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高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案
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这是一份高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案,共23页。
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f′(x)的零点;
第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)<0有解.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(2)若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1.(人教A版选择性必修第二册P103T3改编) f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )
A B C D
C [由f′(x)的图象知,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,
∴f(x)单调递增;
当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,∴f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)单调递增.]
2.(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)=cs x-x在(0,π)上的单调性是( )
A.先增后减 B.先减后增
C.增函数 D.减函数
D [因为f′(x)=-sin x-1<0在(0,π)上恒成立,
所以f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.]
3.(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.
(0,1) [函数f(x)的定义域为{x|x>0},由f′(x)=1-1x<0,得0<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).]
4.(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则实数a的最大值是________.
3 [f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,
又因为x∈[1,+∞ ),所以a≤3,即a的最大值是3.]
考点一 不含参数的函数的单调性
[典例1] 已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1) 求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] (1)由题意知f′(x)=1x-lnx-kex(x>0),
又f′(1)=1-ke=0,所以k=1.
(2)由(1)得f′(x)=1x-lnx-1ex(x>0).
设h(x)=1x-ln x-1(x>0),则h′(x)=-1x2-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,
由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,
所以f′(x)>0;
当x>1时,h(x)<0,所以f′(x)<0.
综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
[跟进训练]
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
B [对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是kπ-π4,kπ+π4(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>33或x<-33,所以函数f(x)=x3-x在-∞,-33和33,+∞上单调递增;对于D,f′(x)=-1+1x=-x-1x,令f′(x)>0,得0考点二 含参数的函数的单调性
[典例2] 已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.
[解] 函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ax-(a+1)+1x=ax2-a+1x+1x=ax-1x-1x.
①当01,
∴x∈(0,1)∪1a,+∞时,f′(x)>0;
x∈1,1a时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)和1a,+∞上单调递增,
在1,1a上单调递减;
②当a=1时,1a=1,∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a>1时,0<1a<1,
∴x∈0,1a∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
x∈1a,1时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,
在1a,1上单调递减.
综上,当0当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.
[拓展变式] 若将本例中参数a的范围改为a∈R,其他条件不变,试讨论f(x)的单调性.
[解] 当a>0时,讨论同例题解析;
当a≤0时,ax-1<0,
∴x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当0当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.
【教师备选题】
讨论下列函数的单调性.
(1)f(x)=x-a ln x;
(2)g(x)=(x-a-1)ex-(x-a)2.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=1-ax=x-ax,
令f′(x)=0,得x=a,
①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a>0时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,
x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,
在(a,+∞)上单调递增.
(2)g(x)的定义域为R,
g′(x)=(x-a)ex-2(x-a)=(x-a)(ex-2),
令g′(x)=0,得x=a或x=ln 2,
①当a>ln 2时,
x∈(-∞,ln 2)∪(a,+∞)时,g′(x)>0,
x∈(ln 2,a)时,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减.
②当a=ln 2时,g′(x)≥0恒成立,
∴g(x)在R上单调递增.
③当ax∈(-∞,a)∪(ln 2,+∞)时,g′(x)>0,
x∈(a,ln 2)时,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,a),(ln 2,+∞)上单调递增,在(a,ln 2)上单调递减.
综上,当a>ln 2时,g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减;
当a=ln 2时,g(x)在R上单调递增;
当a 对于含参数的函数的单调性,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:
分类讨论点1:求导后,考虑f′(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;
分类讨论点2:求导后,f′(x)=0有实数根,但不清楚f′(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;
分类讨论点3:求导后,f′(x)=0有实数根,f′(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.
[跟进训练]
2.讨论函数f(x)=1x-x+a ln x的单调性.
[解] f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.
设y=x2-ax+1,其图象过定点(0,1),开口向上,
对称轴为x=a2,
①当a2≤0,即a≤0时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a2>0,即a>0时,
令x2-ax+1=0,Δ=a2-4,
(ⅰ)当Δ≤0,即0<a≤2时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上是减函数.
故0<a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ>0,即a>2时,令f′(x)=0,得
x=a-a2-42或x=a+a2-42.
当x∈0,a-a2-42∪a+a2-42,+∞时,f′(x)<0;
当x∈a-a2-42,a+a2-42时,f′(x)>0.
所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+∞上单调递减,在a-a2-42,a+a2-42上单调递增.
