高考数学一轮复习第5章第3课时平面向量的数量积及其应用学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第3课时平面向量的数量积及其应用学案，共24页。

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
当θ＝π2时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且同向；
当θ＝π时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：0·a＝0．
3．投影向量
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cs θ e．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cs θbb＝a·bbb2.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝a·a＝x12+y12．
(3)夹角：cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22．
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22.
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
[答案] (1)× (2)√ (3) × (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A．6365 B．65 C．135 D．13
A [|a|＝32+42＝5，|b|＝52+122＝13.
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，所以cs θ＝635×13＝6365.]
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.
－34e [向量b在向量a上的投影向量为a·ba·e＝－34e.]
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
23 [a·b＝|a||b|cs 60°＝1，|a＋2b|＝a2+4b2+4a·b＝4+4+4＝23.]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·AC＝________．
8 [取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，AM＝12AB.所以AB·AC＝|AB||AC|·cs∠BAC＝|AB||AM|＝12|AB|2＝8.]
考点一 平面向量数量积的运算
[典例1] (1)设向量e1＝1，0，e2＝0，1若a＝-2e1+7e2，b＝4e1+3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________．
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．
[四字解题]
(1)13 5225，3925 (2)1 1 [(1)因为向量e1＝1，0，e2＝0，1，
所以a＝-2e1+7e2＝－21，0＋7(0，1)＝-2，7，
b＝4e1+3e2＝41，0＋30，1＝4，3，
所以a·b＝－2×4＋7×3＝13，
由a＝-2，7，b＝4，3可得：a＝4+49＝53，b＝16+9＝5，
所以cs 〈a，b〉＝a·bab＝1353×5，
向量a在向量b上的投影向量为：
acs 〈a，b〉bb＝53×1353×5×b5＝1325b＝13254e1+3e2＝5225e1＋3925e2＝5225，3925.
(2)法一(投影法)：设向量DE，DA的夹角为θ，则DE·CB＝DE·DA＝|DE|·|DA|cs θ，由图可知，|DE|cs θ＝|DA|，所以原式等于|DA|2＝1，要使DE·DC最大，只要使向量DE在向量DC上的投影达到最大即可，因为DE在向量DC上的投影达到最大为|DC|＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|2＝1.
法二(基向量法)：因为DE＝DA+AE且DA⊥AE，所以DE·CB＝(DA+AE)·DA＝|DA|2＝1，DE·DC＝(DA+AE)·AB＝AB·AE＝|AB||AE|＝|AE|，所以要使DE·DC最大，只要|AE|最大即可，显然随着E点在AB边上移动，|AE|max＝1，故(DE·DC)max＝1.
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，可得DE·CB＝1.因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝x，因为0≤x≤1，所以(DE·DC)max＝1.]
【教师备选题】
在平面四边形ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cs θ＝23，则AP·PB＝________．
－2 [如图所示，∵AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵CP＝3PD，∴AP＝AD+DP＝14AB+AD，
PB＝AB-AP＝34AB-AD，
又∵|AB|＝4，|AD|＝3，cs θ＝23，
则AB·AD＝4×3×23＝8，
∴AP·PB＝AD+14AB·34AB-AD
＝12AB·AD-AD2＋316 AB2
＝12×8－9＋316×42＝－2.]
平面向量数量积的三种运算方法
定义法 -已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝ab·cs θθ是a与b的夹角
|
基向量法-计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解
|
坐标法 -若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解
[跟进训练]
1．(1)(2023·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为( )
A．b B．－2b
C．－12b D．－b
(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，则CD·CB等于( )
A．－18 B．－63
C．18 D．63
(1)B (2)C [(1)因为a，b是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量为
a-2b·bb·bb＝－2b.故选B.
(2)法一(基向量法)：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA·CB＝0，CD·CB＝(CA+AD)·CB＝CA·CB+32AB·CB＝32(CB-CA)·CB＝32CB2＝18，故选C.
法二(坐标法)：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD＝32AB，所以D(－1，33)，则CD·CB＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.]
考点二 平面向量数量积的应用
向量的模
[典例2] (2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
32 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝32.]
向量的夹角
[典例3] (1)(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
(2)(链接常用结论2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
(1)B (2)-∞，-92∪-92，3 [(1)法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cs 〈a，b〉－|b|2＝0，即cs〈a，b〉＝12，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3，故选B.
法二：如图，令OA＝a，OB＝b，则BA＝OA-OB＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝π3，即〈a，b〉＝π3.故选B.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，
所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b与c反向共线，则2k-32＝－6，解得k＝－92，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是-∞，-92∪-92，3.]
向量的垂直
[典例4] (1)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
(1)D (2)712 [(1)法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|·cs 60°＝12.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝12，32，b＝(1，0)，则a＋2b＝52，32，2a＋b＝(2，3)，a－2b＝-32，32，2a－b＝(0，3)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
(2)因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0.
又AP＝λAB+AC，BC＝AC-AB，
所以(λAB+AC)·(AC-AB)＝0，
即(λ－1)AC·AB－λAB2＋AC2＝0，
所以(λ－1)|AC||AB|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×2×3×-12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.]
1.求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝x2+y2.
(2)利用|a|＝a2.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝a·bab，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(1) (多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A．|a＋b|＝2
B．a与b垂直
C．a与a－b的夹角为π4
D．|a－b|＝1
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
(1)BC (2)C [(1)|a＋b|＝12+-12＝2，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D错误；
cs 〈a，a－b〉＝a·a-baa-b＝a2-a·b1×2＝22，所以a与a－b的夹角为π4，故C正确．故选BC.
(2)由已知有c＝(3＋t，4)，cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，故9+3t+165c＝3+tc，解得t＝5.故选C.]
考点三 平面向量的应用
[典例5] (1)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝80 N，则G的大小为________N，F2的大小为________N.
(2)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB与AC的夹角为60°，则|MA|＝________．
(1)160 803 (2)132 [(1)根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝803，
∴G的大小为160 N，F2的大小为803 N．
(2)∵M为BC的中点，
∴AM＝12(AB+AC)，
∴|MA|2＝14(AB+AC)2＝14(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)＝14(1＋9＋2×1×3cs 60°)＝134，∴|MA|＝132.]
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3．(1)(2023·福建福州模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AC＝(2，3)，则BD＝( )
A．1 B．3
C．2 D．3
(2)(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是( )
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝π2时，|F1|＝|G|
D．当θ＝2π3时，|F1|＝|G|
(1)B (2)AD [(1)由题意得|AC|＝7，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得：
BD2＋AC2＝2AB2+AD2，
∴BD2＋(7)2＝222+12＝10，∴BD＝3，故选B.
(2)对于A，由G＝-(F1+F2)为定值，所以|G|2＝|F1|2+|F2|2+2|F1 ||F2|cs θ＝2|F1|2(1＋cs θ)，解得|F1|2＝G221+csθ.由题意知θ∈(0，π)时，y＝cs θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝π2时，|F1|2＝G22，所以|F1 |＝22|G|，故C错误；对于D，当θ＝2π3时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确．故答案为AD.]
课时分层作业(三十一) 平面向量的数量积及其应用
一、选择题
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [a－b＝(4，－3)，故a-b＝42+-32＝5，故选D.]
2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C [∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，
又∵|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，
∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
∴a·b＝1.
故选C.]
3．已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin 〈a，c〉等于( )
A．73 B．23
C．79 D．29
B [法一：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，
则c＝(7，2)，∴sin 〈a，c〉＝23.
法二：a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，
|c|＝7a＋2b2＝7a2+2b2+214a·b
＝7+2＝3，
∴cs 〈a，c〉＝a·cac＝71×3＝73，
∴sin 〈a，c〉＝23.]
4．已知非零单位向量a和b，若a·b＝－33，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论错误的是( )
A．c＝d B．a·b＝a·c
C．d＝33b D．c·d＝－39
C [∵a和b为单位向量，∴a＝b＝1，a·b＝abcs 〈a，b〉＝－33，
∴向量b在向量a上的投影向量为c＝－33a，
向量a在向量b上的投影向量为d＝－33b，C错误，
∴d＝-33b＝33，c＝-33a＝33，A正确，
a·b＝abcs 〈a，b〉＝－33，a·c＝a·ccs 〈a，c〉＝1×33×cs π＝－33，B正确，
c·d＝c·dcs 〈c，d〉＝33×33cs 〈a，b〉＝13×-33＝－39，D正确．故选C.]
5．(多选)(2023·湖北天门模拟)已知向量a＝(－2，1)，b＝(－1，t)，则下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，则t的值为－2
B．若a∥b，则t的值为12
C．若0＜t＜2，则a与b的夹角为锐角
D．若(a＋b)⊥(a－b)，则|a＋b|＝|a－b|
AB [对于A：若a⊥b，则a·b＝－2×(－1)＋1×t＝0，解得t＝－2，故A正确；
对于B：若a∥b，则－2t＝－1×1，解得t＝12，故B正确；
对于C：当t＝12时a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)·(a－b)＝0，即a2－b2＝0，即(－2)2＋12＝(－1)2＋t2，解得t＝±2，
当t＝2时，a＝(－2，1)，b＝(－1，2)，a＋b＝(－3，3)，
a－b＝(－1，－1)，显然|a＋b|≠|a－b|，
当t＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(－1，－2)，a＋b＝(－3，－1)，
a－b＝(－1，3)，此时|a＋b|＝|a－b|，故D错误；故选AB.]
