高考数学一轮复习第5章第4课时复数学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第4课时复数学案，共16页。

2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi
(a，b∈R)实数b=0， 虚数b≠0当a=0时为纯虚数．
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+OZ2，Z1Z2＝OZ2-OZ1.
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；1+i1-i＝i；1-i1+i＝－i．
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|zn|＝|z|n．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.( )
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
A [因为z为纯虚数，所以x2-1=0，x-1≠0，所以x＝－1.]
2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D [CA＝CB+BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.]
3．(人教A版必修第二册P95 T7改编)若复数z满足方程zi＝1－i，则复数z对应点的坐标在第________象限．
二 [由题意可得z＝1-ii＝1-i-ii·-i＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.故复数z对应点的坐标在第二象限．]
4．(人教A版必修第二册P73练习T2改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1·z2|＝________．
5 [z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，
z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i.所以|z1·z2|＝5.]
考点一 复数的有关概念
[典例1] (1)(多选)若复数z＝21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝2
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
(2)(多选)下列结论正确的是( )
A．若复数z满足z＋z＝0，则z为纯虚数
B．若复数z满足1z∈R，则z∈R
C．若复数z满足z2≥0，则z∈R
D．若复数z1，z2满足 z12+z22＝0，则z1＝z2＝0
(1)ABC (2)BC [(1)z＝21+i＝21-i1+i1-i＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝2，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．故选ABC.
(2)对于A选项，设复数z＝0，z＋z＝0，z不为纯虚数，故A选项错误；对于B选项，设复数z＝a＋bia，b∈R，则1z＝1a+bi＝a-bia2+b2∈R，所以b＝0，即z∈R，故B选项正确；
对于C选项，设复数z＝a＋bia，b∈R，则z2＝a+bi2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z∈R，故C选项正确；
对于D选项，设复数z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，但z1＝z2＝0不成立，故D选项错误．
故选BC.]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[跟进训练]
1．(1)(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
(2)如果复数m2+i1+mi是纯虚数，那么实数m等于( )
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
(1)A (2)D [(1)因为a，b∈R，a+b＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1.
故选A.
(2)m2+i1+mi＝m2+i1-mi1+mi1-mi＝m2+m+1-m3i1+m2，因为此复数为纯虚数，所以m2+m=0，1-m3≠0，解得m＝－1或0，故选D.]
考点二 复数的四则运算
[典例2] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz-1＝( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．－13+33i D．－13-33i
(3)(2023·广东惠州模拟)已知1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0p，q∈R的一个根，i为虚数单位，则p＋qi＝( )
A．－2－3i B．5＋2i
C．－2＋5i D．2＋5i
(1)D (2)C (3)C [(1)(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i，故选D.
(2)z＝－1－3i，zz＝(－1＋3i)(－1－3i)＝1＋3＝4.
zzz-1＝-1+3i3＝－13+33i.
故选C.
(3)根据题意，1+2i2＋p1+2i＋q＝0⇒2p+4i＋p＋q－3＝0，所以2p+4=0p+q-3=0⇒p=-2q=5，所以p＋qi＝－2＋5i.故选C.]
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
[跟进训练]
2．(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
(2)若z＝i2 0231-i，则|z|＝________；z＋z＝________．
(1)C (2)22 1 [(1)因为z＝2－i，所以z(z＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故选C.
(2)z＝i2 0231-i＝-i1-i＝1-i2，
|z|＝122+-122＝22，
z＋z＝12-12i＋12+12i＝1.]
考点三 复数的几何意义
[典例3] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为22
(3)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．
(1)A (2)ACD (3)23 [(1)∵2-i1-3i＝2-i1+3i1-3i1+3i＝2+6i-i-3i212+-32＝5+5i10＝12+12i，
∴在复平面内，复数2-i1-3i对应的点的坐标为12，12，位于第一象限．故选A.
(2)复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi=x＋(y－1)i|，
即x-12+y2＝x2+y-12，整理得y＝x，
即点Z在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为1-22＝22，故D正确．故选ACD.
(3)法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝3＋i，
所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以3+a2+1+b2＝4，①
3-a2+1-b2＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝a2+b2＝23.
法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则z1＋z2对应向量OA+OB.
由题意知|OA|＝|OB|＝|OA+OB|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量BA，且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，
可得|BA|＝2|OA|sin 60°＝23.
故|z1－z2|＝|BA|＝23.]
【教师备选题】
(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是( )
A．z2＝zz
B．z2＝z2
C．若z＝1，则z+i的最大值为2
D．若z-1＝1，则0≤z≤2
ACD [对于A：设z＝a＋bia，b∈R，则z＝a－bi，∴z2＝a2＋b2，而zz＝a2＋b2，所以z2＝zz成立；
对于B：设z＝a＋bia，b∈R，当ab均不为0时，z2＝a+bi2＝a2－b2＋2abi，而z2＝a2＋b2，所以z2＝z2不成立；
对于C: z＝1可以看成以O0，0为圆心，1为半径的圆上的点P，z+i可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取z+i的最大值为2；
对于D: z-1＝1可以看成以M1，0为圆心，1为半径的圆上的点N，则z表示点N到原点距离，故O，N重合时，z＝0最小，当O，M，N三点共线时，z＝2最大，故0≤z≤2.故选ACD.]
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[跟进训练]
3．(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)(2023·山东胜利一中模拟)若复数z满足|z－1＋3i|＝3，则|z|的最大值为( )
A．1 B．2
C．5 D．6
(1)A (2)C [(1)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m+3＞0，m-1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.
