高考数学一轮复习第2章第7课时对数与对数函数学案

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2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N．
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaMN＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数恒等式
algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)换底公式：lgab＝lgcblgcaa>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)lgab＝1lgba；
(2)lgambn＝nmlgab；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad．
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
3．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
(2)函数f(x)＝ax-a-xax+a-x＝a2x-1a2x+1为奇函数；
(3)函数f(x)＝lga1-x1+x为奇函数；
(4)函数f(x)＝lgax+x2+1为奇函数．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x.( )
(2)函数y＝lg2(x＋1)是对数函数．( )
(3)函数y＝ln 1+x1-x与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)函数y＝lg2x与y＝lg121x的图象重合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝lg232x-1的定义域是________．
12，1 [由lg23(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
∴12＜x≤1.
∴函数y＝lg232x-1的定义域是12，1.]
2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：
(1)；
(2)lg213________lg123.
[答案] (1)< (2)＝
3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(lg43＋lg83)·lg32＝________．
56 [(lg43＋lg83)·lg32＝lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3＝56.]
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若lga〖2/3〗) 1时，满足条件；
当0