高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学ppt课件

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专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）1．数列的概念数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.4．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.=.5．数列的性质(1)单调性如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.(3)有界性如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】（ 甘肃·高二期中）数列32,-54,78,-916,1132⋯的一个通项公式为（    ）A．2n-12n B．(-1)n2n-12nC．(-1)n+12n+12n D．2n+12n【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.【解答过程】解：由题意，在数列32,-54,78,-916,1132⋯中，分母是以2为首项，2为公比的等比数列分子是以3为首项，2为公差的等差数列，∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，∴比例系数为(-1)n+1∴数列的一个通项公式为：an=(-1)n+12n+12n，故选：C.【变式1-1】（ 重庆高二阶段练习）数列-1,13,-17,115,-131,⋅⋅⋅的一个通项公式为（    ）A．an=-1n+112n-1 B．an=-1n-112n-1C．an=-1n12n+1 D．an=-1n12n-1【解题思路】令n=1，代入各选项直接得出答案.【解答过程】由题意得，令n=1，A选项：a1=1，不合题意；B选项：a1=1，不合题意；C选项：a1=-13，不合题意；D选项：a1=-1，符合题意故选：D.【变式1-2】（ 浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，-12，14，-18，则数列an的通项公式能为（    ）A．an=12n B．an=12n-1 C．an=(-1)n-12n D．an=-12n-1【解题思路】分母与项数n关系是是2n-1，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式.【解答过程】正负相间用(-1)n-1表示，∴an=(-1)n-12n-1=-12n-1．故选：D.【变式1-3】（ 全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（    ）A．1910n-1 B．1310n-1C．131-110n D．31010n-1【解题思路】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【解答过程】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是bn=10n-1，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是cn=110n×10n-1=1-110n，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=131-110n．故选：C．【题型2 判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.【例2】（ 福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的（    ）．A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解题思路】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【解答过程】因1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1)，由37(n-1)=398解得：n=15，所以398是这个数列的第15项.故选：D.【变式2-1】（ 广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=n2+n．则12是该数列的第（    ）项．A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用通项公式直接求解.【解答过程】令an=n2+n=12，解得：n=3（n=-4舍去）.故选：B.【变式2-2】（ 四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n-1,那么9是它的（    ）A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项【解题思路】由已知条件，根据通项公式求出n即可得答案.【解答过程】因为数列{an}的通项公式为an=3n-1，令3n-1=9，解得n=3，所以9是数列{an}的第3项，故选：C.【变式2-3】（ 河北保定·高二期中）已知数列an的通项公式为an=2n+1，则下列不是数列an的项的是（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【解题思路】根据数列的通项公式，判断是否存在n∈N*使得an=2n+1成立，可得答案.【解答过程】由于数列an的通项公式为an=2n+1，故令an=2n+1=2，则n=0 ，与n∈N* 不符，故2不是数列an的项；令2n+1=4,n=1，令2n+1=8,n=2，令2n+1=16,n=3，即4，8，16是数列an的项，故选:A.【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（ 陕西·高一期末（理））已知数列an满足an+1an=n+1n，a1=3，则数列an的通项公式是（    ）A．an=3n B．an=n+2C．an=2n+1 D．an=3n2【解题思路】由题意可得数列ann为首项为3的常数列，从而可得出答案.【解答过程】由题意得an+1n+1=ann，即an+1n+1=ann=⋯=a22=a11=3所以数列ann是以a11=3首项为的常数列，则ann=3，得an=3n.故选：A.【变式3-1】（ 甘肃·二模（文））数列an满足nan+1=n+1an+1n∈N*，且a1=1，则a2022=（    ）A．4043 B．4044 C．2021 D．2022【解题思路】由nan+1=n+1an+1n∈N*，可得an+1n+1+1n+1=ann+1n，即ann+1n为常数列，进而可得ann+1n=2，从而即可求解.【解答过程】解：因为nan+1=n+1an+1n∈N*，所以an+1n+1=ann+1nn+1=ann+1n-1n+1，所以an+1n+1+1n+1=ann+1n，即ann+1n为常数列，又a1=1，所以ann+1n=a11+11=2，所以a20222022+12022=2，解得a2022=4043，故选：A.