6．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C．OA·OP3＝OP1·OP2
D．OA·OP1＝OP2·OP3
AC [由题可知，|OP1|＝cs2α+sin2α＝1，|OP2|＝cs2β+-sinβ2所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝π4，则P122，22，取β＝5π4，
则P2-22，22，则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cs (α＋β)，OP1·OP2＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cs (α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，
则OA·OP1＝22，OP2·OP3＝cs 3π4＝－22，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误．故选AC.]
二、填空题
7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
－103 [c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－103.]
8．(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．
3 [∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×-12＝3，∴|a－b|＝3.]
9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
－92 [法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－92.
法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－12，
由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－12，
由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－72，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－92.]
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．
[解] (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cs θ＝a·bab＝-64×3＝－12.
又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝13.
(3)因为AB与BC的夹角θ＝2π3，
所以∠ABC＝π－2π3＝π3.
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，
所以S△ABC＝12|AB||BC|·sin ∠ABC
＝12×4×3×32＝33.
11．已知向量a＝sinx，34，b＝(cs x，－1)．
(1)当a∥b时，求cs2x－sin2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sin B＝63，求f(x)＋4cs 2A+π6x∈0，π3的取值范围．
[解] (1)因为a＝sinx，34，b＝(cs x，－1)，a∥b，
所以sinxcsx＝－34，所以tan x＝－34，所以
cs2x－sin2x＝cs2x－2sinx cs x
＝cs2x-2sinxcsxsin2x+cs2x＝1-2tanx1+tan2x
＝1+2×341+916＝85.
(2)因为a＝sinx，34，b＝(cs x，－1)，
所以a＋b＝sinx+csx，-14，
所以f(x)＝2(a＋b)·b＝2csxsinx+csx+14
＝2sin x cs x＋2cs2x＋12
＝sin2x＋cs 2x＋32＝2sin 2x+π4+32.
在△ABC中，a＝3，b＝2，sin B＝63，
所以由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝263，
得sin A＝22.
因为a＜b，所以角A为锐角，所以A＝π4，
所以f(x)＋4cs 2A+π6
＝2sin 2x+π4+32＋4cs 2×π4+π6
＝2sin 2x+π4-12，
因为x∈0，π3，所以2x＋π4∈π4，11π12，
所以sin 11π12≤sin 2x+π4≤sin π2，
因为sin 11π12＝sin 2π3+π4
＝sin 2π3cs π4＋cs 2π3sin π4＝6-24，
所以6-24≤sin 2x+π4≤1，
所以3-12≤2sin 2x+π4≤2，
所以3-12-12≤2sin 2x+π4-12≤2-12，
所以f(x)＋4cs 2A+π6x∈0，π3的取值范围为32-1，2-12.
12．在△ABC中，已知ABAB+ACAC·BC＝0，且ABAB·ACAC＝12，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
A [ABAB，ACAC分别为与AB，AC方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量ABAB+ACAC所在的直线为∠BAC的角平分线．
因为ABAB+ACAC·BC＝0，所以∠BAC的角平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又ABAB·ACAC＝ABABACAC·cs ∠BAC＝12，所以cs ∠BAC＝12，∠BAC＝60°.所以△ABC为等边三角形．]
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP·CP的最小值为________．
－98 [建立平面直角坐标系如图，
则B(2，0)，C(0，2)，M(1，0)，
直线BC的方程为x2+y2＝1，即x＋y＝2，
点P在边BC上，设P(x，2－x)，
∴MP＝(x－1，2－x)，CP＝(x，－x)，
∴MP·CP＝x(x－1)－x(2－x)＝2x2－3x＝2x-342－98≥－98，
∴MP·CP的最小值为－98.]
14．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
2＋1 [法一：由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝2.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP-OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.
法二：由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1)．
设c＝OC＝(x，y)，
由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上．
所以|c|max＝2＋1.
法三：易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|
≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，
由已知得||c|－2|≤1，
所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.]
15．已知△ABC的面积S满足3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB与BC的夹角为θ.求AB与BC夹角的取值范围．
[解] ∵AB·BC＝3，
∴AB，BC的夹角为锐角，
则|AB||BC|cs θ＝3，∴|AB||BC|＝3csθ，
又S∈32，32，
∴32≤12|AB||BC|sin π-θ≤32，
∴32≤12|AB||BC|sin θ≤32，
∴32≤32tan θ≤32，∴33≤tan θ≤1，
∴π6≤θ≤π4，
∴AB与BC夹角的取值范围为π6，π4.
读
想
算
思
正方形ABCD且E是AB边上的动点；求DE·CB，DE·DC的最大值
数量积的求解方法
投影法
数量积的几何意义
数形结合
基向
量法
数量积的运算
三角形法则
坐标法
建系，求相关点的坐标，建立函数
几何问题代数化，函数思想