高考数学一轮复习第9章第6课时离散型随机变量的分布列和数字特征学案

这是一份高考数学一轮复习第9章第6课时离散型随机变量的分布列和数字特征学案，共26页。

1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．
提醒：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
i=1nxipi
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝
i=1nxi-EX2pi
为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
[常用结论]
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1．( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
D [第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.]
2．(多选)(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
ACD [由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.]
3．(人教A版选择性必修第三册P69例6改编)投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表：
甲种股票收益分布列
乙种股票收益分布列
则下列说法正确的是( )
A．投资甲种股票期望收益大
B．投资乙种股票期望收益大
C．投资甲种股票的风险更高
D．投资乙种股票的风险更高
C [甲收益的期望EX＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差DX＝(－1－1.1)2×0.1＋(－1.1)2×j0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，
乙收益的期望EY＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，方差DY＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
所以EX＝EY，DX>DY，则投资股票甲、乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选C.]
4．(人教A版选择性必修第三册P69方差公式简化计算改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝72，D(X)＝3512，则E(X2)＝________．
916 [因为E(X)＝72，D(X)＝3512，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝3512+722＝916.]
考点一 分布列的性质
[典例1] (1)(多选)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则( )
A．a＝115
B．P12<ξ< 45＝15
C．P110 <ξ< 12＝215
D．P(ξ＝1)＝310
(2)随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
(1)AB (2)23 -13，13 [(1)对于选项A，
∵随机变量ξ的分布列为
Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，
∴Pξ=15＋Pξ=25＋Pξ=35＋Pξ=45＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝115，故A正确；
对于B，易知P12 <ξ< 45＝Pξ=35＝3×115＝15，故B正确；
对于C，易知P110 <ξ< 12＝Pξ=15＋Pξ=25＝115＋2×115＝15，故C错误；
对于D，易知P(ξ＝1)＝5×115＝13，故D错误．故选AB.
(2)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[跟进训练]
1．(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B．22或－22
C．1＋22 D．22
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为( )
A．23 B．34
C．45 D．56
(1)D (2)D [(1)由离散型随机变量分布列的性质得
12+1-q+q-q2=1，0≤1-q≤12 ，0≤q-q2≤12 ，解得q＝22.
(2)因为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，4)，所以a2+a6+a12+a20＝1，即a＝54，
所以P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12+54×16＝56.]
考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2] (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
[解] (1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.
(2)依题可知， X 的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06 .
即X 的分布列为
期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13 .
离散型随机变量分布列的求解步骤
明取值-明确随机变量的可能取值有哪些，每一个取值所表示的意义是什么
↓
求概率-要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率
↓
画表格-按规范要求形式写出分布列
↓
做检验-利用分布列的性质检验分布列是否正确
[跟进训练]
2．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
[解] (1)设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，
由题知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1，2都不需要调整的概率P(A B)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1－P(A B)＝0.28.
(2)X可取0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(AB C)＋P(ABC)＋P(A BC)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(ABC)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列为
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
考点三 数字特征在决策中的应用
[典例3] 某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理．
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表：
以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率．
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由．
[解] (1)y＝120n-960，n∈0，16，n∈N，960，n∈16，+∞，n∈N.
(2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为
E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912(元)；
D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336.
②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为
则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8 (元)，916.8＞912.
从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个．
利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．
[跟进训练]
3．(2022·广东深圳二模)2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中13(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围．
[解] (1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 P1＝13×p＋23×p×13＝59p；
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 P2＝p×13+1-p×13×p＝－13p2＋23p，
因为13＝13pp-13>0，所以P1>P2.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．
(2)由已知X＝4.5万元或X＝3.6万元．
由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．
此时，业余队获胜的概率为P1＝59p，
专业队获胜的概率为P3＝23×1-p+13×1-p×23＝89-89p，
所以非平局的概率为PX=4.5＝P1＋P3＝89-13p，
平局的概率为PX=3.6＝1－P1－P3＝19+13p.
X的分布列为：
X的数学期望为EX＝4.5×89-13p＋3.6×19+13p＝4.4－0.3p(万元)，
而13课时分层作业(六十一) 离散型随机变量的分布列和数字特征
一、选择题
1．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝13，则D(3X－2)＝( )
A．59 B．53 C．5 D．7
C [∵E(X)＝13，∴由随机变量X的分布列得：
16+a+b=1，-16+b=13， 解得a=13，b=12，
∴D(X)＝-1-132×16 +0-132×13 +1-132×12＝59，
∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×59＝5.故选C.]
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A．13 B．23
C．2 D．83
D [由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝1C32＝13，P(X＝3)＝C21C32＝23，所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.]
3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是( )
A．43 B．139
C．53 D．137
B [试验次数ξ的可能取值为ξ＝1，2，3，
P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，
P(ξ＝3)＝13×13×23+13＝19.
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.]
4．(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且
i=14pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
B [对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，
所以DX1＝0.65.
对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，
所以DX2＝1.85.
对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以DX3＝1.05.
