高考数学一轮复习第4章第1课时任意角和弧度制、三角函数的概念学案

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第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求]
1．了解任意角的概念和弧度制.
2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α．
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cs α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈0，π2，则tan α>α>sin α.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限的角是锐角．( )
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是π6．( )
(3)若sin α>0，则α是第一、第二象限的角．( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α＞1．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] C
2．(人教A版必修第一册P175习题5.1T1改编)(多选)下列四个命题中，正确的是( )
A．－3π4是第二象限角
B．4π3是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
BCD [－3π4是第三象限角，故A错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．]
3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．
10π9 5π9 [单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义得10π9＝lr，所以l＝10π9，S扇形＝12lr＝12×10π9×1＝5π9.]
4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________．
－31313 21313 －32 [因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝22+-32＝13.于是sin α＝yr＝-313＝－31313，cs α＝xr＝213＝21313，tan α＝yx＝－32.]
考点一 任意角
[典例1] (1)(易错题)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋9π4(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋5π4(k∈Z)
(2)(链接常用结论2)已知α为第三象限角，则α2是第________象限角，2α是______________的角．
(1)C (2)二、四 第一、二象限或y轴的非负半轴上 [(1)由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．
(2)∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z，
∴kπ＋π2<α2当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．]
确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出kα或αk的范围．
(3)根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置．
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
[跟进训练]
1．(1)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A B C D
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
(1)C (2)－675°或－315° [(1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2(n∈Z)，此时α的终边在π4～π2内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2(n∈Z)，此时α的终边在π＋π4～π＋π2内，结合选项知选C.
(2)所有与45°终边相同的角表示为β＝45°＋k·360°(k∈Z)．
令－720°<45°＋k·360°<0°(k∈Z)，得－765°考点二 扇形的弧长及面积公式
[典例2] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解] (1)因为α＝60°＝π3，
所以l＝αR＝π3×10＝10π3(cm)．
(2)由题意得2R+α·R=10，12α·R2=4， 解得R=1，α=8 (舍去)或R=4，α=12.
故扇形的圆心角为12.
(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．
法一：S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25．
所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2．
法二：S＝12lR＝14l(2R)≤14l+2R22＝25，
当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，
此时α＝2．
【教师备选题】
《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.73)( )
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
B [由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝π4+π4+π8＝5π8，R＝1.25＝54，
∴其所对的圆心角α＝lR＝5π854＝π2，
∴两手之间的距离d＝R2+R2＝2×1.25≈1.768．]
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[跟进训练]
2．(2023·湖南永州模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为23π时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦AB的长与AB的长的比为( )
A．233π B．233π
C．332π D．33π
C [设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D ，因为圆心角α为2π3，所以∠BOD＝π3 ，
所以弦AB＝2AD＝2r sin π3＝3r .
又AB＝2π3r，所以弦AB的长与AB的长的比为3r2π3r＝332π，故选C.]
考点三 三角函数的概念及应用
[典例3] (1)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α＞0 B．cs 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
(2)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝2m4，则cs α＝________，tan α＝________．
(1)D (2)－64 153或－153 [(1)法一：由题意，知－π2＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cs 2α≤0或cs 2α>0，sin 2α<0，故选D.
法二：当α＝－π4时，cs 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.
(2)设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3+m2，所以sin α＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3+m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cs α＝-322＝－64，tan α＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cs α＝-322＝－64，tan α＝153.]
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
[跟进训练]
3．(1)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是( )
A．sinαtanα B．cs α－sin α
C．sin αcs α D．sin α＋cs α
(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cs α＋4tan α＝________.
(1)AB (2)－4或－2 [(1)由题意知sin α<0，cs α>0，tan α<0．
选项A，sinαtanα>0；选项B，cs α－sin α>0；
选项C，sin αcs α<0；选项D，sin α＋cs α符号不确定．故选AB.
(2)设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝|5a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝35，cs α＝－45，tan α＝－34，
∴5sin α＋5cs α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
当a<0时，r＝－5a，sin α＝－35，cs α＝45，tan α＝－34，
∴5sin α＋5cs α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2．
综上可知，5sin α＋5cs α＋4tan α＝－4或－2．]
课时分层作业(二十一) 任意角和弧度制、三角函数的概念
一、选择题
1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是( )
A．αα=2kπ-π3，k∈Z
B．αα=2kπ+2π3，k∈Z
C．αα=kπ-2π3，k∈Z
D．αα=kπ-π3，k∈Z
D [因为直线y＝－3x的倾斜角是2π3，tan α＝－3，所以终边落在直线y＝－3x上的角的取值集合为αα=2kπ-π3，k∈Z或αα=2kπ-2π3，k∈Z.
