高考数学一轮复习第10章第1课时随机抽样、统计图表学案

这是一份高考数学一轮复习第10章第1课时随机抽样、统计图表学案，共24页。学案主要包含了教师备选资源等内容，欢迎下载使用。
第1课时 随机抽样、统计图表
[考试要求]
1．理解随机抽样的必要性和重要性.
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的均值计算方法.
3．理解统计图表的含义．
1．总体与样本
(1)总体与样本的概念：统计的研究对象是数据，获取数据的方法有全面调查和抽样调查，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．
(2)总体与样本的均值
总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则总体均值Y＝Y1+Y2+…+YNN＝
1Ni=1NYi.
从总体中抽取一个样本容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则样本均值y＝y1+y2+…+ynn＝
1ni=1nyi.
2．简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，除非特殊声明，所学的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(1)抽取方式：逐个不放回抽取；
(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；
(3)常用方法：抽签法和随机数法．
3．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为x，y，样本平均数为w，则w＝MM+Nx+NM+Ny＝mm+nx+nm+ny．
我们可以用样本平均数w估计总体平均数W.
4．统计图表
(1)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
(2)频率分布折线图
用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的中点，就得到频率分布折线图．
(3)其他常见的统计图表
[常用结论]
总体数是N，样本容量为n，每一层的总体数分别是N1，N2，…，Nm，每一层中抽取的样本数为n1，n2，…，nm，则满足关系：
(1)nN＝n1N1＝…＝nmNm；
(2)n1∶n2∶…∶nm＝N1∶N2∶…∶Nm；
(3)n1＝nN1N，…，nm＝nNmN.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．( )
(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )
(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P177 练习T1改编)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1 000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1 000名学生
D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生
B [对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B，样本是指1 000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C，样本量是1 000，故C错误；
对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．]
2．(人教A版必修第二册P184练习T3改编)某校有男生3 000人，女生2 000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165 cm，其中被抽取的男生平均身高为172 cm，则被抽取的女生平均身高为( )
A．154.5 cm B．158 cm
C．160.5 cm D．159 cm
A [根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，
设被抽取到的女生平均身高为x cm，则60×172+40x100＝165，解得x＝154.5 cm，
所以被抽取的女生平均身高为154.5 cm.
故选A.]
3．(人教A版必修第二册P201练习T2改编)空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是________；要反映2012～2022年某地区学生数的变化情况，宜选用________统计图．(从“条形图、扇形图、折线图”中选一个)
扇形图 折线 [空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形图；要反映2012～2022年某地区学生数的变化情况，宜选用折线统计图．]
4．(人教A版必修第二册P197练习T1改编)从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300 kW·h之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)直方图中x的值为________；
(2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
(1)0.004 6 (2)72 [(1)根据频率分布直方图的面积和为1，
得(0.002 4＋0.003 8＋0.006 0＋x＋0.003 2)×50＝1，
解得x＝0.004 6.
(2)月用电量落在区间[100，250)内的频率为f＝(0.003 8＋0.006 0＋0.004 6)×50＝0.72，
所以在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.72＝72.]
考点一 简单随机抽样
[典例1] (1)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A．110，110 B．310，15
C．15，310 D．310，310
(2)(2023·山东临沂模拟)嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为( )
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A.12 B．20 C．29 D．23
(1)A (2)C [(1)法一：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的可能性是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.故选A.
法二：第一次被抽到，显然为110；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为910×19＝110.故选A.
(2)依次从数表中读出的有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，
得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C.]
简单随机抽样的适用范围
简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
[跟进训练]
1．(1) (多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是( )
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
(2)某“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1，2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．
(1)ACD (2)抽签法 [(1)对于选项A：简单随机抽样中总体的个数是有限的，题中是无限的，不是简单随机抽样，故选项A不是简单随机抽样；对于选项B：满足简单随机抽样的定义，从N个个体中逐个不放回的抽取n个个体n≤N，故选项B是简单随机抽样；对于选项C：不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；对于选项D：不是简单随机抽样，原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．故选ACD.
