二 指数函数的图象及应用
[典例2] (1)(多选)(链接常用结论)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，下列式子可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a