考点三 函数单调性的应用
比较大小或解不等式
[典例3] (1) 已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( )
A.cC.a(2)(2022·广东茂名二模)已知fx=x-sin x,则不等式f2m+1+f1-m>0的解集为( )
A.-∞,-2 B.-2,+∞
C.0,+∞ D.-∞,0
(1)D (2)B [(1)由题意得0令f(x)=exx(x>0),则f′(x)=exx-1x2,
当01时,f′(x)>0,
故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为ae5=5ea,所以e55=eaa,
即f(5)=f(a),而0故0因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),
所以0(2)由题意知fx的定义域为R,且f-x=-x+sin x=-fx,得fx为奇函数,且f′x=1-cs x≥0,所以fx在-∞,+∞上单调递增.
由f2m+1+f1-m>0得f2m+1>fm-1,
即2m+1>m-1.解得m>-2.
故选B.]
求参数的取值范围
[典例4] (链接常用结论1,2)已知g(x)=2x+ln x-ax.
(1)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,求实数a的取值范围.
[解] (1)g(x)=2x+ln x-ax(x>0), g′(x)=2+1x+ax2(x>0).
∵函数g(x)在[1,2]上单调递增,
∴g′(x)≥0在[1,2]上恒成立,
即2+1x+ax2≥0在[1,2]上恒成立,
∴a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,
∴a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2].
在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,
∴a≥-3.
∴实数a的取值范围是[-3,+∞).
(2)g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,
则g′(x)>0在[1,2]上有解,
即a>-2x2-x在[1,2]上有解,
∴a>(-2x2-x)min,
又(-2x2-x)min=-10,∴a>-10.
∴实数a的取值范围为(-10,+∞).
[拓展变式] (1)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,求实数a的取值范围.
(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
[解] (1)依题意g′(x)=2+1x+ax2在[1,2]上满足g′(x)≤0恒成立,∴当x∈[1,2]时,a≤-2x2-x恒成立,
又t=-2x2-x=-2x+142+18,x∈[1,2]是减函数,
∴当x=2时,t=-2x2-x取得最小值-10.
∴a≤-10,即实数a的取值范围为(-∞,
-10].
(2)∵函数g(x)在区间[1,2]上不单调,
∴g′(x)=0在区间(1,2)内有解,
则a=-2x2-x=-2x+142+18在(1,2)内有解,易知该函数在(1,2)上是减函数,
∴y=-2x2-x的值域为(-10,-3),
因此实数a的取值范围为(-10,-3).
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)在区间(a,b)上为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
[跟进训练]
3.(1)已知函数f(x)=x sin x,x∈R,则fπ5,f(1),f-π3的大小关系为( )
A.f-π3>f(1)>fπ5
B.f(1)>f-π3>fπ5
C.fπ5>f(1)>f-π3
D.f-π3>fπ5>f(1)
(2)已知函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
(1)A (2)(0,27) [(1)因为f(x)=x sin x,所以f(-x)=(-x)·sin (-x)=xsin x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f-π3=fπ3.又当x∈0,π2时,f′(x)=sin x+x cs x>0,所以函数f(x)在0,π2上单调递增,所以fπ5f(1)>fπ5.
故选A.
(2)法一(间接法):若f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调递增函数,则f′(x)=3x2-k≥0在(-3,1)上恒成立,
即k≤3x2在(-3,1)上恒成立,故k≤0.
若f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调递减函数,则f′(x)=3x2-k≤0在(-3,1)上恒成立,
即k≥3x2在(-3,1)上恒成立,故k≥27.
所以当函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调函数时,实数k的取值范围是k≤0或k≥27,
当函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数时,实数k的取值范围是0法二(直接法):由奇函数f(x)=x3-kx得f′(x)=3x2-k.当k≤0时,f′(x)=3x2-k≥0,f(x)在R上是增函数,不满足题意;
当k>0时,由f′(x)=3x2-k<0,得-k3由f′(x)=3x2-k>0,得x<-k3或x>k3.在-∞,-k3,k3,+∞上f(x)是增函数.
要满足函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数,由对称性得,-k3>-3,所以k<27.
综上所述,实数k的取值范围是(0,27).]
课时分层作业(十六) 导数与函数的单调性
一、选择题
1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
A [因为f′(x)=2x-2x=2x+1x-1x(x>0),
令f′(x)<0得0所以函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(0,1).]