(2)设z＝a＋bi，a，b∈R.
则|z－1＋3i|＝3表示复平面内点Z(a，b)到点(1，－3)的距离为3，则|z|的最大值为点(1，－3)到(0，0)的距离加上3.即|z|max＝1+3＋3＝5.故选C.]
课时分层作业(三十二) 复数
一、选择题
1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
B [∵a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，a，b∈R，
∴a＝－1，b＝3，故选B.]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋z＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D [由i(1－z)＝1，得1－z＝1i＝-i-i2＝－i, ∴z＝1＋i，
则z＝1－i, ∴z＋z＝1＋i＋1－i＝2.故选D.]
3．已知i是虚数单位，则化简1+i1-i2 023的结果为 ( )
A．i B．－i
C．－1 D．1
B [因为1+i1-i＝1+i21-i1+i＝1+2i+i22＝i，
所以1+i1-i2 023＝i2 023＝i3＝－i.]
4．设i是虚数单位，若复数a＋5i2+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
D [a＋5i2+i＝a＋5i2-i2+i2-i＝a＋2i＋1＝(a＋1)＋2i.因为是纯虚数，所以a＋1＝0，则a＝－1.]
5．如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
D [由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋41+i1-i1+i＝1－i＋4+4i2＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.]
6．(2022·广东广州三模)若复数z满足z1+i＝3-i，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [由z1+i＝3-i＝32+-12＝2，得z ＝ 21 + i ＝ 21-i 1 + i 1-i ＝ 1－i ，则z＝ 1 ＋ i ，则复平面内z的共轭复数对应的点位于第一象限．故选A.]
7．(多选)(2022·湖北十堰三模)已知复数z1＝1－3i，z2＝3＋i，则( )
A．|z1＋z2|＝6
B．z1－z2＝－2＋2i
C．z1z2＝6－8i
D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限
BC [由题可知，z1+z2＝42+-22＝25，A错误；
z1－z2＝－2＋2i，B正确；
z1z2＝1-3i3+i＝3＋i－9i－3i2＝6－8i，C正确；对应的点在第四象限，D错误．故选BC.]
8．(多选)(2023·山东济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足z2-1+2i＝2，z2在复平面内对应的点为Mx，y，则( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．1z1＝－25-15i
C．x+12＋y-22＝4
D．z2-z1的最大值为32＋2
ABD [对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为-2，1，该点位于第二象限，A正确；
对于B选项，1z1＝1-2+i＝-2-i-2+i-2-i＝-25-15i，B正确；
对于C选项，由题意可得z2－1＋2i＝x-1+y+2i，因为z2-1+2i＝2，则x-12＋y+22＝4，C错误；
对于D选项，z1－1＋2i＝－3＋3i，则z1-1+2i＝-32+32＝32，
所以z2-z1＝z2-1+2i-z1-1+2i≤z2-1+2i+z1-1+2i＝2＋32，D正确．故选ABD.]
二、填空题
9．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则另外一个根是________，a＝________．
2＋3i 13 [设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.]
10．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为________．
－2＋i [因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i.]
11．请写出一个同时满足①z-2i=z-2；②z2＝2的复数z，z＝________．
1＋i(或－1－i) [设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到a2+b-22＝a-22+b2，两边平方化简可得a＝b，故z2＝2⇒a2＋b2＝2⇒a＝b＝±1，z＝±1+i.]
12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．
3 [因为|z－2|＝x-22+y2＝3，
所以(x－2)2＋y2＝3.
由图可知yxmax＝31＝3.]
13．(多选)(2022·山东滨州一模)欧拉公式eix＝cs x＋isin x(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列结论中正确的是( )
A．复数eiπ2为纯虚数
B．复数ei2对应的点位于第二象限
C．复数eiπ3的共轭复数为32-12i
D．复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆
ABD [对A：因为复数eiπ2＝cs π2＋isin π2＝i为纯虚数，故选项A正确；
对B：复数ei2＝cs 2＋isin 2，因为cs 2<0，sin 2>0，所以复数ei2对应的点为cs2，sin2位于第二象限，B正确；
对C：复数eiπ3＝cs π3＋isinπ3＝12 +32i的共轭复数为12-32i，故选项C错误；
对D：复数eiθ＝cs θ＋isin θ(θ∈R)在复平面内对应的点为csθ，sinθ，因为cs2θ＋sin2θ＝1，所以复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确．故选ABD.]
14．(多选)(2023·福建福州模拟)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝rcsθ+isin θ，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A．z2＝z2
B．当r＝1，θ＝π3时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝π3时，z＝12-32i
D．当r＝1，θ＝π4时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
AC [对于A选项，z＝rcsθ+isin θ，则z2＝r2cs2θ+isin 2θ，可得|z2|＝|r2(cs 2θ＋isin 2θ)|＝r2，|z|2＝|r(cs θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确；
对于B选项，当r＝1，θ＝π3时，z3＝csθ+isin θ3＝cs 3θ＋isin 3θ＝cs π＋isin π＝－1，B选项错误；
对于C选项，当r＝1，θ＝π3时，z＝cs π3＋isin π3＝12 +32i，则z＝12-32i，C选项正确；
对于D选项，zn＝csθ+isin θn＝cs nθ＋isin nθ＝cs nπ4＋isinnπ4，
取n＝4，则n为偶数，则z4＝cs π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误．故选AC.]