即角α的取值集合为αα=kπ-π3，k∈Z.]
2．若sin θ·cs θ<0，tanθsinθ>0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
D [由tanθsinθ>0，得1csθ>0，所以cs θ>0．又sin θ·cs θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．]
3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1csα＝( )
A．－15 B．3715
C．3720 D．1315
D [因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－45，cs α＝35，所以sin α＋1csα＝－45+53＝1315.故选D.]
4．已知θ是第三象限角，满足sinθ2＝－sin θ2，则θ2是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
D [∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ<θ<3π2＋2kπ，k∈Z，
则π2＋kπ<θ2<3π4＋kπ，k∈Z，即θ2为第二或第四象限角，
又sinθ2＝－sin θ2，∴θ2为第四象限角．]
5．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有( )
A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
ABC [设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得2r+αr=6，12αr2=2， 解得r=1，α=4 或r=2，α=1，
可得圆心角的弧度数是4或1．]
6．已知点P(sin (－30°)，cs (－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )
A．－π3 B．2π3
C．－2π3 D．－4π3
D [因为P(sin (－30°)，cs (－30°))，所以P-12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.]
7．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．π6 B．π3
C．3 D．3
D [如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝2π3，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，
∴AM＝32r，AB＝3r，∴l＝3r，
由弧长公式得α＝lr＝3rr＝3.]
8．在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αA．AB B．CD
C．EF D．GH
C [由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB上，tan α＞sin α，不满足；
在CD上，tan α＞sin α，不满足；
在EF上，sin α＞0，cs α＜0，tan α＜0，
且cs α＞tan α，满足；
在GH上，tan α＞0，sin α＜0，cs α＜0，不满足．]
二、填空题
9．在平面直角坐标系Oxy中，点P在角2π3的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________．
(－1，3) [设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得x=OPcs2π3，y=OPsin2π3， 所以x=-1，y=3， 所以点P的坐标为(－1，3)．]
10．已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．
11π6 [因为θ＝2π3，故P32，-12，故α为第四象限角且cs α＝32，所以α＝2kπ＋11π6，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.]
11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则sinαcsα+sinαcsα＝________．
0 [因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，
sinαcsα+sinαcsα＝sinα-csα+sinαcsα＝0；当角α的终边位于第四象限时，sinαcsα+sinαcsα＝sinαcsα+-sinαcsα＝0．所以sinαcsα+sinαcsα＝0．]
12．(2021·北京高考)若P(cs θ，sin θ)与Qcsθ+π6，sinθ+π6关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值________．
5π12(答案不唯一) [点P、Q都在单位圆上，θ可取π2-π62＝5π12θ=5π12+kπ，k∈Z.]
13．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心．A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan ∠ODC＝35，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
5π2＋4 [如图，连接OA，作AM⊥DE，交ED的延长线于M，AN⊥EF于N，交DG于P，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为Q，设OQ＝3m，则DQ＝5m，不难得出AM＝7，AN＝7，于是AP＝5，PG＝5，∴∠AGP＝∠AHF′＝π4，△AOH为等腰直角三角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝2 2，则阴影部分的面积S＝135360×π×(22)2＋12×22×22-π2＝5π2+4(cm2)．
]
14．如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为________．
(2－sin 2，1－cs 2) [如图所示，设滚动后的圆的圆心为C，
过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，
即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－π2，
所以|PB|＝sin 2-π2＝－cs 2，
|CB|＝cs 2-π2＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，
yP＝1＋|PB|＝1－cs 2，
所以OP＝(2－sin 2，1－cs 2)．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．考查形式
高考中一般考查1～2道小题、1道解答题，占17～22分．
2．考查内容
(1)客观题主要以化简求值、函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质为主．试题侧重公式的变形和对图象性质的研究，难度中等．
(2)解答题一般考查应用正、余弦定理解三角形．对于空间距离、高度、角度等的测量问题也要引起重视．
角α的弧度数公式
|α|＝lr(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝π180 rad；1 rad＝180π°
弧长公式
弧长l＝αR
扇形面积公式
S＝12lR＝12αR2
前提
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α
正切
yx叫做α的正切函数，记作tan α