高考数学一轮复习第7章第6课时空间向量的运算及其应用学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第6课时空间向量的运算及其应用学案，共31页。

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
4．理解直线的方向向量及平面的法向量.
5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量的有关概念
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
提醒：在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
6．空间位置关系的向量表示
[常用结论]
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线；
(1)PA＝λPB(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA＝xPB＋yPC，或对空间任一点O，有OA＝OP＋xPB＋yPC，或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( )
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).
( )
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.( )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
C [∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A.－12a＋12b＋c B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c D．12a－12b＋c
A [BM＝BB1+B1M＝AA1+12(AD-AB)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.]
3．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝34OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
18 [∵P，A，B，C四点共面，∴34+18＋t＝1，
∴t＝18.]
4．(人教A版选择性必修第一册P15T5改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
2 [|EF|2＝EF2＝(EC+CD+DF)2
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)
＝2，
所以|EF|＝2，所以EF的长为2.]
考点一 空间向量的线性运算
[典例1] 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP；(2)A1N；
(3)MP+NC1.
[解] (1)因为P是C1D1的中点，
所以AP＝AA1+A1D1+D1P＝a＋AD+12D1C1
＝a＋c＋12AB＝a＋c＋12b.
(2)因为N是BC的中点，
所以A1N＝A1A+AB+BN＝－a＋b＋12BC
＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋12c.
(3)因为M是AA1的中点，
所以MP＝MA+AP＝12A1A+AP
＝－12a＋a+c+12b＝12a＋12b＋c，
又NC1＝NC+CC1＝12BC+AA1
＝12AD+AA1＝12c＋a，
所以MP+NC1＝12a+12b+c+a+12c
＝32a＋12b＋32c.
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
[跟进训练]
1．(1)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①OA+OD与OA1＋OD1是一对相反向量；
②OB-OC1与OC-OB1是一对相反向量；
③OA1＋OB1＋OC1＋OD1与OD+OC+OB+OA是一对相反向量；
④OC-OA与OC1－OA1是一对相反向量．
正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________．
(1)A (2)56 [(1)设E，F分别为AD和A1D1的中点，
①OA+OD＝2OE与OA1+OD1＝2OF不是一对相反向量，错误；②OB-OC1＝C1B与OC-OB1＝B1C不是一对相反向量，错误；③OA1＋OB1＋OC1＋OD1＝－OC-OD-OA-OB＝－(OC+OD+OA+OB)是一对相反向量，正确；④OC-OA＝AC与OC1－OA1＝A1C1不是一对相反向量，是相等向量，错误．即正确结论的个数为1.故选A.
(2)连接ON，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
则MN＝ON-OM＝12(OB+OC)－12OA＝12b＋12c－12a，
OG＝OM+MG＝12OA+23MN
＝12a＋2312b+12c-12a
＝16a＋13b＋13c.
又OG＝xOA＋yOB＋zOC，
所以x＝16，y＝13，z＝13，
因此x＋y＋z＝16+13+13＝56.]
考点二 共线(共面)向量定理的应用
[典例2] 如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
[证明] (1)连接BG，EG，则EG＝EB+BG
＝EB+12BC+BD
＝EB+BF+EH
＝EF+EH.
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为EH＝AH-AE＝12AD-12AB＝12(AD-AB)＝12BD，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
【教师备选题】
(1)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
(1)657 [∵a与b不共线，故存在实数x，y使得c＝xa＋yb，
∴2x-y=7，-x+4y=5，3x-2y=λ，解得x=337，y=177，λ=657.故填657.]
(2)如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
[解] 因为AM＝kAC1，BN＝kBC，
所以MN＝MA+AB+BN＝kC1A+AB＋kBC
＝k(C1A+BC)＋AB＝k(C1A+B1C1)＋AB
＝kB1A+AB＝AB－kAB1
＝AB－k(AA1+AB)
＝(1－k)AB－kAA1，
所以由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
[跟进训练]
2．(1)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，12 B．－13，12
C．－3，2 D．2，2
(2)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1＝________．
(1)A (2)213 [(1)∵a∥b，∴设b＝xa，
∴xλ+1=6，2μ-1=0，2x=2λ，
解得μ=12，λ=2，或μ=12，λ=-3.故选A.
