2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案3.2.2《导数与函数问题常用到的4种方法》 (2份打包，原卷版+教师版)

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以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，eq \f(fx,gx)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
类型(一) 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数
[例1] 设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cs x<0，则当x≤0时，有( )
A．f(x)＋sin x≥f(0) B．f(x)＋sin x≤f(0)
C．f(x)﹣sin x≥f(0) D．f(x)﹣sin x≤f(0)
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
类型(二) 构造f(x)·g(x)型可导函数
[例2] 设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是( )
A．(﹣3,0)∪(3，＋∞) B．(﹣3,0)∪(0,3)
C．(﹣∞，﹣3)∪(3，＋∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(0,3)
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
类型(三) 构造eq \f(fx,gx)型可导函数
[例3] (多选)已知定义在(0，eq \f(π,2))上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f(eq \f(π,6))＞eq \r(2)f(eq \f(π,4)) B．eq \r(3)f(eq \f(π,6))＞f(eq \f(π,3)) C．f(eq \f(π,6))＞eq \r(3)f(eq \f(π,3)) D．eq \r(2)f(eq \f(π,6))＞eq \r(3)f(eq \f(π,4))
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝[eq \f(fx,gx)]′”，构造可导函数y＝eq \f(fx,gx)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
[归纳总结]
构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)﹣ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)﹣f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,ex).
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)﹣f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,x).
[针对训练]
1．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，则不等式f(lg2|3x﹣1|)<3﹣lgeq \r(2)|3x﹣1|的解集为( )
A．(﹣∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞) C．(﹣1,0)∪(0,3) D．(﹣∞，1)
2．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e﹣x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上单调递减 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)在R上有最大值 D．f(x)在R上有最小值
3．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x2f(eq \f(1,x))﹣f(x)<0的解集为________．
方法二 分类讨论“界点”的确定
函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．
类型(一) 由二次函数系数引发的分类讨论
[例1] 已知函数f(x)＝ln x＋ax2，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤1在区间(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围．
[方法技巧]
若得到的导函数中含有的二次三项式的二次项系数含有参数，则首先需要讨论其系数：①根据二次项系数是否为0，判断导函数是否为二次函数；②根据二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导函数的变号零点．
类型(二) 由定义域或给定区间引发的分类
[例2] 已知函数f(x)＝ax2﹣(a＋2)x＋ln x.
(1)若函数g(x)＝f(x)﹣ax2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a的最小值；
(2)若当a>0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围．
[方法技巧]
已知函数的定义域为[a，b](即导函数的界点为a，b)，研究函数的最值问题，一般情况下解题要点是：①对函数f(x)求导，求出导函数f′(x)的零点x＝x0；②讨论导函数f′(x)的零点x＝x0在不同位置时函数f(x)的单调性；③由函数f(x)在区间[a，b]上对应的单调性，求出函数f(x)的最值．
本题对函数f(x)求导，得到f′(x)的一个零点为x＝eq \f(1,a)，此时给定函数的区间为[1，e]，函数在此区间上是否存在最小值与零点x＝eq \f(1,a)的位置相关联，于是对零点x＝eq \f(1,a)的位置进行讨论：①x＝eq \f(1,a)在区间(1，e]的左侧；②x＝eq \f(1,a)在区间(1，e)的内部；③x＝eq \f(1,a)在区间[1，e)的右侧．由此求出函数f(x)在区间[1，e]上的最小值，与条件给出的最小值﹣2比较，从而得到实数a的取值范围．
类型(三) 由值域引发的分类
[例3] 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2，g(x)＝aln x.
