高考数学一轮复习第8章第7课时双曲线学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第7课时双曲线学案，共35页。
2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2．
[常用结论]
1．双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x2m-y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(易错题)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6.]
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224-y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
10 75 y＝±5612x [双曲线y225-x224＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，
渐近线方程为y＝±5612x.]
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．
x215-y215＝1 [设双曲线的方程为x2a2-y2a2＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为x215-y215＝1.]
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－2，－1) [因为方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1.]
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝________．
(1)x2－y28＝1(x≤－1) (2)34 [(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，
所以cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝422+222-422×42×22＝34.]
[拓展变式]
1．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝23.
2．将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.

【教师备选题】
(1)x2+y-32-x2+y+32＝4表示的曲线方程为( )
A．x24-y25＝1(x≤－2)
B．x24-y25＝1(x≥2)
C．y24-x25＝1(y≤－2)
D．y24-x25＝1(y≥2)
(2)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．直线 D．圆
(3)(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
(1)C (2)B (3)C [(1)x2+y-32的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，x2+y+32的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则x2+y-32-x2+y+32＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则x2+y-32-x2+y+32＝4表示的曲线方程为y24-x25＝1(y≤－2)．
(2)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝20，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )
A．x24-y22＝1 B．x23-y22＝1
C．x24-y28＝1 D．x2－y22＝1
(3)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________．
(1)AB (2)D (3)y225-x275＝1 [(1)设双曲线方程为x22m-y2m＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m0)．
∴9m-28n=1，72m-49n=1，解得m=-175，n=-125.
∴双曲线方程为y225-x275＝1.]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1)(2022·天津高考)已知抛物线y2＝45x，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝π4，则双曲线的标准方程为( )
A．x210－y2＝1 B．x2－y216＝1
C．x2－y24＝1 D．x24－y2＝1
(2)(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为x216-y29＝1的条件是( )
A．双曲线的离心率为54
B．双曲线过点5，94
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
(3)(2022·广东广州二模)写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为y＝2x；③焦距大于10.
(1)C (2)ABC (3)5y2144-5x236＝1(答案不唯一，写出一个即可) [(1)抛物线y2＝45x的准线方程为x＝－5，
则c＝5，则F1(－5，0)，F2(5，0)，
不妨设点A为第二象限内的点，联立y=-bax，x=-c，
可得x=-c，y=bca，即点A-c，bca，
因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A＝π4，则△F1F2A为等腰直角三角形，且|AF1|＝|F1F2|，即bca＝2c，可得ba＝2，
所以ba=2，c=5，c2=a2+b2，解得a=1，b=2，c=5，因此，双曲线的标准方程为x2－y24＝1.
(2)由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若双曲线的离心率为54，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点5，94，则25a2-8116b2=1，a2+b2=25， 得a2=16，b2=9， 此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为x216-y29＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为x216-y29＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为x24-y221＝1，故D错误．故选ABC.
(3)由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：y2a2-x2b2＝1(a＞0，b＞0)．
由②一条渐近线方程为y＝2x知，ab＝2，即a＝2b.
由③知，2c＞10，即c＞5，
则可取c＝6.(此处也可取大于5的其他数)
又∵a2＋b2＝c2，∴(2b)2＋b2＝36，∴b2＝365.
∴a2＝4b2＝1445，则同时满足性质①②③的一个双曲线方程为5y2144-5x236＝1.]
考点三 双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
[典例3] (2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
y＝±3x [∵双曲线的方程是x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线为y＝±bax，
∵离心率为e＝ca＝2，可得c＝2a， ∴c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得双曲线的渐近线为y＝±3x.]
双曲线的离心率
[典例4] (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A．72 B．132
C．7 D．13
(2)若斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(1，3) D．(3，＋∞)
(1)A (2)D [(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2+9m2-2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝F1F2PF1-PF2＝7m2m＝72.
(2)因为斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2＝1恒有两个公共点，所以ba＞2，则e＝ca＝1+b2a2＞1+2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故选D.]
双曲线几何性质的综合应用
[典例5] (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
A．-33，33 B．-36，36
C．-223，223 D．-233，233
(2)已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
(1)A (2)B [(1)因为F1-3，0，F23，0，x022-y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x02+y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.
(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝23π，所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2
＝12×2a×4a×32＝23a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a2，
所以S△AF1F2S△ABF2＝23a243a2＝12.故选B.]
【教师备选题】
(2022·广西柳州二模)如图1所示，双曲线具有光学性质，从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs ∠BAC＝－35，AB⊥BD，则双曲线E的离心率为( )
图1 图2
A．52 B．173
C．102 D．5
B [依题意，直线CA，DB都过点F1，
如图，有AB⊥BF1，cs ∠BAF1＝35，
设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a＋m，显然有tan ∠BAF1＝43，|AB|＝34|BF1|＝34(2a＋m)，|AF2|＝32a－14m，
因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝72a－14m，
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即916(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝72a-14m2，
解得m＝23a，即|BF1|＝83a，|BF2|＝23a.
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即23 a2＋83 a2＝(2c)2，解得ca＝173，
所以双曲线E的离心率为173.故选B.]
1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2-y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2-x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2-a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(2023·湖南长沙一中模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，则C的离心率为( )
A．2 B．3
C．2 D．5
(2)(多选)已知双曲线C的方程为x216-y29＝1，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±34x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94
(3)已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)D (2)ABC (3)(1，2) [(1)因为双曲线C：x2a2-y2b2＝1的一条渐近线为y＝2x，所以ba＝2，所以双曲线C的离心率为ca＝c2a2＝a2+b2a2＝1+b2a2＝1+22＝5.故选D.
(2)由题意知，a＝4，b＝3，所以c＝a2+b2＝42+32＝5.对于A，双曲线C的实轴长为2a＝8，故A正确；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±34x，故B正确；对于C，双曲线C的焦点为(±5，0)，其到渐近线的距离为3×542+32＝3，故C正确；对于D，当双曲线的顶点与焦点位于y轴的同侧时，该顶点到焦点的距离即双曲线C上的点到焦点距离的最小值，为1，故D错误．
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2.]
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6] (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)2(满足10，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±bax，
结合渐近线的特点，只需01，所以10，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为n
C．若mn0，则C是两条直线
ACD [对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m+y21n＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± -mnx，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.]
二、填空题
7．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
33 [双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，
解得m＝33或m＝－33(舍去)．]
8．(2023·湖北武汉高三开学考试)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________．
①经过点(2，1)；
②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点．
y＝2x－1或y＝x＋1－2或y＝－x＋1＋2(只需答其中之一即可) [显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(1－k2)x2－2k(1－2k)x－2＋22k－2k2＝0，
当1－k2＝0，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x＋1－2，或y＝－x＋1＋2，
当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－2k)2－4(1－k2)(－2＋22k－2k2)＝0，所以k1＝k2＝2，
此时直线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－1.]
9．如图，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
2+2 [由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± a2b2b2-a2，所以2·a2b2b2-a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2+2.]
三、解答题
10．已知双曲线x216-y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程．
[解] (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即M点到x轴的距离为255.
(2)设双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ＝1(－40)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±255x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意得ba＝255，①
S△AF1F2＝12×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是x25-y24＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
将y＝kx＋m与x25-y24＝1联立，消去y，
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，
得4-5k2≠0， 80m2-5k2+4>0，④
∴x1＋x2＝10km4-5k2，x1x2＝－5m2+204-5k2，
∴x0＝x1+x22＝5km4-5k2，y0＝kx0＋m＝4m4-5k2.
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，
∴kAD＝y0-2x0＝4m4-5k2-25km4-5k2＝－1k，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m0.
由10k2＝8－9m>0，得m0)
y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)