(2)由题图知，设AM＝λAC1(0＜λ＜1)，
由已知AC1＝AB+AD+AA1＝2AE＋3AF+32AG，
所以AM＝2λAE＋3λAF+3λ2AG.
因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋3λ2＝1，解得λ＝213.]
考点三 空间向量数量积的应用
[典例3] 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
[解] (1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝12.
|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12+12+12＝6，
∴|AC1|＝6，即AC1的长为6.
(2)证明：∵AC1＝a＋b＋c，BD＝b－a，
∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cs 60°－|a||c|cs 60°＝0.
∴AC1⊥BD，∴AC1⊥BD.
(3)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝2，|AC|＝3，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cs 〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD1AC＝66.
∴AC与BD1夹角的余弦值为66.
空间向量数量积的应用
求夹角-设向量a，b所成的角为θ，则csθ＝a·bab，进而可求两异面直线所成的角
|
求长度距离-运用公式a2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
|
解决垂直问题-利用a⊥b⇔a·b＝0a≠0，b≠0，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
[跟进训练]
3．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)由题意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cs 〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝-2+3+614×14＝714＝12，所以sin 〈AB，AC〉＝32，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×12|AB|·|AC|·sin 〈AB，AC〉＝14×32＝73.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2+y2+z2=3，-2x-y+3z=0，x-3y+2z=0，
解得x=1，y=1，z=1 或x=-1，y=-1，z=-1，
所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
考点四 利用向量证明平行与垂直
[典例4] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
[证明] (1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32，0，32，
∴DP＝(0，－1，2)，DA＝(23，3，0)，
CM＝32，0，32.
设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，
由DP·n=0，DA·n=0，即-y+2z=0， 23x+3y=0，
令y＝2，则n＝(－3，2，1)是平面PAD的一个法向量．
∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，
∴n⊥CM.又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)法一：由(1)知BA＝(0，4，0)，PB＝(23，0，－2)，
设平面PAB的法向量为m＝(x0，y0，z0)，
由BA·m=0，PB·m=0，即4y0=0， 23x0-2z0=0，
令x0＝1，则m＝(1，0，3)是平面PAB的一个法向量．
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2，1)，
∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，
∴平面PAB⊥平面PAD.
法二：取AP的中点E，连接BE，
则E(3，2，1)，BE＝(－3，2，1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵BE·DA＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0，
∴BE⊥DA.∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
1．利用向量证明平行问题
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
(1)线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
[跟进训练]
4．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
[解] 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a.
(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，Ea2，1，0，B1(a，0，1)，
故AD1＝(0，1，1)，B1E＝-a2，1，-1.
因为B1E·AD1
＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此B1E⊥AD1，所以B1E⊥AD1.
(2)存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)，
再设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
AB1＝(a，0，1)，AE＝a2，1，0.
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥AE，
得ax+z=0，ax2+y=0，
取x＝1，则y＝－a2，z＝－a，
则平面B1AE的一个法向量n＝1，-a2，-a.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，
有a2－az0＝0，
解得z0＝12.
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12.
课时分层作业(四十二) 空间向量的运算及其应用
一、选择题
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．75 B．2
C．53 D．1
A [因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝75.
故选A.]
2．(2022·福建福州一中三模)以下四组向量在同一平面的是( )
A．(1，1，0)、(0，1，1)、(1，0，1)
B．(3，0，0)、(1，1，2)、(2，2，4)
C．(1，2，3)、(1，3，2)、(2，3，1)
D．(1，0，0)、(0，0，2)、(0，3，0)
B [对于A选项，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，
所以，n=1， m=1， m+n=0，无解；
对于B选项，因为(2，2，4)＝0·(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，
所以，x+2y=1，3x+3y=2，2x+y=3，无解；
对于D选项，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，
所以0=1，3b=0，2a=0，矛盾．故选B.]
