高考数学一轮复习第3章第1课时导数的概念及运算学案

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第1课时 导数的概念及运算
[考试要求]
1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2．通过函数图象，理解导数的几何意义.
3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx.
提醒：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx+Δx-fxΔx.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[常用结论]
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cs x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
C [h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.]
2．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
C [由导数的几何意义知，0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选C.]
3．(人教A版选择性必修第二册P81练习T2(2)改编)设f(x)＝ln (3－2x)＋cs 2x，则f′(0)＝________．
－23 [因为f′(x)＝－23-2x－2sin 2x，所以f′(0)＝－23.]
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为________．
y＝(e－1)x＋2 [f′(x)＝ex－1x2，∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.]
考点一 变化率问题
[典例1] (1)(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－fb-fab-a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
(2)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________(由大到小排列)．
(1)ABC (2)v1＞v2＞v3 [(1)－fb-fab-a表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－fb-fab-a越大治理能力越强．
对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；
对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．
(2)∵v1＝st1-s0t1-0＝kOA，v2＝st2-st1t2-t1＝kAB，v3＝st3-st2t3-t2＝kBC，由图象得kOA＞kAB＞kBC，∴v1>v2>v3.]
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率ΔyΔx＝fx0+Δx-fx0Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.
[跟进训练]
1．(多选)[平均变化率与导数的关系](2022·广州二模)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′V为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1A．r1-r01-0B．r′1>r′2
C．rV1+V22D．存在V0∈V1，V2，使得r′V0＝rV2-rV1V2-V1
BD [对于A，设tan α＝r1-r01-0，tan θ＝r2-r12-1，
由图得α>θ，所以tan α>tan θ，
所以r1-r01-0>r2-r12-1，所以该选项错误；
对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，
根据导数的几何意义得r′1>r′2，所以该选项正确；
对于C，设V1＝0，V2＝3，∴rV1+V22＝r32，rV1+rV22＝r32，因为r32－r(0)>r(3)－r32，所以r32>r32，所以该选项错误；对于D，rV2-rV1V2-V1表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′V0表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈V1，V2，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD.]
考点二 导数的运算
[典例2] (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A．1lnx′＝－1xln2x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(2x+1)′＝12x+1 D．x-1x′＝1＋1x2
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′π3sinx，则fπ6＝________．
(1)ACD (2)π236+2π3 [(1)对于A，1lnx′＝－1ln2x·(ln x)′＝－1xln2x；对于B，(x2ex)′＝(x2＋2x)ex；对于C，令f(x)＝2x+1＝(2x＋1) 12，
∴f′(x)＝12(2x＋1)-12×2＝(2x＋1)-12＝12x+1；对于D，x-1x′＝1＋1x2.故选ACD.
(2)f′(x)＝2x＋f′π3csx，
∴f′π3＝2π3+12f′π3，∴f′π3＝4π3，
∴fπ6＝π236+2π3.]
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
[跟进训练]
2．(1)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
(2)(易错题)若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．
(1)AC (2)3 [(1)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化简得sinx cs x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
(2)f′(x)＝aeax＋1x+1，∴f′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.]
考点三 导数的几何意义
求切线方程
[典例3] (2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．
y＝xe y＝－xe [当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝1x1(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝xe.
当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝1x2(x－x2)．若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－xe.]
求参数的值(范围)
[典例4] (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
(－∞，－4)∪(0，＋∞) [∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点为(x0，y0)，则y0＝x0+aex0，切线斜率k＝x0+1+aex0，
切线方程为：y-x0+aex0＝x0+1+aex0(x－x0)，
∵切线过原点，
∴-x0+aex0＝x0+1+aex0(－x0)，
整理得：x02＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，
∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
【教师备选题】
若曲线f(x)＝x ln x＋2m上点P处的切线方程为x－y＝0.
(1)求实数m的值；
(2)若过点Q(1，t)存在两条直线与曲线y＝f(x)相切，求实数t的取值范围．
[解] (1)设点P坐标为(n，n)．f(x)＝x ln x＋2m的导数为f′(x)＝1＋ln x，点P(n，n)处的切线斜率为1＋ln n＝1，可得n＝1，即切点为(1，1)，则1＝2m，解得m＝12.
(2)f(x)＝x ln x＋1.
设切点为(u，u ln u＋1)，则切线的斜率为f′(u)＝1＋ln u，即切线的方程为y－u ln u－1＝(1＋ln u)(x－u)．
代入点Q(1，t)，
即有t－u ln u－1＝(1＋ln u)(1－u)．
即t－2＝ln u－u在(0，＋∞)上有两实数解，记g(u)＝ln u－u，导数为g′(u)＝1u－1.