【变式3-2】（ 全国·高二课时练习）已知数列an满足a1+a22+a32+⋯+ann=1-12n，则an=（   ）A．1-12n B．22n-3 C．12n D．n2n【解题思路】利用an与Sn的关系即得.【解答过程】a1+a22+a33+⋯+ann=1-12n①，当n≥2时，a1+a22+a33+⋯+an-1n-1=1-12n-1②，则①－②得，ann=12n-1-12n=12n，故an=n2nn≥2．当n=1时，a1=12，也符合an=n2n.故选：D．【变式3-3】（ 全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=0,a2n+1=a2n+1n,a2n+2=a2n+1-1n+1n∈N*，则数列an第2022项为（    ）A．20212022 B．20232022 C．10101011 D．10121011【解题思路】由题中条件可得到偶数项得关系a2n+2=a2n+1n-1n+1n∈N*，再进行累加即得.【解答过程】a2n+2=a2n+1-1n+1=a2n+1n-1n+1n∈N*，所以a2022=a2020+11010-11011，a2020=a2018+11009-11010，⋯a4=a2+1-12，累加得a2022=a2+(1-12+12-13+⋯+11010-11011)=0+1-11011=10101011，故选：C.【题型4 数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（ 浙江·高二期中）在数列an中，a1=3 ，an=an-1+2 ，则（　　）A．数列an单调递减 B．数列an单调递增C．数列an先递减后递增 D．数列an先递增后递减【解题思路】由数列递推式求出a2=5，可判断an>0，将an=an-1+2两边平方得(an+1+an)(an+1-an)＝an-an﹣1，判断an+1-an与an-an﹣1 同号,结合a2-a1<0，可判断an0 ．再由an=an-1+2，两边平方得an2=an-1+2 ①，则an+12=an+2 ②，②﹣①得：an+12-an2=an-an-1 ，∴(an+1+an)(an+1-an)＝an-an﹣1 ，∵an>0，∴an+1-an与an-an﹣1 同号,由a2-a1<0 ，可知，an-an﹣1<0 ，即an0，∴数列1+5n为递增数列，A错误；对于B，∵-n+12+6n+1--n2+6n=-2n+5，∴当n≤2时，数列-n2+6n递增；当n≥3时，数列-n2+6n递减，B错误；对于C，∵3n+1+6-3n+6=3，∴数列3n+6为递增数列，C错误；对于D，∵1-log2n+1-1-log2n=log2nn+10以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答过程】由题意得数列an为递增数列等价于对任意n∈N*,an+1-an=2n+k+1>0恒成立，即k>-2n-1对任意n∈N*恒成立，故k>-2n-1max=-3，所以“k≥-2”是“an为递增数列”的充分不必要条件，故选：A.【变式4-3】（ 浙江·高二期中）已知数列an满足：an=(3-a)n-8,n≤6an-6,n>6（n∈N*），且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）A．(2,3) B．(1,107) C．(107,3) D．(1,3)【解题思路】仿照分段函数的单调性求解，同时注意a60a>16(3-a)-811an,01，∴a2=a1-1=2-1∈0,1，∴a3=1a2=2+1>1，∴a4=a3-1=2>1，∴a5=a4-1=2-1∈0,1，……，以此类推，可知数列an是周期为3的周期数列，∴a2021=a3×673+2=a2=2-1.故选：A.【变式5-3】（ 贵州·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足a1=-3，anan+1=an-1，则a105=（    ）A．14 B．43 C．-1 D．53【解题思路】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解.【解答过程】由anan+1=an-1可知an≠0，得an+1=1-1an.因为a1=-3,所以a2=1-1-3=43，a3=1-143=14，a4=1-114=-3，a5=1-1-3=43，⋯，所以{an}是以3为周期的数列，则a105=a3+3×34=a3=14.故选：A.【题型6 求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.【例6】（ 山西·高三期中）已知数列an满足a1a2a3⋯an=n2，n∈N*，则数列an（    ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【解题思路】根据递推公式求得an，再根据{an}的单调性，即可判断和选择.【解答过程】因为a1a2a3⋯an=n2，n∈N*，所以当n=1时，a1=12=1；当n≥2时，a1a2a3⋯an-1=n-12，故an=n2n-12=1+1n-12 >1，因为函数fx=1x-1在区间2,+∞上单调递减，所以当n≥2，n∈N*时，an是递减数列.又a2=4，所以an≤4，且an≥1=a1，故数列an的最小项为a1=1，最大项为a2=4.故选：A.【变式6-1】（ 全国·高二课时练习）已知数列an的通项公式为an=5051nn+1，则an中的最大项为（    ）A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项【解题思路】作商当an+1an>1时，an+1>an；反之an+10令an+1an>1，得5051n+2n+1>1，解得n<502512-502-1≈23.8．所以当1≤n≤23时，an+1>an，即a24>a23>a22>⋯>a1，当n≥24时，an+1>an，即a24>a25>a26>⋯，因此当n=24时，an最大．故选：C.【变式6-2】（ 福建省高二阶段练习）已知数列an满足an=2nn+11013n，则数列an的最大项为（    ）．A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【解题思路】用不等式法求出最大项的项数.【解答过程】假设第n项最大（n≥2），有an≥an-1an≥an+1⇒2nn+11013n≥2n-1n1013n-12nn+11013n≥2n+1n+21013n+1⇒n≤233n≥203，又n∈N*，所以n=7，即数列an的最大项为第7项.故选：D.【变式6-3】（ 全国·高二课时练习）已知an=n-2018n-2019n∈N*，则数列an的前50项中，最小项和最大项分别是（    ）A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45【解题思路】先对数列的通项公式进行变形，然后判断单调性，结合单调性可求最值.【解答过程】an=n-2018n-2019=1+2019-2018n-2019，∵442=1936，452=2025，∴当n≤44时，数列an单调递减，且an<1；当n≥45时，数列an单调递减，且an>1.∴在数列an的前50项中，最小项和最大项分别是a44，a45.故选：D.