(1)若曲线y＝f(x)﹣g(x)在x＝2处的切线与直线x＋3y﹣7＝0垂直，求实数a的值；
(2)若[1，e]上存在一点x0，使得f′(x0)＋eq \f(1,f′x0)[方法技巧]
本题在求出导函数m′(x)＝eq \f(x－1－ax＋1,x2)的一个零点x＝1＋a，探究函数m(x)的最小值时，一定要对x＝1＋a的位置展开讨论，才能得到规范正确的解答．
[针对训练]
已知函数f(x)＝ex(ex﹣a)﹣a2x，讨论f(x)的单调性．
方法三 分离参数法解决含参不等式恒成立问题
[典例] 已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，当x≥﹣2时，f(x)≤kg(x)，求实数k的取值范围．
[方法技巧]
用直接法解决含参不等式恒成立求参数范围问题，时常需要分类讨论，计算量较大．而用分离参数法解决含参不等式恒成立问题时，比较直接，这也是学生首选的方法．
[针对训练]
已知函数f(x)＝xln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
方法四 二次求导法解决难以判断f′(x)符号问题
判定函数的单调性和求函数极值，都需要判定导函数的正负．有些导函数形式很复杂，它的正负很难直接判定，常常需要建立新函数再次求导，通过探求新函数的最值，以此确定导函数的正负．
[例1] 若函数f(x)＝eq \f(sin x,x)，0[方法技巧]
从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断f′(x)的符号，而f′(x)＝eq \f(xcs x－sin x,x2)的分母为正，只需判断分子xcs x﹣sin x的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．
[例2] 已知函数f(x)＝ex﹣xln x，g(x)＝ex﹣tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．
[方法技巧]
本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题，实际上是求F(x)＝eq \f(ex＋x－ex＋xln x,x2)的极值问题，但是F′(x)＝eq \f(1,x2)（ex＋e﹣eq \f(2ex,x)﹣ln x）这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G(x)＝x2·F′(x)再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难时，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．
[针对训练]
讨论函数f(x)＝(x＋1)ln x﹣x＋1的单调性．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝﹣1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞m＞1，则下列成立的有( )
A．f(eq \f(1,m))＞eq \f(1－m,m) B．f(eq \f(1,m))＜﹣1 C．f(eq \f(1,m－1))＞eq \f(1,m－1) D．f(eq \f(1,m－1))＜0
2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(﹣4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A．(﹣∞，﹣4) B．(0,4) C．(﹣4,0)∪(0,4) D．(﹣∞，﹣4)∪(0,4)
3．设y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x﹣1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y＝g(x)，且g(a)＝2 018，则a等于( )
A．﹣501 B．﹣502 C．﹣503 D．﹣504
4．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
5．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )
A．ex1f(x2)＞e x2f(x1) B．e x1f(x2)＜e x2f(x1)
C．e x1f(x2)＝e x2f(x1) D．e x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系不确定
6．已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)﹣ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式eq \f(fx1,x2)A．(﹣∞，e] B．(﹣∞，e) C.(﹣∞，eq \f(e,2)) D．(﹣∞，eq \f(e,2)]
7．(多选已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)单调递增
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点(﹣eq \f(1,2),f(﹣eq \f(1,2)))处切线的斜率为﹣1﹣ln 2
D．f(x)是偶函数
8．设定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝2，f′(x)<1，则不等式f(x2)>x2＋1的解集为____________．
9．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2﹣2aln x＋(a﹣2)x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．
10.已知曲线f(x)＝bex＋x在x＝0处的切线方程为ax﹣y＋1＝0.
(1)求a，b的值；
(2)当x2>x1>0时，f(x1)﹣f(x2)<(x1﹣x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数m的取值范围．
11．已知函数f(x)＝1＋ln x﹣ax2.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)证明：xf(x)12．已知函数f(x)＝eq \f(1－x,x)＋kln x，k第4课时 压轴考法自主选——“函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略
难点一 隐零点问题
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
[典例] 设函数f(x)＝ex﹣ax﹣2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x﹣k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
[名师微点]
本题的关键就是利用h(x)＝ex﹣x﹣2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．
[针对训练]
1．设函数f(x)＝(x﹣1)ex﹣kx2(k∈R)．当k∈(eq \f(1,2),1]时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
难点二 极值点偏移问题
在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解．
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
2．函数极值点偏移问题的题型
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0；
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0.
[典例] 已知函数f(x)＝ln x﹣ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1x2>e2.
[针对训练]
2．若关于x的方程xln x＝m有两个不相等的实数解x1，x2，求证：x1·x2难点三 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
函数与导数应用的问题中，求参数的取值范围是重点考查的题型．在平时教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“eq \f(0,0)”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则．
[洛必达法则]
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1)lieq \(m,\s\up6(,x→a)) f(x)＝0及lieq \(m,\s\up6(,x→a)) g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l，那么lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(fx,gx)＝lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1)lieq \(m,\s\up6(,x→a)) f(x)＝∞及lieq \(m,\s\up6(,x→a)) g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l，那么lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(fx,gx)＝lieq \(m,\s\up6(,x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l.
[典例] 已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y﹣3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)，求k的取值范围．
[针对训练]
3．设函数f(x)＝1﹣e﹣x，当x≥0时，f(x)≤eq \f(x,ax＋1)，求a的取值范围．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x﹣ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x﹣1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝eq \f(ln x－a,x)﹣m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x1＋ln x2>2.
5．已知函数f(x)＝kex﹣x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1极值点x0
函数值的大小关系
图示
极值点不偏移
x0＝eq \f(x1＋x2,2)
f(x1)＝f(2x0﹣x2)
极值点偏移
左
移
x0峰口向上：f(x1)峰口向下：f(x1)>f(2x0﹣x2)
右
移
x0>eq \f(x1＋x2,2)
峰口向上：f(x1)>f(2x0﹣x2)
峰口向下：f(x1)