高考数学一轮复习第4章第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案，共17页。

2．掌握诱导公式，并会简单应用．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝sinαcsαα≠π2+kπ，k∈Z．
2．诱导公式
[常用结论]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．
(2)(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(3)sin α＝tan αcs αα≠kπ+π2，k∈Z.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1．( )
(2)若α∈R，则tanα＝sinαcsα恒成立．( )
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若sin 3π2-α＝13，则cs α＝－13．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝55，π2≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2
C．12 D．－12
D [因为π2≤α≤π，所以cs α＝－1-sin2α＝－1-552＝－255，所以tanα＝sinαcsα＝－12.]
2．(人教A版必修第一册P186 T15改编)已知tan α＝13，则sinα-csαsinα+2csα的值为________．
－27 [原式＝tanα-1tanα+2＝13-113+2＝－27.]
3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简csα-π2sin52π+α·sin (α－π)·cs (2π－α)的结果为________．
－sin2α [原式＝sinαcsαsin α)·cs α＝－sin2α.]
4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8改编)已知sinπ3-α＝12，则cs π6+α＝____________；sin 23π+α＝________．
12 12 [因为π3-α+π6+α＝π2，所以csπ6+α＝cs π2-π3-α＝sin π3-α＝12.
sin23π+α＝sin π-23π+α＝sin π3-α＝12.]
考点一 同角三角函数的基本关系式
“知一求二”问题
[典例1] (1)若α∈π2，π，sin (π－α)＝35，则tan α＝( )
A．－43 B．43
C．－34 D．34
(2)已知tan α＝2，π＜α＜3π2，则sin α＋cs α＝( )
A．－355 B．－55
C．－5 D．55
(1)C (2)A [(1)因为α∈π2，π，sin α＝35，
所以cs α＝－45，所以tan α＝－34，故选C.
(2)由tan α＝sinαcsα＝2，得sin α＝2cs α.
代入sin2α＋cs2α＝1得cs2α＝15.
又π＜α＜3π2，所以csα＝－55，sin α＝tan αcs α＝－255，
所以sin α＋cs α＝－355，
故选A.]
关于sin α，cs α齐次式的求值问题
[典例2] 已知tanαtanα-1＝－1，求下列各式的值：
(1)sinα-3csαsinα+csα；
(2)sin2α＋sinαcs α＋2．
[解] 由已知得tan α＝12.
(1)sinα-3csαsinα+csα＝tanα-3tanα+1＝－53.
(2)sin2α＋sinαcs α＋2＝sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α＝tan2α+tanαtan2α+1＝122+12122+1＋2＝135.
sinα±cs α与sin αcs α关系的应用
[典例3] (链接常用结论)已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝15.
(1)求sin x－cs x的值；
(2)求sin2x+2sin2x1-tanx的值．
[解] (1)由sin x＋cs x＝15，
平方得sin2x＋2sinx cs x＋cs2x＝125，
整理得2sinx cs x＝－2425.
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin x cs x＝4925.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cs x＞0，
∴cs x＞0，则sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－75.
(2)sin2x+2sin2x1-tanx＝2sinxcsx+sinx1-sinxcsx
＝2sinxcsxcsx+sinxcsx-sinx
＝-2425×1575＝－24175.
1．利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sinαcsα＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用sinα±csα2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
[跟进训练]
1．(1)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝( )
A．－65 B．－25
C．25 D．65
(2)已知sin θ＋cs θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.
(1)C (2)－125 [(1)将式子进行齐次化处理得：
sinθ1+sin2θsinθ+csθ＝sinθsin2θ+cs2θ+2sinθcsθsinθ+csθ
＝sin θsinθ+csθ＝sinθsinθ+csθsin2θ+cs2θ＝tan2θ+tanθ1+tan2θ＝4-21+4＝25.故选C.
(2)法一：由sinθ＋cs θ＝713，得sin θcs θ＝－60169，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝1-2sinθcsθ＝1713，
联立sinθ+csθ=713，sinθ-csθ=1713，解得sinθ=1213， csθ=-513，
所以tan θ＝－125.
法二：因为sin θ＋cs θ＝713，
所以sin θcs θ＝－60169，
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.
又sin θcs θ＝－60169<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cs θ<0．
所以sin θ＝1213，cs θ＝－513.
所以tan θ＝sinθcsθ＝－125.
法三：由sin θ＋cs θ＝713，得sin θcs θ＝－60169，
所以sinθcsθsin2θ+cs2θ＝－60169.
齐次化切，得tanθtan2θ+1＝－60169，
即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，
解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝713>0，sin θcs θ＝－60169<0，所以θ∈π2，3π4，所以tan θ＝－125.]
