高考数学一轮复习第8章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共26页。
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
2．圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
[常用结论]
1．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B [圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而00，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝mm2+12＋11，两圆相离，故B正确；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；
直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝50与圆x-12＋y-12＝3相交所得的弦长为m，则m＝________．
2 [圆x-12＋y-12＝3的圆心坐标为1，1，半径为3，
圆心到直线x－y＋m＝0m>0的距离为1-1+m2＝m2，
由勾股定理可得m22＋m22＝3，因为m>0，解得m＝2.]
8．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________．
－2 5 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+12＝－12，解得m＝－2.
∴圆心为(0，－2)，则半径r＝-2-02+-1+22＝5.]
9．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞) [直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则|MC|≤2，只需|MC|min≤2，即圆C：x2＋y2＝1的圆心到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，即d＝4a2+1≤2，解得a≤－3或a≥3.]
三、解答题
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线与圆C相切？
(2)当直线与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线的方程．
[解] (1)圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C的坐标为(0，4)，半径长为2，
当直线l与圆C相切时，则2a+4a2+1＝2，解得a＝－34.
(2)由题意知，圆心C到直线l的距离为
d＝22-AB22＝2，
由点到直线的距离公式可得d＝2a+4a2+1＝2，
整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或－7.
因此，直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
11．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．
[解] (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝2-02+1+12＝22，
所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x+4y+r22－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝r12-AH2＝2.
又|O1H|＝4×0+4×-1+r22-842+42
＝r22-1242，
所以r22-1242＝2，
解得r22＝4或r22＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
12．在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )
A．0，125 B．[0，1]
C．1，125 D．0，125
A [因为圆心在直线y＝2x－4上，圆心C的横坐标为a，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2+y-32＝2x2+y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2+2a-32≤3.
由a2+2a-32≥1得5a2－12a＋8≥0，
解得a∈R；
由a2+2a-32≤3得5a2－12a≤0，
解得0≤a≤125.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.
故选A.]
13．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝32
D．当∠PBA最大时，|PB|＝32
ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5-45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝MB2-MN2＝52+5-22-42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．综上，故选ACD.
]
14．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－34x＋54或y＝724x－2524或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为32+42＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kO O1＝43，所以kl＝－34，设方程为y＝－34x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝t1+916＝1，解得t＝54，所以l的方程为y＝－34x＋54.
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意p1+k2=1，3k+4+p1+k2=4，
解得k=-724，p=2524， 所以l的方程为y＝724x－2524.
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.]
15．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[解] (1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝12，
所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则2+y1y2y1+y22+1＝1，即y12-1y22+2y1y2+3-y12＝0，
同理可得y12-1y32+2y1y3+3-y12＝0，
所以y2，y3是方程y12-1y2+2y1y+3-y12＝0的两个根，
则y2＋y3＝-2y1y12-1，y2y3＝3-y12y12-1.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，
则d2＝2+y2y321+y2+y32＝2+3-y12y12-121+-2y1y12-12＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切．位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+CA2+B2
dr
代数法：
由Ax+By+C=0， (x-a)2+(y-b)r2=r2
消元得到一元二次方程
根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