3．(2022·广东六校联考)已知正四面体ABCD的棱长为1，且BE＝2EC，则AE·CD＝( )
A．16 B．－16
C．－13 D．13
C [因为BE＝2EC，所以CE＝13CB.
根据向量的减法的几何意义，得AE＝CE-CA＝13CB-CA，
所以AE·CD＝13CB-CA·CD＝13CB·CD-CA·CD
＝13|CB||CD|cs⁡π3－|CA||CD|cs π3＝13×1×1×12－1×1×12＝－13.故选C.]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内
B [建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝2a3，则Ma，2a3，a3，N2a3，2a3，a，MN＝-a3，0，2a3.
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．
因为MN·C1D1＝0，
所以MN⊥C1D1，又MN⊄平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.]
5．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．AB与AC是共线向量
B．AB的单位向量是(1，1，0)
C．AB与BC夹角的余弦值是－5511
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
CD [由题意，对于A，AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以AB≠λAC，则AB与AC不是共线向量，所以A不正确；
对于B，因为AB＝(2，1，0)，所以AB的单位向量为255，55，0或-255，-55，0，所以B不正确；
对于C，向量AB＝(2，1，0)，BC＝(－3，1，1)，
所以cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝－5511，所以C正确；
对于D，设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，因为AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以n·AB=0，n·AC=0 ⇒2x+y=0， -x+2y+z=0，令x＝1，则y＝－2，z＝5.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，－2，5)，所以D正确．故选CD.]
6．(多选)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(A1A+A1D1+A1B1)2＝3(A1B1)2
B．A1C·(A1B1-A1A)＝0
C．向量AD1与向量A1B的夹角是60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|
AB [由向量的加法法则得到：A1A+A1D1+A1B1＝A1C，
∵A1C2＝3A1B12，∴(A1C)2＝3(A1B1)2，所以A正确；
∵A1B1-A1A＝AB1，AB1⊥A1C，∴A1C·AB1＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴AB·AA1＝0，故|AB·AA1·AD|＝0，因此D不正确．]
二、填空题
7．已知点A(－1，1，0)，B(1，2，0)，C(－2，－1，0)，D(3，4，0)，则AB在CD上的投影向量为________．
32，32，0 [由已知得AB＝(2，1，0)，CD＝(5，5，0)，
∴AB·CD＝2×5＋1×5＋0＝15，
又|CD|＝52，
∴AB在CD上的投影向量为
AB·CDCD·CDCD＝1552×CD52＝310CD＝32，32，0.]
8．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则2x＋y＋z＝________．
1 [∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0，1，－1)，AC＝(－2，2，2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)．
∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，
∴x-1=-2μ， y-1=λ+2μ， z+2=-λ+2μ，解得2x＋y＋z＝1.]
9．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
α∥β [设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，
由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，
∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]
三、解答题
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1)试用向量AB，AD，AA1表示AG；
(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.
[解] (1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则AG＝AA1+A1D1+D1G＝c＋b＋12DC＝12a＋b＋c＝12AB+AD+AA1.
故AG＝12AB+AD+AA1.
(2)证明：AC＝AB+BC＝a＋b，
EG＝ED1+D1G＝12b＋12a＝12AC，
∵EG与AC无公共点，
∴EG∥AC，
∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
∴EG∥平面AB1C.
又∵AB1＝AB+BB1＝a＋c，
FG＝FD1+D1G＝12c＋12a＝12AB1，
∵FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1，
∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，
∴FG∥平面AB1C.
又∵FG∩EG＝G，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
[解] (1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，a)，Fa2，a2，a2.EF＝-a2，0，a2，DC＝(0，a，0)．
因为EF·DC＝0，所以EF⊥DC，即EF⊥CD.