2.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )
A B
C D
C [列表如下:
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.]
3.设函数f(x)的定义域为R,f′(x)是其导函数,若f(x)+f′(x)<0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-x的解集是( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
C [令g(x)=exf(x),则g′(x)=exf(x)+exf′(x),因为f(x)+f′(x)<0,所以g′(x)<0,所以g(x)在R上单调递减.因为g(0)=e0f(0)=f(0)=1,所以不等式f(x)>e-x可转化为exf(x)>1,即g(x)>1=g(0),又g(x)在R上单调递减,所以x<0,故不等式f(x)>e-x的解集为(-∞,0).故选C.]
4.(多选)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
BD [依题意知,f′(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故a≠0, Δ=36+12a>0,
解得a>-3且a≠0.故选BD.]
5.若函数f(x)=x-13sin 2x+a sin x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.-1,13
C.-13,13 D.-1,-13
C [∵f(x)=x-13sin 2x+a sin x,∴f′(x)=1-23cs 2x+a cs x=-43cs2x+a csx+53.
由f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立.
令t=cs x,t∈[-1,1],
则-43t2+at+53≥0在t∈[-1,1]上恒成立.
∴4t2-3at-5≤0在t∈[-1,1]上恒成立.
令g(t)=4t2-3at-5,
则g1=-3a-1≤0,g-1=3a-1≤0. 解得-13≤a≤13.]
6.(多选)(2023·湖南师大附中模拟)下列两数的大小关系中错误的是( )
A.π3>3π B.33>44
C.2ln 3<3ln 2 D.tan 1<1
ACD [对于A,设fx=lnxxx>e,则f′x=1-lnxx2,则当x>e时,f′x<0,∴fx在e,+∞上单调递减,∴f3>fπ,即ln33>lnππ,即πln 3>3ln π,∴ln 3π>ln π3,则3π>π3,A错误;对于B,∵3312=34=81,4412=43=64,∴3312>4412,则33>44,B正确;对于C,
∵2ln 3=ln 32=ln 9,3ln 2=ln 23=ln 8,ln 9>ln 8,∴2ln 3>3ln 2,C错误;对于D,tan 1>tan π4=1,D错误.故选ACD.]
二、填空题
7.(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):________.
①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0;③f′(x)是奇函数.
f(x)=x2(答案不唯一) [本题属于开放性问题,答案不唯一,
例如取f(x)=x2,x4,x6…都可以,还可以取f(x)=x23,x43,x25,x45,….]
8.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为________.
32,+∞ [f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,
f′(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,
当且仅当x=0时取“=”,
∴f(x)在R上单调递增,
又f(0)=1,
∴原不等式可化为f(2x-3)>f(0),
即2x-3>0,解得x>32,
∴原不等式的解集为32,+∞.]
9.若函数f(x)=ln x-12ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.
(-1,+∞) [f′(x)=1x-ax-2=1-ax2-2xx,由题意知f′(x)<0有实数解,
∵x>0,
∴ax2+2x-1>0有实数解.
当a≥0时,显然满足;
当a<0时,只需Δ=4+4a>0,
∴-1<a<0.
综上知a>-1.]
三、解答题
10.函数f(x)=(x2+ax+b)e-x,若f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为6x-y-5=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] (1)f′(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax+b)·e-x=[-x2+(2-a)x+a-b]e-x,
∴f′(0)=a-b,
又f(0)=b,
∴f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-b=(a-b)x,
即(a-b)x-y+b=0,
∴a-b=6,b=-5, 解得a=1,b=-5.
(2)∵f(x)=(x2+x-5)e-x,x∈R,
∴f′(x)=(-x2+x+6)e-x
=-(x+2)(x-3)e-x,
当x<-2或x>3时,f′(x)<0;
当-20,
故f(x)的单调递增区间是(-2,3),
单调递减区间是(-∞,-2),(3,+∞).
11. (2021·全国乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
[解] (1)由题意知f(x)的定义域为R,f′(x)=3x2-2x+a,对于f′(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).
①当a≥13时,f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
②当a<13时,令f′(x)=0,即3x2-2x+a=0,解得x1=1-1-3a3,x2=1+1-3a3,
令f′(x)>0,则x<x1或x>x2;
令f′(x)<0,则x1<x<x2.
