高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案，共27页。
2．掌握椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质
[常用结论]
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，±b2a．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ．
6S△F1PF2＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.
2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4) x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1 T1改编)如果点Mx，y在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y-32＝43，则点M的轨迹是( )
A．不存在 B．椭圆
C．线段 D．双曲线
B [x2+y+32+x2+y-32＝43表示平面由点Mx，y到点(0，－3)，(0，3)的距离之和为43，而3－(－3)＝68＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264+y248＝1.
(2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝PF12+PF22－2|PF1||PF2|cs ∠F1PF2＝PF1+PF22－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－23|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝12×6×223＝22，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25d＝22，所以d＝2105，故C选项正确；
PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2＝6×13＝2，故D选项正确．故选BCD.
(3)椭圆方程可化为x29+y25＝1.
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)，
∴|AF1|＝2，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.]
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
[跟进训练]
1．(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A．x212+y211＝1 B．x236-y235＝1
C．x23-y22＝1 D．x23+y22＝1
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
(1)D (2)8 [(1)由题意得|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，
∴b＝2，
∴动点P的轨迹方程为x23+y22＝1，故选D.
(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.]
考点二 椭圆的标准方程
[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点-32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为________．
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225+x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝53，则椭圆的标准方程为________．
(1)y210+x26＝1 (2)y220+x24＝1 (3)x29+y24＝1或y2814+x29＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由-322m+522n=1，3m+5n=1，
解得m＝16，n＝110.
∴椭圆方程为y210+x26＝1.
(2)法一(定义法)：椭圆y225+x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝3-02+-5+42+3-02+-5-42，
解得a＝25.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆y225+x29＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上，
∴-52a2+32b2＝1，
则5a2+3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝53，所以c＝5，b＝2，所以椭圆方程是x29+y24＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝ca＝53，解得a2＝814，所以椭圆方程是y2814+x29＝1.
综上得，所求椭圆的标准方程为x29+y24＝1或y2814+x29＝1.]
1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x2a2+y2b2＝1与x2a2+y2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
[跟进训练]
2．(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．x236+y216＝1 B．x240+y215＝1
C．x249+y224＝1 D．x245+y220＝1
(2)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E的方程为________.
(1)C (2)x28+y24＝1 [(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝FF'2-PF2＝102-62＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为x249+y224＝1.故选C.
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝22－2.
因为离心率e＝22，所以ca＝22，
解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为x28+y24＝1.]
考点三 椭圆的简单几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
[典例3] (2022·广东惠州三调)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为( )
①轨道Ⅱ的焦距为R－r；
②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r；
④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
C [由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，故①正确；
由①知a＝R+r2，c＝R-r2，
所以2b＝2a2-c2＝2R+r24-R-r24＝2Rr，
若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越大，故②错误；
由①知2a＝R＋r，故轨道Ⅱ的长轴长为R＋r，故③正确；
因为e＝ca＝R-r2R+r2＝R-rR+r＝1－2rR+r＝1－2Rr+1，
若r不变，R越大，则2Rr+1越小，
所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确．故选C.]
离心率问题
[典例4] (1)(2023·山东青岛模拟)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，PF1=5PF2，则C的离心率为( )
A．216 B．22
C．12 D．23
(2)已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．0，22 B．22，1
C．0，32 D．32，1
(1)A (2)B [(1)在椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得PF1+PF2＝2a，
因为PF1=5PF2，所以PF2＝a3，PF1＝5a3，在△PF1F2中，F1F2＝2c，
由余弦定理得F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cs ∠F1PF2，
即4c2＝25a29+a29-5a29＝73a2，所以c2a2＝712，
所以C的离心率e＝ca＝216.故选A.
(2)若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥12，
又eb>0上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN.
性质2：PO平分切点弦MN.
性质3：S△MON的最大值为ab2，S△MON的最小值为a2b2a2+b2.
[典例] (多选)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1a>b>0的蒙日圆为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为22
B．△MPQ面积的最大值为32a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为2-2a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－12
ABD [依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝32a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝ca＝1-b2a2＝22，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以PQ＝2×32a2＝6a，所以△MPQ面积的最大值为12PQ×32a2＝6a2×32a2＝32a2，故B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F-c，0，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝12a2，所以MF2＝x0+c2+y02＝x02+y02＋2x0c＋c2＝32a2＋2x0×22a＋12a2＝2a2＋2ax0，又－62a≤x0≤62a，所以MF2≥2-3a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为6-2a2，故C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设Ax1，y1，Dx2，y2，则B-x1，-y1，k1＝y1-y2x1-x2，k2＝y1+y2x1+x2，又x122b2+y12b2=1，x222b2+y22b2=1，所以x12-x222b2+y12-y22b2＝0，所以y12-y22x12-x22＝y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2＝－12，所以k1k2＝－12，故D正确．故选ABD.]
课时分层作业(四十九) 椭圆及其性质
一、选择题
1．下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A．x220+y29＝1 B．x220+y210＝1
C．x220+y211＝1 D．x220+y212＝1
A [由e＝1-b2a2，根据选项中的椭圆的方程，可得b2a2的值满足9200)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．22，1 B．12，1
C．0，22 D．0，12
C [点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，
则x02a2+y02b2＝1, ∴x02＝a21-y02b2，
故|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝a21-y02b2＋(y0－b)2＝(-c2b2y02)－2by0＋a2＋b2，
y0∈[－b，b]，又对称轴y0＝－b3c20)截得的弦长为22.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设C1的右焦点为F2，在C2上是否存在点P，满足PF1＝a2b2PF2？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)，若不存在，说明理由．
[解] (1)由已知直线l与x轴交点为F1(－2，0)，所以c＝2，又e＝ca＝2a＝63，所以a＝6，则b＝a2-c2＝2，
所以椭圆C1的方程为x26+y22＝1.
(2)圆C2的圆心为C2(3，3)，它到直线l的距离为d＝3-3+22＝2，
所以弦长为2r2-d2＝2r2-2＝22，r＝2(r>0)，
即圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
设P(x，y)，由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，a2b2＝62＝3，
所以PF1＝a2b2PF2，即为PF1＝3PF2，
所以x+22+y2＝3x-22+y2，
化简得x-522＋y2＝94，
所以满足PF1＝a2b2PF2的点P在圆M：x-522＋y2＝94上，
其中圆心为M52 ，0，半径为R＝32.
又C2M＝52 -32+0-32＝372，
R＋r＝2＋32＝72，R－r＝2－32＝12，显然R-r0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2