(2)设G(x，0，z)，
则FG＝x-a2，-a2，z-a2，CB＝(a，0，0)，CP＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，则需FG·CB＝0，且FG·CP＝0，
由FG·CB＝x-a2，-a2，z-a2·(a，0，0)＝ax-a2＝0，得x＝a2，由FG·CP＝x-a2，-a2，z-a2·(0，－a，a)＝a22＋az-a2＝0，得z＝0.
所以G点坐标为a2，0，0，
即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
12．(多选) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当A1C＝2A1P时，B1，P，D三点共线
B．当AP⊥A1C时，AP⊥D1P
C．当A1C＝3A1P时，D1P∥平面BDC1
D．当A1C＝5A1P时，A1C⊥平面D1AP
ACD [在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，
则A1C＝(－1，3，－1)，D1A＝(1，0，－1)．
对于A选项，当A1C＝2A1P时，P为线段A1C的中点，则P12，32，12，DP＝12，32，12，DB1＝(1，3，1)，则DB1＝2DP，所以B1，D，P三点共线，A正确；
对于B选项，设A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，
AP＝AA1+A1P＝(－λ，3λ，1－λ)，
由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5λ－1＝0，解得λ＝15，
所以AP＝-15，35，45，D1P＝D1A+AP
＝(1，0，－1)＋-15，35，45＝45，35，-15，
所以D1P·AP＝－425+325-425＝－15≠0，
所以AP与D1P不垂直，B错误；
对于C选项，当A1C＝3A1P时，
A1P＝13A1C＝-13，33，-13，DC1＝(0，3，1)，DB＝(1，3，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·DC1=0，n·DB=0， 即3y+z=0，x+3y=0，
令y＝1，则x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，
又A1D1＝(－1，0，0)，
所以D1P＝A1P-A1D1＝23，33，-13，
所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－13×(－3)＝0，
所以D1P⊥n，
∵D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
对于D选项，当A1C＝5A1P时，
A1P＝15A1C＝-15，35，-15，
所以D1P＝A1P-A1D1＝45，35，-15，
所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×-15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0.所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．
故选ACD.]
13．(2022·福建龙岩模拟)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为________；过点A作一个平面分别交PB、PC、PD于点E、F、G进行切割，得到四棱锥P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC＝12，则PGPD的值为________．
32π 34 [第一空，设AC，BD交于点O，连接PO，
由于P-ABCD为正四棱锥，故PO为四棱锥的高，
由底边和侧棱长均为4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22 ，
PO＝PA2-OA2＝42-222＝22 ，
即点O到点P，A，B，C，D的距离相等，
故O即为该正四棱锥的外接球球心，
则外接球半径为22 ，
故外接球表面积为4π×(22)2＝32π .
第二空，PA＝PD+DA＝PD+CB＝PD+PB-PC ，
设PD＝tPG，则PA＝tPG+53PE－2PF，
由于点A，E，F，G四点共面，故t＋53－2＝1，
解得t＝43，故PD＝43PG，则PGPD＝34.]
14．如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥ AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝AA12＋AO2－2AA1·AOcs 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝AA12，所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3)．
由于BD＝(－23，0，0)，AA1＝(0，1，3)，AA1·BD＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD⊥AA1，即BD⊥AA1.
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设CP＝λCC1，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，3)．
从而有P(0，1＋λ，3λ)，BP＝(－3，1＋λ，3λ)．
设平面DA1C1的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，
则n3·A1C1=0，n3·DA1=0，
又A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(3，0，3)，
则2y3=0， 3x3+3z3=0，取n3＝(1，0，－1)，
因为BP∥平面DA1C1，所以n3⊥BP，
即n3·BP＝－3-3λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1.
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
a
a12+a22+a32
夹角余弦值
cs 〈a，b〉＝a·bab
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同过点P
MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB
对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB