高考数学一轮复习第4章第4课时简单的三角恒等变换学案

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1．降幂公式
(1)sin2α＝1-cs2α2；
(2)cs2α＝1+cs2α2；
(3)tan2α＝1-cs2α1+cs2α.
2．辅助角公式
a sin α＋b cs α＝a2+b2sin (α＋φ)
其中sinφ=ba2+b2，csφ=aa2+b2.
[常用结论]
公式的常用变式
(1)sin 2α＝2sinαcsαsin2α+cs2α＝2tanα1+tan2α；
(2)cs2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α；
(3)1＋csα＝2cs2α2；
(4)1－csα＝2sin2α2；
(5)1＋sinα＝sinα2+csα22；
(6)1－sin α＝sinα2-csα22；
(7)tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式a sin x＋b cs x＝a2+b2sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
(2)cs θ＝2cs2θ2－1＝1－2sin2θ2．( )
(3)当α是第一象限角时，sinα2＝1-csα2．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
二、教材习题衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P220T4(1)改编)cs α－3sin α化简的结果可以是( )
A．12cs π6-α B．2cs π3+α
C．12sin π3-α D．2sin π6-α
BD [cs α－3sin α＝212csα-32sinα
＝2csαcsπ3-sinαsinπ3＝2cs α+π3
＝2sin π6-α.]
2．(人教A版必修第一册P226T1改编)已知sin α＝55，cs α＝255，则tan α2等于( )
A．2－5 B．2＋5
C．5－2 D．±(5－2)
C [∵sin α＝55，cs α＝255，
∴tan α2＝sinα1+csα＝5－2．]
3．(人教A版必修第一册P226T2改编)已知θ∈5π2，3π且sin θ＝45，则sin θ2＝____________；cs θ2＝________．
－255 －55 [∵θ∈5π2，3π，且sin θ＝45.
∴cs θ＝－35，θ2∈5π4，3π2，
∴sin θ2＝－1+352＝－255，
cs θ2＝－1-352＝－55.]
4．(人教A版必修第一册P254T13(2)改编)在等式(tan 10°－3)·sin (*)＝－2cs 40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．
80° [因为等式(tan 10°－3)·sin (*)＝－2cs 40°可以转化为sin (*)＝-2cs40°tan10°-3＝-2cs40°·cs10°sin10°-3cs10°＝-2cs40°·cs10°212sin10°-32cs10°＝-2cs40°·cs10°-2sin50°＝cs 10°＝sin 80°.
又因为所求的是锐角，故答案为80°.]
考点一 三角函数式的化简
[典例1] 化简：(1)sin2α+βsinα－2cs (α＋β)；
(2)cs3π2-α-tanα2·1+csα1-csα(0