高考数学一轮复习第8章第3课时圆的方程学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第3课时圆的方程学案，共22页。
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义及方程
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
[常用结论]
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，3
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13
D [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.]
2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
A [法一：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝1--12+-1-12＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]
3．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：由已知条件得AB垂直平分线方程l1：y＝x，
由y=x， x+y-2=0，解得x=1，y=1，
∴圆心坐标为(1，1)，
∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.]
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴F=0， 2+D+E+F=0，4+2D+F=0， 解得D=-2，E=0， F=0.
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
考点一 圆的方程
[典例1] (1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
(1)x-22＋y-32＝13或x-22＋y-12＝5或x-432＋y-732＝659或x-852＋y-12＝16925(从这四个方程中任选一个作答即可) (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5
[(1)依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若圆过点0，0，4，0，-1，1，
则F=0， 16+4D+F=0， 1+1-D+E+F=0， 解得F=0， D=-4，E=-6，易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即x-22＋y-32＝13.
若圆过点0，0，4，0，4，2，
则F=0， 16+4D+F=0， 16+4+4D+2E+F=0， 解得F=0，D=-4，E=-2，易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即x-22＋y-12＝5.
若圆过点0，0，-1，1，4，2，
则F=0， 1+1-D+E+F=0， 16+4+4D+2E+F=0， 解得F=0， D=-83，E=-143，易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－83x－143y＝0，即x-432＋y-732＝659.
若圆过点-1，1，4，0，4，2，
则1+1-D+E+F=0， 16+4D+F=0， 16+4+4D+2E+F=0， 解得F=-165，D=-165，E=-2， 易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－165x－2y－165＝0，即x-852＋y-12＝16925.
(2)法一(三点共圆)：
∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴a-32+1-2a2＝a2+-2a2＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝5，
⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二(圆的几何性质)：
由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．又圆的半径R＝5，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.]
求圆的方程的两种方法
几何法-根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
|
待定 系数法-①若已知条件与圆心a，b和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关 于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
[跟进训练]
1．(1)若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)A (2)(－2，－4) 5 [(1)直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
(2)由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．]
考点二 与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求yx的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．
(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设yx＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+1＝3，解得k＝±3(如图①)．
所以yx的最大值为3，最小值为－3.
图① 图② 图③
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b2＝3，解得b＝－2±6(如图②)．
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．
又圆心到原点的距离为2-02+0-02＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.
建立函数关系求最值
[典例3] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________．
12 [法一：由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
法二：由向量的极化恒等式PA·PB＝PO2－AO2＝PO2－4，
由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则
当点P坐标为(0，4)时，PO2取得最大值16，
∴PA·PB的最大值为16－4＝12.]
1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝y-bx-a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值．
[跟进训练]
2．(1)(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[2，32] D．[22，32]
(2)一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )
A．4 B．5
C．52－1 D．26－1
(3)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO(O为坐标原点)的取值范围是( )
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
(1)A (2)C (3)C [(1)圆心(2，0)到直线的距离d＝2+0+22＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].
(2)根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3，2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由|A′C|＝25+25＝52，则A′到圆C上的点的最短距离为52－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是52－1，故选C.
(3)将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以PC＝(2－x，－y)，而PO＝(－x，－y)，所以PC·PO＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以PC·PO＝4x－3－2x＝2x－3.因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，从而PC·PO(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3].故选C.]
考点三 与圆有关的轨迹问题
[典例4] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[四字解题]
[解] (1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝yx+1，kBC＝yx-3，
所以yx+1·yx-3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0+32，y＝y0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
[跟进训练]
3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________．
x2＋y2＝a2 [如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．
设P(x，y)，因为PA⊥PB，
所以yx+a·yx-a＝－1(x≠±a)．
化简，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．
当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.]
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得x+m2+y2＝λx-m2+y2，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，x-λ2+1λ2-1m2＋y2＝4λ2m2λ2-12，轨迹为以点λ2+1λ2-1m，0为圆心，2λmλ2-1为半径的圆．
[典例] (1)(多选)(2023·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A-2，0，B4，0.点P满足PAPB＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论
正确的是( )
A．C的方程为x+42＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．在C上存在点M，使得MO＝2MA
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
(2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝2|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
(1)AD (2)[－22－1，22－1] [(1)由题意可设点Px，y，由A-2，0，B4，0，PAPB＝12，得x+22+y2x-42+y2＝12，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即x+42＋y2＝16，故A正确；
点(1，1)到圆上的点的最大距离-4-12+0-12＋40，b>0)，
∴2a+6b＝23(a＋3b)1a+3b
＝231+3ab+3ba+9≥2310+23ab·3ba＝323，
当且仅当3ba＝3ab，即a＝b时取等号．]
三、解答题
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
[解] (1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在直线CD上得a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝410，
所以|PA|＝210.
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得a=-3，b=6或a=5，b=-2，
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
11. 已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x+32+y2＝2x-32+y2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l2是此圆的切线，
连接CQ，
则|QM|＝CQ2-CM2
＝CQ2-16，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
又|CQ|＝5+32＝42，
则|QM|的最小值为32-16＝4.
12．圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于( )
A．2 B．23
C．25 D．4
B [令y＝0得x2＋4x＋1＝0，设圆与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝1.
所以|AB|＝x1+x22-4x1x2＝23.]
13．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
ABD [圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－40，∴此方程两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．]
14．(2023·德阳模拟)如图，点A(0，8)，B(0，2)，那么在x轴正半轴上存在点C，使得∠ACB最大，这就是著名的米勒问题．那么当∠ACB取得最大时，△ABC外接圆的标准方程是 ________．
(x－4)2＋(y－5)2＝25 [因为点A、B是y轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大，由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心，所以弦AB的中点G的纵坐标，即为△ABC外接圆半径的大小，即r＝5，依题意，可得△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－5)2＝25，a>0，把点A(0，8)代入圆的方程，求得a＝4(负值舍去)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25.]
15．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC·BC＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－12.
此时C(0，－1)，AB的中点M-14，0即圆心，
半径r＝|CM|＝174，
故所求圆的方程为x+142＋y2＝1716.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令x2+y2-y=0，x+2y-2=0，
可得x=0，y=1或x=25，y=45，
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45.
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心-D2，-E2，
半径12D2+E2-4F
读
想
算
思
A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程
AC⊥BC
kAC·kBC＝－1
转化化归
直角三角形的性质
斜边的中线等于斜边的一半