(2)30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．]
考点二 分层随机抽样
求总体或样本容量
[典例2] (2023·福建三明模拟)已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为( )
图甲 图乙
A．200，25 B．200，2 500
C．8 000，25 D．8 000，2 500
B [由扇形图结合分层随机抽样知识易知样本容量为8040%＝200，则样本中高中生的人数为200×25%＝50，易知总体的容量为501%＝5 000，结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为5 000×50%＝2 500.故选B.]
分层随机抽样及均值
[典例3] (2023·湖北襄阳模拟)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高是( )
A．173.6 cm B．172.95 cm
C．172.3 cm D．176 cm
A [由题意，田径队男、女队员的比例为48∶36＝4∶3，
用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，设男运动员4x名，女运动员3x名，故4x＋3x＝21，解得x＝3，即男运动员12名，女运动员9名，故该田径队运动员的平均身高大约为：177.5×12+168.4×921＝173.6 cm.故选A.]
分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比＝该层样本量n总样本量N＝该层抽取的个体数该层的个体数.
(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为mx+nym+n.
[跟进训练]
2．(1)(2022·湖北七市州一模)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 600，1 100，800，现用分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm，165 cm，170 cm.则下列说法正确的是( )
A．高三年级抽取的学生数为32人
B．高二年级每个学生被抽取到的概率为1100
C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大
D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm
(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如表：
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
(1)D (2)6 [(1)根据分层随机抽样的定义，高三年级抽取的学生数为8001 600×32＝16，A错误；分层随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为321 600＝150，B C错误；平均身高为1 6003 500×160＋1 1003 500×165＋8003 500×170≈163.9(cm)，D正确．故选D.
(2)因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，
故“剪纸”社团的人数占总人数的25，
所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×25＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx+y+z＝32+3+5＝310，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×310＝6.]
考点三 统计图表
[典例4] (1)为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．8 B．12
C．16 D．18
(2)(多选)为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )
A．各班植树的棵数不是逐班增加的
B．4班植树的棵数低于11个班的平均值
C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数
D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳
(3)(多选)(2023·湖北武汉模拟)为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中正确的是( )
A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
(1)B (2)ABD (3)ABD [(1)志愿者的总人数为200.24+0.16×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.故选B.
(2)从题图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确； 4班的植树棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个班的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中去，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的； 1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从题图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确．故选ABD.
(3)对于选项A，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的(37%＋13%)×55%＝27.5%，故选项B正确；
对于选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”占总人数的40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%，“80前”占总人数的5%，故选项D正确．故选ABD.]
几种统计图表的特点及使用方法
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
[跟进训练]
3．(1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2021年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：
根据所给统计图，下列结论中正确的是( )
A．每周消费新式茶饮的消费者占比超过90%
B．每天消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费50—200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
(2)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品有________个．
(1)ABC (2)90 [(1)每周消费新式茶饮的消费者占比为1－9.1%>90%，A正确；每天消费新式茶饮的消费者占比5.4%＋16.4%>20%，B正确；月均消费50—200元的消费者占比为30.5%＋25.6%>50%，C正确；月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1－14.5%－30.5%236，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C正确；
对于D选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D错误．故选AC.]
8．(多选)(2023·山东潍坊模拟)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是( )
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
ABC [对于A，直方图中2小时至2.5小时之间的频率为2.5-2×0.5＝0.25，故所抽取的学生中有100×0.25＝25人在2小时至2.5小时之间完成作业，故A正确；对于B，由直方图得超过3小时的频率为0.5×(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)＝0.35，所以B正确；对于C，由直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.25×0.05＋1.75×0.15＋2.25×0.25＋2.75×0.20＋3.25×0.15＋3.75×0.10＋4.25×0.05＋4.75×0.05＝2.75>2.7，所以C正确；对于D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为0.5×(0.5＋0.4)＝0.45