2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案2.2《函数的性质》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣lg35)的值为________．
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq \f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1f( SKIPIF 1 < 0 )
C．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4)) D．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4))
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ，则f(﹣8)的值是________．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.[1,eq \f(3,2)]和[2，＋∞) C．(﹣∞，1]和[eq \f(3,2)，2] D.(﹣∞，eq \f(3,2)]和[2，＋∞)
(2)函数y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq \f(1,2))，b＝f(ln 2)，c＝f(ln eq \f(1,3))，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[﹣1,1)
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考法(四) 利用单调性求参数的取值范围
[例4](1)已知函数y＝lg SKIPIF 1 < 0 (6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4.))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝﹣x2 B．f(x)＝3﹣x C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b