所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
综上,当a≥13时,f(x)在R上单调递增;当a<13时,f(x)在-∞,1-1-3a3上单调递增,在1-1-3a3,1+1-3a3上单调递减,在1+1-3a3,+∞上单调递增.
(2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l,切点为P(x0,x03-x02)+ax0+1),
因为f′(x0)=3x02-2x0+a,所以切线l的方程为y-(x03-x02)+ax0+1)=(3x02)-2x0+a)(x-x0).
由l过坐标原点,得2x03-x02-1=0,解得x0=1,所以切线l的方程为y=(1+a)x.
令x3-x2+ax+1=(1+a)x,则x3-x2-x+1=0,解得x=±1.
所以曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,1+a)和(-1,-1-a).
12.若e<a<b<π(e为自然对数的底数),则ab,ba,lgba的大小关系为( )
A.ab<ba<lgba B.ba<ab<lgba
C.lgba<ab<ba D.lgba<ba<ab
D [因为e<a<b<π,所以ab>1,ba>1,lgba<lgbb=1.要比较ab,ba的大小,只需比较b ln a,a ln b的大小,因为b ln a-a ln b=ab·lnaa-lnbb,所以构造函数f(x)=lnxx(e<x<π),则f′(x)=1-lnxx2<0,所以f(x)在(e,π)上单调递减,因为e<a<b<π,所以b ln a-a ln b=ab·lnaa-lnbb>0,所以b ln a>a ln b,所以ab>ba,所以ab>ba>lgba.故选D.]
13.已知两个不等的正实数x,y满足ln xy=x-yxy,则下列结论一定正确的是( )
A.x+y=1 B.xy=1
C.x+y>2 D.x+y>3
C [法一(构造函数):由ln xy=x-yxy,得ln x-ln y=1y-1x,
即ln x+1x=ln y+1y.设f(t)=ln t+1t(t>0),
则f′(t)=1t-1t2=t-1t2,当0<t<1时,f′(t)<0,
函数f(t)单调递减,当t>1时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增,所以f(t)min=f(1)=1,当t→0时,f(t)→+∞,当t→+∞时,f(t)→+∞,作出函数f(t)的大致图象,如图所示,f(x)=f(y),x,y一个大于1,一个小于1,不妨设x<1<y,则点(y,f(y))到直线x=1的距离大于点(x,f(x))到直线x=1的距离,所以x+y>2×1,即x+y>2,故选C.
法二(对数均值不等式):由xy<x-ylnx-lny=xy<x+y2,得xy>1,故x+y>2xy>2.故选C.]
14.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
(-∞,-1)∪(0,1) [因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,
所以f(1)=-f(-1)=0.
当x≠0时,令g(x)=fxx,
则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.
则当x>0时,g′(x)=fxx′=xf'x-fxx2<0,
故g(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.
所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0,得fxx>0,所以f(x)>0;
在(-∞,0)上,当x<-1时,由g(x)<g(-1)=0,得fxx<0,所以f(x)>0.
综上知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).]
15.已知函数f(x)=aexx.
(1)若a>0,求f(x)的单调区间;
(2)若对∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立,求实数a的取值范围.
[解] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0},
f′(x)=aexx-1x2,
∵a>0,
∴当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,f′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)∵∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,
都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立,即fx1-fx2x1-x2-2<0恒成立,
即fx1-2x1-fx2-2x2x1-x2<0恒成立,
令g(x)=f(x)-2x,则gx1-gx2x1-x2<0在x∈[1,3]上恒成立,
即函数g(x)=f(x)-2x在区间[1,3]上单调递减,
又∵g′(x)=f′(x)-2=aexx-1x2-2,
∴aexx-1x2-2≤0在[1,3]上恒成立,
当x=1时,-2≤0显然成立;
当x∈(1,3]时,a≤2x2x-1ex,
令h(x)=2x2x-1ex,
则h′(x)=4xx-1ex-2x3exx-12e2x=-2x3+4x2-4xx-12ex
=-2xx2-2x+2x-12ex=-2xx-12+1x-12ex<0在x∈(1,3]上恒成立,
∴函数h(x)=2x2x-1ex在x∈(1,3]上单调递减,
∴h(x)min=h(3)=2×323-1e3=9e3,∴a≤9e3,
即实数a的取值范围是-∞,9e3.
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a,b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a,b)上单调递减
f′(x)=0
f(x)在区间(a,b)上是常数函数
x
(-∞,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+∞)
xf′(x)
-
+
-
+
f′(x)
+
-
-
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f′(x)的零点;
第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)<0有解.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(2)若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1.(人教A版选择性必修第二册P103T3改编) f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )
A B C D
C [由f′(x)的图象知,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,
∴f(x)单调递增;
当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,∴f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)单调递增.]
2.(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)=cs x-x在(0,π)上的单调性是( )
A.先增后减 B.先减后增
C.增函数 D.减函数
D [因为f′(x)=-sin x-1<0在(0,π)上恒成立,
所以f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.]
3.(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.
(0,1) [函数f(x)的定义域为{x|x>0},由f′(x)=1-1x<0,得0<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).]
4.(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则实数a的最大值是________.
3 [f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,
又因为x∈[1,+∞ ),所以a≤3,即a的最大值是3.]
考点一 不含参数的函数的单调性
[典例1] 已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1) 求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] (1)由题意知f′(x)=1x-lnx-kex(x>0),
又f′(1)=1-ke=0,所以k=1.
(2)由(1)得f′(x)=1x-lnx-1ex(x>0).
设h(x)=1x-ln x-1(x>0),则h′(x)=-1x2-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,
由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,
所以f′(x)>0;
当x>1时,h(x)<0,所以f′(x)<0.
综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
[跟进训练]
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
B [对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是kπ-π4,kπ+π4(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>33或x<-33,所以函数f(x)=x3-x在-∞,-33和33,+∞上单调递增;对于D,f′(x)=-1+1x=-x-1x,令f′(x)>0,得0
[典例2] 已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.
[解] 函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ax-(a+1)+1x=ax2-a+1x+1x=ax-1x-1x.
①当01,
∴x∈(0,1)∪1a,+∞时,f′(x)>0;
x∈1,1a时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)和1a,+∞上单调递增,
在1,1a上单调递减;
②当a=1时,1a=1,∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a>1时,0<1a<1,
∴x∈0,1a∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
x∈1a,1时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,
在1a,1上单调递减.
综上,当0当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.
[拓展变式] 若将本例中参数a的范围改为a∈R,其他条件不变,试讨论f(x)的单调性.
[解] 当a>0时,讨论同例题解析;
当a≤0时,ax-1<0,
∴x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当0当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.
【教师备选题】
讨论下列函数的单调性.
(1)f(x)=x-a ln x;
(2)g(x)=(x-a-1)ex-(x-a)2.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=1-ax=x-ax,
令f′(x)=0,得x=a,
①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a>0时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,
x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,
在(a,+∞)上单调递增.
(2)g(x)的定义域为R,
g′(x)=(x-a)ex-2(x-a)=(x-a)(ex-2),
令g′(x)=0,得x=a或x=ln 2,
①当a>ln 2时,
x∈(-∞,ln 2)∪(a,+∞)时,g′(x)>0,
x∈(ln 2,a)时,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减.
②当a=ln 2时,g′(x)≥0恒成立,
∴g(x)在R上单调递增.
③当a
x∈(a,ln 2)时,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,a),(ln 2,+∞)上单调递增,在(a,ln 2)上单调递减.
综上,当a>ln 2时,g(x)在(-∞,ln 2),(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减;
当a=ln 2时,g(x)在R上单调递增;
当a
分类讨论点1:求导后,考虑f′(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;
分类讨论点2:求导后,f′(x)=0有实数根,但不清楚f′(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;
分类讨论点3:求导后,f′(x)=0有实数根,f′(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.
[跟进训练]
2.讨论函数f(x)=1x-x+a ln x的单调性.
[解] f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.
设y=x2-ax+1,其图象过定点(0,1),开口向上,
对称轴为x=a2,
①当a2≤0,即a≤0时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a2>0,即a>0时,
令x2-ax+1=0,Δ=a2-4,
(ⅰ)当Δ≤0,即0<a≤2时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上是减函数.
故0<a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ>0,即a>2时,令f′(x)=0,得
x=a-a2-42或x=a+a2-42.
当x∈0,a-a2-42∪a+a2-42,+∞时,f′(x)<0;
当x∈a-a2-42,a+a2-42时,f′(x)>0.
所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+∞上单调递减,在a-a2-42,a+a2-42上单调递增.
考点三 函数单调性的应用
比较大小或解不等式
[典例3] (1) 已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则( )
A.cC.a
A.-∞,-2 B.-2,+∞
C.0,+∞ D.-∞,0
(1)D (2)B [(1)由题意得0令f(x)=exx(x>0),则f′(x)=exx-1x2,
当0
故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为ae5=5ea,所以e55=eaa,
即f(5)=f(a),而0故0因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),
所以0(2)由题意知fx的定义域为R,且f-x=-x+sin x=-fx,得fx为奇函数,且f′x=1-cs x≥0,所以fx在-∞,+∞上单调递增.
由f2m+1+f1-m>0得f2m+1>fm-1,
即2m+1>m-1.解得m>-2.
故选B.]
求参数的取值范围
[典例4] (链接常用结论1,2)已知g(x)=2x+ln x-ax.
(1)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,求实数a的取值范围.
[解] (1)g(x)=2x+ln x-ax(x>0), g′(x)=2+1x+ax2(x>0).
∵函数g(x)在[1,2]上单调递增,
∴g′(x)≥0在[1,2]上恒成立,
即2+1x+ax2≥0在[1,2]上恒成立,
∴a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,
∴a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2].
在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,
∴a≥-3.
∴实数a的取值范围是[-3,+∞).
(2)g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,
则g′(x)>0在[1,2]上有解,
即a>-2x2-x在[1,2]上有解,
∴a>(-2x2-x)min,
又(-2x2-x)min=-10,∴a>-10.
∴实数a的取值范围为(-10,+∞).
[拓展变式] (1)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,求实数a的取值范围.
(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
[解] (1)依题意g′(x)=2+1x+ax2在[1,2]上满足g′(x)≤0恒成立,∴当x∈[1,2]时,a≤-2x2-x恒成立,
又t=-2x2-x=-2x+142+18,x∈[1,2]是减函数,
∴当x=2时,t=-2x2-x取得最小值-10.
∴a≤-10,即实数a的取值范围为(-∞,
-10].
(2)∵函数g(x)在区间[1,2]上不单调,
∴g′(x)=0在区间(1,2)内有解,
则a=-2x2-x=-2x+142+18在(1,2)内有解,易知该函数在(1,2)上是减函数,
∴y=-2x2-x的值域为(-10,-3),
因此实数a的取值范围为(-10,-3).
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)在区间(a,b)上为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
[跟进训练]
3.(1)已知函数f(x)=x sin x,x∈R,则fπ5,f(1),f-π3的大小关系为( )
A.f-π3>f(1)>fπ5
B.f(1)>f-π3>fπ5
C.fπ5>f(1)>f-π3
D.f-π3>fπ5>f(1)
(2)已知函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
(1)A (2)(0,27) [(1)因为f(x)=x sin x,所以f(-x)=(-x)·sin (-x)=xsin x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f-π3=fπ3.又当x∈0,π2时,f′(x)=sin x+x cs x>0,所以函数f(x)在0,π2上单调递增,所以fπ5
故选A.
(2)法一(间接法):若f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调递增函数,则f′(x)=3x2-k≥0在(-3,1)上恒成立,
即k≤3x2在(-3,1)上恒成立,故k≤0.
若f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调递减函数,则f′(x)=3x2-k≤0在(-3,1)上恒成立,
即k≥3x2在(-3,1)上恒成立,故k≥27.
所以当函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上是单调函数时,实数k的取值范围是k≤0或k≥27,
当函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数时,实数k的取值范围是0
当k>0时,由f′(x)=3x2-k<0,得-k3
要满足函数f(x)=x3-kx在(-3,1)上不是单调函数,由对称性得,-k3>-3,所以k<27.
综上所述,实数k的取值范围是(0,27).]
课时分层作业(十六) 导数与函数的单调性
一、选择题
1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
A [因为f′(x)=2x-2x=2x+1x-1x(x>0),
令f′(x)<0得0
2.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )
A B
C D
C [列表如下:
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.]
3.设函数f(x)的定义域为R,f′(x)是其导函数,若f(x)+f′(x)<0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-x的解集是( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
C [令g(x)=exf(x),则g′(x)=exf(x)+exf′(x),因为f(x)+f′(x)<0,所以g′(x)<0,所以g(x)在R上单调递减.因为g(0)=e0f(0)=f(0)=1,所以不等式f(x)>e-x可转化为exf(x)>1,即g(x)>1=g(0),又g(x)在R上单调递减,所以x<0,故不等式f(x)>e-x的解集为(-∞,0).故选C.]
4.(多选)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是( )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
BD [依题意知,f′(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故a≠0, Δ=36+12a>0,
解得a>-3且a≠0.故选BD.]
5.若函数f(x)=x-13sin 2x+a sin x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.-1,13
C.-13,13 D.-1,-13
C [∵f(x)=x-13sin 2x+a sin x,∴f′(x)=1-23cs 2x+a cs x=-43cs2x+a csx+53.
由f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立.
令t=cs x,t∈[-1,1],
则-43t2+at+53≥0在t∈[-1,1]上恒成立.
∴4t2-3at-5≤0在t∈[-1,1]上恒成立.
令g(t)=4t2-3at-5,
则g1=-3a-1≤0,g-1=3a-1≤0. 解得-13≤a≤13.]
6.(多选)(2023·湖南师大附中模拟)下列两数的大小关系中错误的是( )
A.π3>3π B.33>44
C.2ln 3<3ln 2 D.tan 1<1
ACD [对于A,设fx=lnxxx>e,则f′x=1-lnxx2,则当x>e时,f′x<0,∴fx在e,+∞上单调递减,∴f3>fπ,即ln33>lnππ,即πln 3>3ln π,∴ln 3π>ln π3,则3π>π3,A错误;对于B,∵3312=34=81,4412=43=64,∴3312>4412,则33>44,B正确;对于C,
∵2ln 3=ln 32=ln 9,3ln 2=ln 23=ln 8,ln 9>ln 8,∴2ln 3>3ln 2,C错误;对于D,tan 1>tan π4=1,D错误.故选ACD.]
二、填空题
7.(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):________.
①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0;③f′(x)是奇函数.
f(x)=x2(答案不唯一) [本题属于开放性问题,答案不唯一,
例如取f(x)=x2,x4,x6…都可以,还可以取f(x)=x23,x43,x25,x45,….]
8.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为________.
32,+∞ [f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,
f′(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,
当且仅当x=0时取“=”,
∴f(x)在R上单调递增,
又f(0)=1,
∴原不等式可化为f(2x-3)>f(0),
即2x-3>0,解得x>32,
∴原不等式的解集为32,+∞.]
9.若函数f(x)=ln x-12ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.
(-1,+∞) [f′(x)=1x-ax-2=1-ax2-2xx,由题意知f′(x)<0有实数解,
∵x>0,
∴ax2+2x-1>0有实数解.
当a≥0时,显然满足;
当a<0时,只需Δ=4+4a>0,
∴-1<a<0.
综上知a>-1.]
三、解答题
10.函数f(x)=(x2+ax+b)e-x,若f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为6x-y-5=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] (1)f′(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax+b)·e-x=[-x2+(2-a)x+a-b]e-x,
∴f′(0)=a-b,
又f(0)=b,
∴f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-b=(a-b)x,
即(a-b)x-y+b=0,
∴a-b=6,b=-5, 解得a=1,b=-5.
(2)∵f(x)=(x2+x-5)e-x,x∈R,
∴f′(x)=(-x2+x+6)e-x
=-(x+2)(x-3)e-x,
当x<-2或x>3时,f′(x)<0;
当-2
故f(x)的单调递增区间是(-2,3),
单调递减区间是(-∞,-2),(3,+∞).
11. (2021·全国乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
[解] (1)由题意知f(x)的定义域为R,f′(x)=3x2-2x+a,对于f′(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).
①当a≥13时,f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
②当a<13时,令f′(x)=0,即3x2-2x+a=0,解得x1=1-1-3a3,x2=1+1-3a3,
令f′(x)>0,则x<x1或x>x2;
令f′(x)<0,则x1<x<x2.
所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
综上,当a≥13时,f(x)在R上单调递增;当a<13时,f(x)在-∞,1-1-3a3上单调递增,在1-1-3a3,1+1-3a3上单调递减,在1+1-3a3,+∞上单调递增.