当u>1时，g(u)单调递减，当0故实数t的取值范围为(－∞，1)．
导数几何意义的应用要点
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1=fx1， y0-y1=f'x1x0-x1，求解即可．
提醒：“在点P处的切线”与“过点P的切线”不同．
[跟进训练]
3．(1)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
(1)0 (2)[2，＋∞) [(1)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，
∴f′(3)＝－13.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×-13＝0.
(2)直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝1x＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋1x－2，x>0.
又4x＋1x≥24x·1x＝4，当且仅当x＝12时取“＝”．∴a≥4－2＝2.
∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．]
考点四 两曲线的公切线问题
[典例5] (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点x1，fx1处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点-1，0处的切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2，设该切线与g(x)切于点x2，gx2，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.
(2)f′(x)＝3x2－1，则y＝f(x)在点x1，fx1处的切线方程为y-x13-x1＝3x12-1(x－x1)，整理得y＝3x12-1x-2x13，
设该切线与g(x)切于点x2，gx2，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2，则切线方程为y-x22+a＝2x2(x－x2)，整理得y＝2x2x-x22＋a，
则3x12-1=2x2，-2x13=-x22+a，整理得a＝x22-2x13＝3x122-122-2x13＝94x14-2x13-32x12＋14，
令h(x)＝94x4－2x3－32x2＋14，则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1)，令h′(x)>0，解得－131，
令h′(x)<0，解得x<－13或0则h(x)的值域为-1，+∞，故a的取值范围为-1，+∞.
曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.
所以f'x1=g'x2， fx1-f'x1x1=gx2-g'x2x2，解出x1，x2，从而可得切线方程．
[跟进训练]
4．(1)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．
(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________．
(1)1－ln 2 (2)y＝ex或y＝x＋1 [(1)设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))．则切线方程分别为y－ln x1－2＝1x1(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝1x2+1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋ln x1＋1，y＝1x2+1x－x2x2+1＋ln (x2＋1)，依题意，
1x1=1x2+1，lnx1+1=-x2x2+1+lnx2+1，
解得x1＝12，x2＝－12，
从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
(2)设l与f(x)＝ex的切点为(x1，ex1)，与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，ln x2＋2)．
因为f′(x)＝ex，g′(x)＝1x，
所以l：y＝ex1·x-x1·ex1+ex1，
y＝1x2·x＋ln x2＋1.
所以ex1=1x2， 1-x1ex1=lnx2+1，
解得x1=0，x2=1，或x1=1，x2=1e .
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝ex.]
1．导函数与原函数对称性的关系
性质1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称．(证明略)
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f(x)为偶函数且可导，则f′(x)为奇函数；
性质2：若f(x)为奇函数且可导，则f′(x)为偶函数．
[典例1] 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，f′(x)是f(x)的导数，则( )
A．f′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f′(x)是偶函数，且不是周期函数
[赏析] 突破点1：熟知函数的性质
根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则有f(－x)＝f(2＋x)，
又由f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(－x)＝－f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的周期函数，
则f′(x＋4)＝[f(x＋4)]′＝f′(x)，故f′(x)是周期函数．
突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系
又由f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
即f(x)＝－f(－x)，
故f′(－x)＝－[f(－x)]′＝f′(x)，
即f′(x)是偶函数，
故选B.
[答案] B
[典例2] (多选)(2023·江苏高邮中学高三开学考试)已知函数f(x)及其导数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f32-2x为偶函数，g12+x为奇函数，则( )
A．f32＝0 B．g12＝0
C．g(1)＋g(2)＝0 D．g-12＋g72＝0
[赏析] 突破点：原函数与导函数间的性质关系
因为f32-2x为偶函数，所以f32-2x＝f32+2x，所以f32-x＝f32+x，
所以f(x)的图象关于直线x＝32对称，
例如f(x)＝1，则函数f(x)满足条件，但f32＝1≠0，所以选项A错误；
因为g12+x为奇函数，所以g12-x＝－g12+x，所以函数g(x)的图象关于点12，0对称．
令x＝0得g12＝0．故选项B正确；
因为f(x)的图象关于直线x＝32对称，
所以f32-x＝f32+x，
所以f32-x′＝f32+x′，
即－f′32-x＝f′32+x，
所以f′(1)＋f′(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确；
所以f′-12＋f′72＝0，所以g-12＋g72＝0，故选项D正确．
故选BCD.