对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，
所以DX4＝1.45.所以B中的标准差最大．]
5．(多选)已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是( )
A．PX=1C．mn≤18 D．DX+1<1
BCD [由分布列的性质得m＋n＋m＝2m＋n＝1，PX=1＝n，PX≠1＝2m，
当m＝14，n＝12时，PX=1＝PX≠1，故选项A错误；
因为EX＝n＋2m＝1，故选项B正确；
因为m，n均为正数，所以1＝n＋2m≥22mn，即mn≤18，当且仅当n＝2m＝12时，等号成立，故选项C正确；
由n＝1－2m>0，得06．(多选)(2023·济南外国语模拟)假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则( )
A．目标被击中的概率为3132
B．PX=1＝34
C．EX＝2316
D．DX＝87256
BD [由题意可得，目标没有被击中的概率为143＝164，所以目标被击中的概率为1－164＝6364，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为14，
X的取值范围为{1，2，3}，所以PX=1＝34，
PX=2＝14×34＝316，PX=3＝14×14＝116，
所以X的分布列为
EX＝1×34＋2×316＋3×116＝2116，
DX＝1-21162×34 +2-21162×316 +3-21162×116＝87256，BD正确，C错误．
故选BD.]
二、填空题
7．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分 (假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6,若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响. 设两局比赛结束后甲的得分为ξ， 则 Eξ＝________．
4.4 [由题意可得：ξ可能取值为2，4，6，
Pξ=2＝0.4×0.4＝0.16，Pξ=4＝C21×0.6×0.4＝0.48，
Pξ=6＝0.6×0.6＝0.36，
所以Eξ＝2×0.16＋4×0.48＋6×0.36＝4.4.]
8．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
1635 127 [由题意知P(ξ＝2)＝C21C42+C22C41C73＝1635.
ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝C62C73＝1535＝37，P(ξ＝2)＝1635，P(ξ＝3)＝C32C73＝335，P(ξ＝4)＝135，
∴E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝6035＝127.]
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
1 1 [ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝2A33＝13；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝C31A33＝12；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝1A33＝16.
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.
D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.]
三、解答题
10．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解] (1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
(2)由(1)可知当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为E(Y)＞E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
11．(2022·山东枣庄一模)已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．
(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．
(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
(ⅰ)PX=0；
(ⅱ)X的分布列及数学期望．
[解] (1)记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则P(AB)＝1，P(AB)＝14，
P(B)＝P(B)＝12.
由全概率公式：P(A)＝P(B)P(AB)＋P(B)P(AB)＝12×1＋12×14＝58，
所求概率为P(BA)＝PBAPA＝PBPABPA＝12×158＝45.
(2)设事件Ai表示小明选择了i个选项，i＝1，2，3，C表示选到的选项都是正确的．
则P(X＝2)＝PA1C＝P(A1)P(CA1)＝12×12＝14，P(X＝5)＝PA2C＝P(A2)P(CA2)＝13×1C42＝118，P(X＝0)＝1－P(X＝2)－P(X＝5)＝2536.
(ⅰ)P(X＝0)＝2536.
(ⅱ)随机变量X的分布列为
EX＝0×2536＋2×14＋5×118＝79.
12．(2023·浙江效实中学模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( )
A．E(ξ1)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
B [ξ1可能的取值为0，1，2；ξ2可能的取值为0，1，
Pξ1=0＝49，Pξ1=2＝19，Pξ1=1＝1－49-19＝49，
故E(ξ1)＝23，D(ξ1)＝49.
Pξ2=0＝2×13×2＝13，Pξ2=1＝2×1×23×2＝23，
故E(ξ2)＝23，D(ξ2)＝29，
故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．故选B.]
13．(多选)已知随机变量ξ的分布列为
其中ab≠0，下列说法正确的是( )
A．a＋b＝1
B．E(ξ)＝3b2
C．D(ξ)随b的增大而减小
D．D(ξ)有最大值
ABD [根据分布列的性质得a＋b2+b2＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×b2＋2×b2＝3b2，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝0-3b22×a＋1-3b22×b2 +2-3b22×b2＝－94b2＋52b＝－94×b-592＋2536，因为0＜b＜1，所以b＝59时，D(ξ)取得最大值2536，故C不正确，D正确．]
14．某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[解] 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为
∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：
∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．
D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
15．(多选)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N*)的非负整数，它的概率分布列为
其中pi(i＝0，1，2，3，…，n)满足pi∈[0，1]，且p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1.定义由X生成的函数f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g(x)为函数f(x)的导函数，E(X)为随机变量X的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则( )
A．E(X)＝g(1) B．f1(2)＝152
C．E(X)＝g(2) D．f1(2)＝2254
AD [因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，
则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2＋…＋ipixi-1＋…＋npnxn-1，
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，
令x＝1，则E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn＝g(1)，故选项A正确，选项C错误；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为
f1(x)＝116x2＋216x3＋316x4＋416x5＋316x6＋216x7＋116x8，
f1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254.故选项B错误，选项D正确．故选AD.]
X
0
1
P
1－p
p
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
收益
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益
0
1
2
概率
0.2
0.5
0.3
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
－1
0
1
P
12
1－q
q－q2
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
X
720
840
960
P
0.1
0.2
0.7
Y
660
780
900
1 020
P
0.1
0.2
0.16
0.54
X
4.5
3.6
PX
89-13p
19+13p
X
－1
0
1
P
16
a
b
ξ
1
2
3
P
23
29
19
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
X2
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.1
0.4
X3
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
0.2
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
X
0
1
2
P
m
n
m
X
1
2
3
P
34
316
116
ξ
0
1
3
P
13
12
16
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
X
0
2
5
P
2536
14
118
ξ
0
1
2
P
a
b2
b2
X1
300
－150
P
79
29
X2
500
－300
0
P
35
13
115
X
0
1
2
3
…
n
P
p0
p1
p2
p3
…
pn
X
2
3
4
5
6
7
8
P
116
216
316
416
316
216
116