(2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l,切点为P(x0,x03-x02)+ax0+1),
因为f′(x0)=3x02-2x0+a,所以切线l的方程为y-(x03-x02)+ax0+1)=(3x02)-2x0+a)(x-x0).
由l过坐标原点,得2x03-x02-1=0,解得x0=1,所以切线l的方程为y=(1+a)x.
令x3-x2+ax+1=(1+a)x,则x3-x2-x+1=0,解得x=±1.
所以曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,1+a)和(-1,-1-a).
12.若e<a<b<π(e为自然对数的底数),则ab,ba,lgba的大小关系为( )
A.ab<ba<lgba B.ba<ab<lgba
C.lgba<ab<ba D.lgba<ba<ab
D [因为e<a<b<π,所以ab>1,ba>1,lgba<lgbb=1.要比较ab,ba的大小,只需比较b ln a,a ln b的大小,因为b ln a-a ln b=ab·lnaa-lnbb,所以构造函数f(x)=lnxx(e<x<π),则f′(x)=1-lnxx2<0,所以f(x)在(e,π)上单调递减,因为e<a<b<π,所以b ln a-a ln b=ab·lnaa-lnbb>0,所以b ln a>a ln b,所以ab>ba,所以ab>ba>lgba.故选D.]
13.已知两个不等的正实数x,y满足ln xy=x-yxy,则下列结论一定正确的是( )
A.x+y=1 B.xy=1
C.x+y>2 D.x+y>3
C [法一(构造函数):由ln xy=x-yxy,得ln x-ln y=1y-1x,
即ln x+1x=ln y+1y.设f(t)=ln t+1t(t>0),
则f′(t)=1t-1t2=t-1t2,当0<t<1时,f′(t)<0,
函数f(t)单调递减,当t>1时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增,所以f(t)min=f(1)=1,当t→0时,f(t)→+∞,当t→+∞时,f(t)→+∞,作出函数f(t)的大致图象,如图所示,f(x)=f(y),x,y一个大于1,一个小于1,不妨设x<1<y,则点(y,f(y))到直线x=1的距离大于点(x,f(x))到直线x=1的距离,所以x+y>2×1,即x+y>2,故选C.
法二(对数均值不等式):由xy<x-ylnx-lny=xy<x+y2,得xy>1,故x+y>2xy>2.故选C.]
14.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
(-∞,-1)∪(0,1) [因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,
所以f(1)=-f(-1)=0.
当x≠0时,令g(x)=fxx,
则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.
则当x>0时,g′(x)=fxx′=xf'x-fxx2<0,
故g(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.
所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0,得fxx>0,所以f(x)>0;
在(-∞,0)上,当x<-1时,由g(x)<g(-1)=0,得fxx<0,所以f(x)>0.
综上知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).]
15.已知函数f(x)=aexx.
(1)若a>0,求f(x)的单调区间;
(2)若对∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立,求实数a的取值范围.
[解] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0},
f′(x)=aexx-1x2,
∵a>0,
∴当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,f′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)∵∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,
都有fx1-fx2x1-x2<2恒成立,即fx1-fx2x1-x2-2<0恒成立,
即fx1-2x1-fx2-2x2x1-x2<0恒成立,
令g(x)=f(x)-2x,则gx1-gx2x1-x2<0在x∈[1,3]上恒成立,
即函数g(x)=f(x)-2x在区间[1,3]上单调递减,
又∵g′(x)=f′(x)-2=aexx-1x2-2,
∴aexx-1x2-2≤0在[1,3]上恒成立,
当x=1时,-2≤0显然成立;
当x∈(1,3]时,a≤2x2x-1ex,
令h(x)=2x2x-1ex,
则h′(x)=4xx-1ex-2x3exx-12e2x=-2x3+4x2-4xx-12ex
=-2xx2-2x+2x-12ex=-2xx-12+1x-12ex<0在x∈(1,3]上恒成立,
∴函数h(x)=2x2x-1ex在x∈(1,3]上单调递减,
∴h(x)min=h(3)=2×323-1e3=9e3,∴a≤9e3,
即实数a的取值范围是-∞,9e3.
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a,b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a,b)上单调递减
f′(x)=0
f(x)在区间(a,b)上是常数函数
x
(-∞,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+∞)
xf′(x)
-
+
-
+
f′(x)
+
-
-
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增