[答案] BCD
求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用．
[跟进训练]
1．(2023·山东济南期末)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x＋1)为奇函数，则( )
A．f(1)＝0 B．f′(2)＝0
C．f(0)＝f(2) D．f′(0)＝f′(2)
C [因为函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x＋1)为奇函数，
所以不妨设f′(x＋1)＝x，则f′(x)＝x－1，f′(2)＝1，f′(0)＝－1，故BD错误；
取f(x)＝12x2－x＋c，
则f(1)＝c－12，f(0)＝f(2)＝c，故A错误，C正确．
故选C.]
2．(2022·浙江A9协作体模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都为R，且f(1－2x)为偶函数，f(x＋2)为奇函数，则( )
A．f(1)＝0
B．f′(2)＝0
C．f′(2 022)＋f(2 021)＝0
D．f(2 022)＋f′(2 021)＝0
D [由f(1－2x)为偶函数知，f(1－2x)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)，
即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，
由f(x＋2)是奇函数知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，即函数f(x)关于点(2，0)对称，
则f(x)＝－f(4－x)，且f(2)＝0，
所以f(2－x)＝－f(4－x)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期是4，
则f(2 022)＝f(2＋505×4)＝f(2)＝0.
又f(1－2x)＝f(1＋2x)⇒[f(1－2x)]′＝[f(1＋2x)]′，
所以－2f′(1－2x)＝2f′(1＋2x)，则－f′(1－2x)＝f′(1＋2x)，即－f′(1－x)＝f′(1＋x)，
所以f′(x)＝－f′(2－x)，即导函数f′(x)的图象关于点(1，0)对称，且f′(1)＝0.
由f(x)＝f(x＋4)⇒f′(x)＝f′(x＋4)，
即导函数f′(x)的周期是4，
则f′(2 021)＝f′(1＋505×4)＝f′(1)＝0，
所以f′(2 021)＋f(2 022)＝0.
故选D.]
课时分层作业(十五) 导数的概念及运算
一、选择题
1．曲线y＝x+1x-1在点(3，2)处的切线的斜率是( )
A．2 B．－2
C．12 D．－12
D [y′＝x+1'x-1-x+1x-1'x-12
＝－2x-12，
故曲线在点(3，2)处的切线的斜率
k＝y′|x＝3＝－23-12＝－12.]
2．吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝43πr3.当V＝4π3 L时，气球的瞬时膨胀率为( )
A．14π dm/L B．13 dm/L
C．3 L/dm D．4 π L/dm
A [因为V＝43πr3，所以r＝334πV，所以r′＝34π13×13V-23，
所以当V＝4π3时，r′＝34π13×134π3-23＝34π13×1334π23＝13×34π＝14πdm/L.故选A.]
3．已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 023(x)等于( )
A．－sin x－cs x B．sin x－cs x
C．－sin x＋cs x D．sin x＋cs x
A [∵f1(x)＝sin x＋cs x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 023＝4×505＋3，∴f2 023(x)＝f3(x)＝－sin x－cs x．故选A.]
4．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
A [对函数y＝sin x求导，得y′＝cs x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1．故选A.]
5．(多选)已知曲线f(x)＝23x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a可能的取值为( )
A．196 B．3
C．103 D．92
AC [f′(x)＝2x2－2x＋a.
因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，
所以f′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于0，
所以x1>0，x2>0，
所以x1+x2=--22=1＞0，x1·x2=a-32＞0. ②
联立①②，解得3故选AC.]
6．(多选)(2022·河北保定二模)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3x>0与曲线y＝－x2＋nx－6x>0的公切线，则( )
A．m＝－2 B．m＝－1
C．n＝6 D．n＝7
AD [设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3x>0相切于点a，a3，与曲线y＝－x2＋nx－6x>0相切于点b，3b+m，对于函数y＝x3x>0，y′＝3x2，则3a2＝3a>0，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.
对于函数y＝－x2＋nx－6x>0，y′＝－2x＋n，
则－2b＋n＝3b>0，又－b2＋nb－6＝3b－2，
所以－b2＋b3+2b－6＝3b－2，
又b>0，所以b＝2，n＝7．故选AD.]
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝________．
10 [切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.]
8．若直线y＝ax与曲线y＝ln x－1相切，则a＝________．
1e2 [由y＝ln x－1，得y′＝1x，设切点为(x0，ln x0－1)，
则ax0=lnx0-1，a=1x0， 解得a＝1e2.]
9．曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________．
2 [设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
则y′|x＝x_0 ) ＝2x-1x|x=x0＝2x0－1x0＝1.
∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝1-1-212+-12＝2.]
三、解答题
10．已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，求m的值．
[解] ∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
y0＝12x02＋mx0＋72，m＜0，
∴m＝－2.
11．已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
[解] (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知k≥-1，-1k≥-1，解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．
12．(2022·广东东莞期末)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K＝f″x01+f'x0232，则曲线f(x)＝ln x在点(1，0)处的曲率为( )
A．24 B．12
C．22 D．1
A [由题意可知f′(x)＝1x，f″(x)＝－1x2，
∴曲线f(x)＝ln x在点(1，0)处的曲率为
K＝f″x01+f'x02 32＝-1x021+1x02 32＝-11+12 32＝12 32＝24.故选A.]
13．(多选)(2023·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)在R上有定义，记f′(x)为函数f(x)的导函数，又f(2x－1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )
A．f(4x－2)是奇函数
B．f(x－1)＋f(3x－1)是奇函数
C．f(4x2－2)是偶函数
D．f′(－5x－1)是偶函数
BCD [若f(x)＝x＋1，则f(2x－1)＝2x为奇函数，
而f(4x－2)＝4x－1为非奇非偶函数，所以A错误；
由于f(2x－1)是奇函数，
所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)，
对于函数f(x－1)＋f(3x－1)，
f(－x－1)＋f(－3x－1)＝－f(x－1)－f(3x－1)＝－[f(x－1)＋f(3x－1)]，
所以f(x－1)＋f(3x－1)是奇函数，B正确；
对于函数f(4x2－2)，
f(4(－x)2－2)＝f(4x2－2)，
所以函数f(4x2－2)是偶函数，C正确；
对于D选项，先证明奇函数的导数是偶函数，
若f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
两边求导得[f(－x)]′＝[－f(x)]′，即－f′(－x)＝－f′(x)，
即f′(－x)＝f′(x)，所以奇函数的导数是偶函数．
然后证明f(－5x－1)为奇函数：
由于f(5x－1)＝－f(－5x－1)，所以f(－5x－1)为奇函数，所以f′(－5x－1)是偶函数，D正确．故选BCD.]
14．(多选)(2023·山东青岛高三开学考试)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)＋g′(x)－5＝0，f(x)－g′(4－x)－5＝0，若g(x)为偶函数，则( )
A．f(4)＝5 B．g(2)＝0
C．f(－1)＝f(－3) D．f(1)＋f(3)＝10
AD [因为g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)，两边求导得－g′(－x)＝g′(x)，
所以g′(x)是奇函数，
由f(x)＋g′(x)－5＝0，f(x)－g′(4－x)－5＝0，得f(x)－5＝－g′(x)＝g′(4－x)，
即g′(－x)＝g′(－x＋4)，所以g′(x)是周期函数，且周期为4，g′(0)＝g′(4)＝0，
在f(x)＋g′(x)－5＝0，f(x)－g′(4－x)－5＝0中，令x＝4，得
f(4)＋g′(4)－5＝0，f(4)＝5，A正确；
由题目中条件无法求得g(2)的值，B错误；
令x＝－1得，f(－1)－g′(5)－5＝0，g′(5)＝g′(1)＝－g′(－1)，则f(－1)＋g′(－1)－5＝0，无法求得f(－1)，同理令x＝－3得，f(－3)＋g′(－3)－5＝0，g′(－3)＝g′(1)＝－g′(－1)，
因此f(－3)－g′(－1)－5＝0，相加得f(－1)＋f(－3)＝10，只有在g′(－1)＝0时，有f(－1)＝f(－3)，但g′(－1)不一定为0，因此C错误；
在f(x)＋g′(x)－5＝0中令x＝1得，f(1)＋g′(1)－5＝0，在f(x)－g′(4－x)－5＝0中令x＝3得，f(3)－g′(1)－5＝0，两式相加得f(1)＋f(3)－10＝0，
即f(1)＋f(3)＝10，D正确．故选AD.]
15．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－1x，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈12，1，不妨设x1＜x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x1-1x12x2-1x2＝－1，又函数f′(x)＝2x－1x在区间12，1上单调递增，f′(x)的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－1x1＜2x2－1x2≤1，
据此有2x1-1x1=-1，2x2-1x2=1，
解得x1＝12，x2＝1x1=-1，x2=-12 舍去，
故存在两点12，ln2+14，(1，1)满足题意．
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．考查形式
一般考查1～2道小题和1道解答题，分值占17～22分．
2．考查内容
(1)小题的考查一般以导数的几何意义和研究函数的性质为主．
(2)解答题一般设置两问，第(1)问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点、函数单调性的讨论等．第(2)问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题．
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，α≠0)
f′(x)＝αxα-1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝1xlna
f(x)＝ln x
f′(x)＝1x
x
-∞，-13
－13
-13，0
0
0，1
1
(1，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
h(x)
单调
递减
527
单调
递增
14
单调
递减
－1
单调
递增