考点二 诱导公式的应用
[典例4] (1)若cs α-π5＝513，则sin 7π10-α＝( )
A．－513 B．－1213
C．1213 D．513
(2)已知cs (75°＋α)＝13，求cs (105°－α)＋sin (15°－α)＝________．
(1)D (2)0 [(1)因为7π10－α＋α-π5＝π2，
所以7π10－α＝π2-α-π5，所以sin 7π10-α
＝sin π2-α-π5＝cs α-π5＝513，故选D.
(2)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cs (105°－α)＝cs [180°－(75°＋α)]
＝－cs (75°＋α)＝－13，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cs (75°＋α)＝13.
所以cs (105°－α)＋sin (15°－α)＝－13+13＝0．]
【教师备选题】
已知3sin 33π14+α＝－5cs 5π14+α，则tan 5π14+α＝________．
－53 [由3sin 33π14+α＝3sin 2π+514π+α＝3sin 514π+α＝－5cs 5π14+α，得sin 5π14+α＝－53cs 5π14+α，
所以tan 5π14+α＝sin5π14+αcs5π14+α
＝-53cs5π14+αcs5π14+α＝－53.]
常见的互余和互补的角
[跟进训练]
2．(1)(2023·广东茂名模拟)已知sin θ-π6＝12，则cs θ+π3＝( )
A．－32 B．－12
C．12 D．32
(2)已知f(α)＝csπ2+αsin3π2-αcs-π-αtanπ-α，则f-25π3的值为________．
(1)B (2)12 [(1)cs θ+π3＝cs θ-π6+π2＝－sin θ-π6＝－12.故选B.
(2)因为f(α)＝csπ2+αsin3π2-αcs-π-αtanπ-α＝-sinα-csα-csα-sinαcsα＝cs α，
所以f-25π3＝cs -25π3＝cs π3＝12.]
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
[典例5] 是否存在α∈-π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝2cs π2-β，3cs (－α)＝－2·cs (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
sinα=2sinβ， ①3csα=2csβ， ②
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2．
∴sin2α＝12，∴sinα＝±22.
∵α∈-π2，π2，∴α＝±π4.
当α＝π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
[跟进训练]
3．(1)已知α为锐角，且sinα+π3sinα-π3＝tan α+π3，则角α＝( )
A．π12 B．π6
C．π4 D．π3
(2)(易错题)已知sin 53°-α＝15，且 －270°<α<－90°，则sin 37°+α＝________．
(1)C (2)－265 [(1)由条件得sinα+π3sinα-π3＝sinα+π3csα+π3，
又因为α为锐角，所以sin α-π3＝cs α+π3，
即sin α-π3＝sin π2-α+π3，所以有α－π3＝π2-α+π3，解得α＝π4.故选C.
(2)由已知－270°<α<－90°可得：143°<53°－α<323°，所以cs (53°－α )＝ －1-sin253°-α＝－1-152＝－265，
所以sin (37°＋α)＝sin 90°-53°-α ＝ cs (53°－α )＝－265.]
课时分层作业(二十二) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、选择题
1．已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )
A．1517 B．－1517
C．817 D．－817
D [因为tan α＝－815，
所以sinαcsα＝－815，所以cs α＝－158sin α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝64289，
又α是第四象限角，所以sinα＝－817.]
2．已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2α＝( )
A．12 B．2
C．35 D．－38
C [由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，
故sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2α＝tan2α-12tanα+1＝35.故选C.]
3．(2023·湖南师大附中模拟)已知sin π+θ2＝45，sin π2+θ2＝35，则角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [因为sin π+θ2＝45，所以sin θ2＝－45，
因为sin π2+θ2＝35，所以cs θ2＝35.
所以sin θ＝2sin θ2cs θ2＝－2425<0，cs θ＝cs2θ2－sin2θ2＝－725<0，
所以θ是第三象限角．故选C.]
4．(2022·广东韶关二模)已知sin α＋cs α＝15，则tanπ+α+12sin2α+sin2α＝( )
A．－17524 B．17524
C．－2524 D．2524
C [由sin α＋cs α＝15，
可知2sin αcs α＝－2425，
所以tanπ+α+12sin2α+sin2α＝tan α+12sin α(sin α+cs α)
＝sinα+csαcsα×12sinαsinα+csα
＝12sinαcsα＝－2524，故选C.]
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin (A＋B)＝sin C
B．sin B+C2＝cs A2
C．tan (A＋B)＝－tan CC≠π2
D．cs (A＋B)＝cs C
ABC [在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，A正确；
sin B+C2＝sin π2-A2＝cs A2，B正确；
tan (A＋B)＝tan(π－C)＝－tan CC≠π2， C正确；
cs (A＋B)＝cs (π－C)＝－cs C，D错误．]
6．(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P45，n(n>0)，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为( )
A．tan α＝34
B．sin β＝45
C．tan β＝43
D．Q的坐标为-35，45
ABD [由题意知cs α＝45，角α的终边在第一象限，则n＝sin α＝1-cs2α＝35，所以tan α＝sinαcsα＝34，A正确．由题意知β＝α＋π2，所以cs β＝cs α+π2＝－sin α＝－35，sin β＝sin α+π2＝cs α＝45， tan β＝sinβcsβ＝－43，即Q点的坐标为-35，45，所以可得B，D正确，C错误．]
二、填空题
7．已知点P(sin 35°，cs 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________．
55° [由题意知cs α＝sin 35°＝cs 55°，sin α＝cs 35°＝sin 55°，P在第一象限，所以α＝55°.]
8．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cs (πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为________．
－3 [因为f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cs (πx＋β)，
所以f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cs (4π＋β)
＝a sin α＋b cs β＝3，
所以f(2 023)＝a sin (2 023π＋α)＋b cs (2 023π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cs (π＋β)
＝－a sin α－b cs β＝－3．]
9．已知sinx+csxsinx-csx＝2，则tan x＝________，sin x cs x＝________．
3 310 [将sinx+csxsinx-csx＝2左端分子分母同除以cs x，得tanx+1tanx-1＝2，解得tan x＝3，
sin x cs x＝sinxcsxsin2x+cs2x＝tanxtan2x+1＝332+1＝310.]
三、解答题
10．已知α为钝角，sinπ4+α＝34，求sin π4-α及cs α-π4的值．
[解] sin π4-α＝cs π2-π4-α＝cs π4+α，
∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.
∴cs π4+α<0，
∴cs π4+α＝－1-342＝－74.
csα-π4＝sin π2+α-π4＝sin π4+α＝34.
∴sin π4-α＝－74，cs α-π4＝34.
11．已知角α的终边经过点P3m，-6m(m≠0)．
(1)求sinα+π+csα-πsinα+π2+2csα-π2的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2α+3π2＋sin(π－α)cs α－cs π2+α的值．
[解] (1)∵m≠0，∴cs α≠0，
即sinα+π+csα-πsinα+π2+2csα-π2
＝-sinα-csαcsα+2sinα＝-tanα-11+2tanα.
又∵角α的终边经过点P3m，-6m(m≠0)，
∴tan α＝-6m3m＝－2，
故sinα+π+csα-πsinα+π2+2csα-π2＝-tanα-11+2tanα
＝2-11+2×-2＝－13.
(2)∵α是第二象限角， ∴m<0，
则sin α＝-6m3m2+-6m2＝-6m35m＝255，
cs α＝3m3m2+-6m2＝3m35m＝－55，
∴sin2α+3π2＋sinπ-αcs α－cs π2+α
＝cs2α＋sinαcs α＋sin α
＝-552＋255×-55+255＝-1+255.
12．已知α∈[0，2π)，cs α＋3sin α＝10，则tan α＝( )
A．－3 B．3或13
C．3 D．13
C [因为(cs α＋3sin α)2＝10，
所以cs2α＋6sinαcs α＋9sin2α＝10，
所以cs2α+6sinαcsα+9sin2αcs2α+sin2α，
所以1+6tanα+9tan2α1+tan2α，
所以tanα＝3．]
13．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ－cs2θ的值是________．
－725 [由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为csθ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cs θ－sin θ，因为小正方形的面积是125，所以(cs θ－sin θ)2＝125，因为θ为直角三角形中较小的锐角，所以cs θ＞sin θ，所以cs θ－sin θ＝15，
又因为(cs θ－sin θ)2＝1－2sin θcs θ＝125，
所以2sin θcs θ＝2425，所以1＋2sin θcs θ＝4925，
即(cs θ＋sin θ)2＝4925，所以cs θ＋sin θ＝75，所以sin2θ－cs2θ＝(csθ＋sin θ)(sin θ－cs θ)＝－725.]
14．已知角α为第二象限角，化简cs α1+sinα1-sinα＋sin2α1+1tan2α.
[解] 因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cs α<0，
所以cs α1+sinα1-sinα＝cs α 1+sinα2cs2α
＝csα·1+sinαcsα＝－1－sin α，
sin2α1+1tan2α＝sin2α1+cs2αsin2α
＝sin2αsin2α+cs2αsin2α
＝sin2α1sin2α
＝sin2α1sinαn α，
所以cs α 1+sinα1-sinα＋sin2α1+1tan2α
＝－1－sin α＋sin α＝－1．
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
互余的角
π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α
互补的角
π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